趙元章，嚴(yán)先微，張 強(qiáng)

（1.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100；2.濰坊科技學(xué)院，山東濰坊261000）

帶Hardy－Sobolev項的p－Laplace方程解的存在性＊

趙元章1，嚴(yán)先微1，張 強(qiáng)2

（1.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100；2.濰坊科技學(xué)院，山東濰坊261000）

本文利用對稱性臨界點原理，在無界的柱形區(qū)域上，得到一類帶Hardy－Sobolev項的p－Laplace方程的非平凡解的存在性。所得結(jié)果推廣補(bǔ)充了已有的結(jié)論。

p－Laplace方程；山路引理；對稱性臨界點原理

0 引言

考慮如下的帶Hardy－Sobolev項的橢圓型方程弱解的存在性問題

問題（1）有2個顯著的特點：其一是區(qū)域是無界的，這導(dǎo)致空間（Ω）到Lα（Ω的嵌入不具有緊性，因而在利用臨界點理論研究該問題的時候會產(chǎn)生本質(zhì)上的困難；其二是Hardy－Sobolev項中的d（x）可能為0，方程具有奇異性。當(dāng)μ＝0時，文獻(xiàn)［1］利用集中緊性原理［2］討論了問題（1）的解的存在性，文獻(xiàn)［3］利用對稱性環(huán)繞定理討論了問題（1）的解的存在性；當(dāng)μ≠0時，非線性項h（x，u）＝f（u）與變量x無關(guān)時，利用集中緊性原理，文獻(xiàn)［4］給出了問題（1）的非平凡解的存在性。本文中，當(dāng)非線性項h（x，u）與變量x有關(guān)時，利用對稱性臨界點理論，得到問題（1）的非平凡解的存在性，推廣和補(bǔ)充了文獻(xiàn)［4］中的相應(yīng)結(jié)果。記

作如下的假設(shè)條件：

（1）f∶Ω×R→R連續(xù)，且存在常數(shù)c及α∈（p，p＊）使得

本文的主要結(jié)論如下：

定理1 在假設(shè)條件（1）～（5）之下，問題（1）存在非平凡的弱解。

1 預(yù)備知識

定義1［5－6］設(shè)X是Banach空間，G是緊拓?fù)淙海琔（X）為空間X上的等距在上的線性算子全體。設(shè)T∶G×X→X，若T連續(xù)，且滿足下述條件

則稱T為G在X上的一個等距在上的線性表示。

定義3［5－6］G在上的作用如下定義

記

引理1［7］當(dāng)1＜p＜N，p＜α＜p＊時，X1到Lα（Ω）中的嵌入是緊的。

同時在Banach空間上存在如下形式的對稱臨界性原理。

引理2［8］（Banach空間中的對稱臨界性原理） 設(shè)X是Banach空間，G是緊拓?fù)淙?，是G在X上的等距在上的線性表示，是T（G）－不變泛函。若u是φ在Fix（G）上的臨界點，那么u也是φ在X上的臨界點。

注1 引理2可用到如下的特別情形：

引理3（山路引理［9］） 設(shè)X是Banach空間，f∈C1（X，R），且f滿足

（a）.（P.S.）c條件，即對任意，如果滿足

那么｛un｝中有收斂的子列；

則f有不小于a的臨界值。

2 主要結(jié)果的證明

需要指明的是，在假設(shè)條件下，成立

I（u）∈C1（X，R）［4］，且對v∈X，有問題也就歸結(jié)為求I（u）在X上的臨界點。

由于無界區(qū)域Ω上X到Lα（Ω）的嵌入不具有緊性，故直接在X上利用山路引理求臨界點具有一定的困難。條件（2）保證I（u）在X1上是G－不變泛函。由引理1、2，可以在X1上求I（u）的臨界點，即也是I（u）在X上的臨界點。

由于在柱形區(qū)域上，成立下述的不等式［10］

這里c1，c2＞0是常值。再由條件（5）和假設(shè)，故在X1上定義范數(shù)

下面證明I（u）在X1上滿足山路引理的條件。引理4 在假設(shè)之下，I（u）在X1上滿足（P.S.）c條件。證明 設(shè)｛un｝X1是（P.S.）c序列，即

這樣就由I（un）→C，I′（un）→0和條件（4）得到

對任意的x，y∈RN，有下述不等式［11］

因此（以p≥2為例），

引理5 在假設(shè)下，I（u）滿足引理3中的條件（b）。證明 由條件假設(shè)（1），得I（0）＝0。

由條件（1）、（3），得到對任意ε＞0，存在Cε＞0，使得

結(jié)合嵌入不等式得到

又α＞p，故當(dāng)ρ＞0充分小時，存在a＞0，使得對任意的｜u｜＝ρ，成立不等式I（u）＞a＞0。

注意到β＞p，故當(dāng)t＞ρ充分大，取u0＝tu1，則必有且

至此，由引理1～5完成了定理1的證明。

注2 （1）由上述證明過程可以看出所得到的非平凡解u是部分徑向的，即當(dāng)時，必有

［1］ Ian Schindler.Quasilinear elliptic boundary－value problems on unbounded Cylinders and a related mountain－pass lemma［J］.Arch Rational Mech Anan，1992，120：363－374.

［2］ P L Lions.The concentration－compactness principle in the calculus of variations，The locally compact case［J］.Ann Inst Herni Poincare Analyse Non Lineaire，1984，1：109－145；223－283.

［3］ Fan xianling，Zhao yuanzhang.Linking and multiplicity results for the p－Laplacian on unbounded cylinders［J］.J Math Anal Appli，2001，260：479－489.

［4］ Raghavenadra V，Sreenadh K.Nontrivial solutions for perturbations of a Hardy－Sobolev operator on unbounded domain［J］.J Math Anal Appli，2003，288：314－325.

［5］ 宣本金.變分法－理論與應(yīng)用［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006.

［6］ Michel Willem.Minimax theorems.Progress in nonlinear differential equations and their application［M］.Boston：Birkhauser，1996.

［7］ Lions P L.Symetrie et compacite dans les espaces de Sobolev［J］.J Funcl Anal，1982，49：315－334.

［8］ Richard S Palais.The principle of symmetric criticality［J］.Commun Math Phys，1979，69：19－30.

［9］ 張恭慶.臨界點理論及其應(yīng)用［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.

［10］ Adams R A.Sobolev空間［M］.葉其孝譯.北京：人民教育出版社，1981.

［11］ Lao Senyu.Nonlinear p–Laplacian problems on unbounded domains［J］.Proceedings of American Mathematical Society，1992，115：1037－1045.

The Existence of Solutions for a Class of p－Laplacian with Hardy－Sobolev Operator

ZHAO Yuan－Zhang1，YAN Xian－Wei1，ZHANG Qiang2
（1.School of Mathematical Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China；2.Weifang College of Science and Technology，Weifang 261000，China）

In this paper，with the principle of symmetric criticality，the existence of nontrivial solutions is proved for a class of p－Laplace equations with Hardy－Sobolev operator on unbounded cylinders.

p－Laplace equation；mountain pass lemma；principle of symmetric criticality

O175.25

A

1672－5174（2011）11－124－03

國家自然科學(xué)基金項目（10671169）資助

2010－11－17；

2011－04－29

趙元章（1972－），男，副教授。E－mail：zhaoyzh＠yahoo.com.cn

AMS Subject Classification：35J70

責(zé)任編輯 朱寶象