趙月坤，高常

(棗莊職業(yè)學(xué)院 271000)

0 引言

有限元方法是在Ritz－Galerkin方法的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的．它改進(jìn)了傳統(tǒng)Ritz－Galerkin方法，將求解區(qū)域剖分成有限個(gè)單元，在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)，再由此得到在整個(gè)區(qū)域上的插值函數(shù)．由于插值基函數(shù)是局部的，這不僅大大的減少了計(jì)算量，而且極易處理本質(zhì)邊值條件．(參見文獻(xiàn)［1－5］)本文給出了有限元方法求解一類非齊次兩點(diǎn)邊值問題的有限元格式，討論了齊次與非齊次問題有限元方法之間的關(guān)系．用數(shù)值算例比較了有限元法與傳統(tǒng)Ritz－Galerkin方法計(jì)算結(jié)果．

1 非齊次兩點(diǎn)邊值問題的Ritz－Galerkin解法

非齊次兩點(diǎn)邊值問題的有限元方法，基本思路是首先將問題轉(zhuǎn)化為齊次的情況，利用齊次兩點(diǎn)邊值問題的有限元方程推導(dǎo)非齊次問題有限元方程．

1．1 非齊次邊值問題齊次化

考慮一類非齊次兩點(diǎn)邊值問題

其中p∈C1(I)(一次連續(xù)可微函數(shù)空間)

其中u0(x)滿足例如取u0(x)= β(x－a)+α．將(2．3)代入(2．1)，

整理得

至此，我們將非齊次邊值問題轉(zhuǎn)化為齊次邊值問題．

1．2 齊次兩點(diǎn)邊值問題的變分形式及Ritz－Ga lerkin方法

為了求解非其次邊值問題，先來了解齊次兩點(diǎn)邊值問題的Ritz－Ga lerkin方法(參閱［2］) ．

考慮齊次兩點(diǎn)邊值問題

根據(jù)虛功原理，若u∈C2(I)，則u是邊值問題(2．6)，(2．7)的解的充要條件是:u且滿足變分問題 a(u，v) － (f，v)=0，對(duì)任意

設(shè)Vn是的n維子空間，φ1(x)，φ2(x)，…，φn(x) 是 Vn的一組基函數(shù)，則Vn中任一元素可表示為方法離散格式為:求系數(shù)c1，c2，…，cn，使得un關(guān)于 v∈Vn滿足a(u，v) － (f，v)=0．對(duì)任意即

稱(2．9)為Ritz－Galerk in方程組．方程組(2．9)的系數(shù)矩陣

是對(duì)稱正定的，故(2．9)是唯一可解的．

1．3 非齊次兩點(diǎn)邊值問題的Ritz－Galerk in方程

即非齊次兩點(diǎn)邊值問題(2．1)、(2．2)的Ritz－Galerk in方程組為

2 有限元法

有限元法在很大程度上克服了Ritz－Ga lerkin法選取基函數(shù)的固有困難，應(yīng)用樣條函數(shù)方法提供了一種選取“局部基函數(shù)”或“分片多項(xiàng)式空間”的新技巧．

2．1 齊次兩點(diǎn)邊值問題的有限元方程

對(duì)區(qū)間 I= ［a，b］進(jìn)行剖分．設(shè)x0，x1，…，xn滿足a=x0＜ x1＜ … ＜ xn=b，稱xi為節(jié)點(diǎn)，ei= ［xi－1，xi］為單元，hi=xi－ xi－1為單元 ei的長度，記

取 m=1，設(shè)函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上取值為 u0=0，u1，…，un．在單元 Ii，Ii+1考察線性插值:對(duì)節(jié)點(diǎn)xi構(gòu)造山形函數(shù)φ1(x)，φ2(x)，…，φn(x)，它們組成Uh的基．分段線性插值函數(shù)uh可表示為

Ritz－Ga lerkin方程組的系數(shù)矩陣(2．9)中的非零元素為

以及

2．2 非齊次邊值問題的有限元法

考慮非齊次邊值條件，增加基函數(shù)

令u= αφ0+w，仿照2．3中的做法，用代替(3．4) 中的 f，有

即非齊次兩點(diǎn)邊值問題(2．1)，(2．2)的有限元方程組為

4 算例

例1 用傳統(tǒng)Ritz－Ga lerkin方法解非齊次兩點(diǎn)邊值問題

例2 用有限元方法解例1，即

圖 4．1

用M a tlab編程計(jì)算得到精確解與數(shù)值解的對(duì)照，如圖4．2．從圖4．1和圖4．2看出有限元解曲線比Ritz－Galerk in解曲線吻合性更好，而有限元法的計(jì)算更簡(jiǎn)便．

圖 4．2

［1］趙靜，但琦．?dāng)?shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］李榮華．偏微分方程數(shù)值解法［M］．北京:高等教育出版社，2005．