呂其寶 高彩琳 王秀娟

（天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072）

一類具有反饋控制和時滯的離散系統(tǒng)的持久性

呂其寶 高彩琳 王秀娟

（天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072）

研究了一類具有反饋控制和時滯的離散漁業(yè)捕獲系統(tǒng)的持久性，利用比較原理得到了系統(tǒng)持久存在的充分條件.

持久性；反饋系統(tǒng)；時滯；比較原理

0 引言

考慮下面在漁業(yè)中廣泛應(yīng)用的微分方程［1－4］：

其中N（t）為生物種群的數(shù)量，L（t，N）為種群的單位增長率，M（t，N）為種群的單位死亡率，F(xiàn)（t）為人均捕獲量.

其中r＞0，控制種群密度依賴的快慢，a，K，b∈C（［0，∞），［0，∞）），他們利用研究了（2）的持久性和全局吸引的周期解的存在性.Wang［6］利用重合度理論得到了（2）存在全局吸引的周期解的一些充分條件.

近幾年，許多學(xué)者對離散系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究，相對于連續(xù)的系統(tǒng)而言，離散系統(tǒng)在很多情況下更接近實際情況，而且在數(shù)值計算方面也能為連續(xù)模型提供有效的數(shù)值模型，例如［7－9］.

Zhang，Li和 Ye［10］研究了（2）具有自反饋控制的離散模型

他們得到了系統(tǒng)持久穩(wěn)定和存在概周期解的的充分條件.然而在現(xiàn)實世界中，種群的數(shù)量不僅與當(dāng)代有關(guān)，而且與前代甚至前幾代都有很大的關(guān)系，鑒于此，本文研究與（3）相應(yīng)地出現(xiàn)時滯的情況.

考慮系統(tǒng)

對于每一個有界序列｛f（n）｝，我們定義

1 相關(guān)引理

我們首先考慮下面的微分方程

其中a（n），b（n），K（n）為定義在Z上實的有界序列，am＞0，bm＞0，K m＞0.

引理1 如果N（n）是（5）滿足初始條件N（n）＞0的非負(fù)解，滿足am＞b M，則存在一個正數(shù)，使得

引理1的證明過程和文獻(xiàn)［10］中的Proposition3.1相似，在這里我們就不再證明了.

接下來考慮另一個微分方程

其中γ（n），ω（n）為定義在Z上實的有界序列，0＜γm≤γM＜1，ωm≥0.

引理2［9］如果N（n）是（5）滿足初始條件N（n）＞0的非負(fù)解，有

2 持久性

命題1 假設(shè)（H1）和（H2）成立，并且滿足（H3）：am＞b M，那么對（4）的任意解有：

這是矛盾的，由此可得命題2成立.

定理1 假設(shè)（H1），（H2）和（H3）成立，則系統(tǒng)（4）是持久的.

證明 由引理2和命題2可知

綜上命題1和命題2我們可知，定理1成立.

［1］Berezansky L，Braverman E，Idels L.On delay differential equations with Hills type growth rate and linear harvesting ［J］.Computers ＆ Mathematics with Applications，2005，49：549-63

［2］Gopalsamy K.Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics［J］.Kluwer Academic Publishers，1992

［3］Mark Kot.Elements of mathematical ecology［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2001

［4］Yang Kuang.Delay differential equations with applications in population dynamics［M］.San Diego：Academic Press，1993

［5］Berenzansky L，Idels L.Stability and existence of a time-varying fishing model with delay ［J］.Applied Mathematics Letters 2008，21：447-52

［6］Wang Xiaoping.Stability and existence of periodic solutions for a time-varying fishing model with delay［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11：3 309-3 315

［7］Chen Fengde.Permanence of a single species discrete model with feedback control and delay［J］.Applied Mathematics Letters，2007，20：729-733

［8］Chen Fengde.Permanence of a discrete N-species cooperation system with delays and feedback controls［J］.Applied Mathematics Computation 2007，186：23-29

［9］Xu Jiaobo，Teng Zhizhong.Permanence for a nonautonomous discrete single-species system with delays and feedback control［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23：949-954

［10］Zhang Tianwei，Li Yongkun，Ye Yuan.Persistence and almost periodic solutions for a discrete fishing model with feedback control［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16：1 564-1 573

Permanence of a Discrete System with Feedback Control and Delays

Lv Qibao Gao Cailing Wang Xiujuan
（College of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The permanence of a discrete fishing system with feedback control and delays was investigated.By using comparison principle，sufficient conditions for ensuring the permanence of the system are obtained.

permanence；feedback；time delay；comparison principle

王映苗】

1672-2027（2011）03-0001-04

O175.1

A

2011-03-08

國家自然科學(xué)基金（11071185，10771159）.

呂其寶（1986-），男，山東濱州人，天津大學(xué)理學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事動力系統(tǒng)研究.