帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的三個(gè)問(wèn)題的再探討

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030)

《物理通報(bào)》2010年第3期胡均宇《關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目誤解分析》中對(duì)三個(gè)題目作出了判斷：題目由于條件不足，不能求出小球在最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和下落的高度.筆者認(rèn)為這三個(gè)題目在高中階段是能做出來(lái)的.以下就是筆者的分析過(guò)程.

【題目1】如圖1，一電荷量為+q的小球固定在與水平面平行的足夠大的勻場(chǎng)磁場(chǎng)中.若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，小球的質(zhì)量為m，自由釋放小球.試分析小球的運(yùn)動(dòng)情況并求出帶電小球下落的高度.

解法一：利用動(dòng)量定理與動(dòng)能定理求解

圖1

由題意可知，帶電小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力和洛倫茲力作用，其中只有重力做功，所以小球的機(jī)械能守恒.設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為vm，則其速度一定為水平方向.設(shè)小球下降的最大高度為h，則有

洛倫茲力雖不做功，但產(chǎn)生沖量，把小球在某一時(shí)刻的速度分解為水平和豎直兩方向，水平分速度產(chǎn)生的洛倫茲力豎直向上，豎直分速度產(chǎn)生的洛倫茲力水平向右，則由動(dòng)量定理可知，小球在水平方向上的動(dòng)量改變?yōu)?/p>

mvm=∑Bqvy·t=

Bq∑vy·t=Bqh

由上兩式聯(lián)立可求得

解法二：利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解

圖2

如圖2，設(shè)開(kāi)始時(shí)小球向左和向右各一個(gè)初速度，大小均為v0，且

Bqv0=mg

則帶電小球的運(yùn)動(dòng)可分解為兩個(gè)運(yùn)動(dòng):在水平方向上做速度大小為v0的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，和在豎直方向上做速度大小為v0的勻速圓周運(yùn)動(dòng).向心力

則

其中軌跡的最大高度為

最大速度為

解法三：根據(jù)韋達(dá)定理求解

如圖1,設(shè)帶電小球在最低點(diǎn)的速度為vm，下落的高度為h，最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率半徑為ρ，則由動(dòng)能定理得

由最低點(diǎn)的向心力公式得

將向心力公式整理后得

mvm2-ρBqvm+mgρ=0

方程中速度只有唯一解，所以

Δ=(ρBq)2-4m2gρ=0

求得

【題目2】如圖3，兩極板間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，靜止在負(fù)極板附近的帶負(fù)電微粒，質(zhì)量為m1、電荷量為-q，在MN間突然加上勻強(qiáng)電場(chǎng)E時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，水平擊中速度為零的中性粒子m2后，粘合在一起恰好沿一段圓弧運(yùn)動(dòng)到N極板上.求m1擊中m2時(shí)的高度，m1擊中m2前瞬時(shí)速度，m2的質(zhì)量及m1和m2粘合體做圓弧運(yùn)動(dòng)的半徑.

圖3

解析:由題目1中的解答結(jié)果可知

設(shè)粒子m1在復(fù)合場(chǎng)中的等效重力加速度

代替上式中的g即可，所以

根據(jù)題意可知m1、m2在相碰時(shí)動(dòng)量守恒.設(shè)碰后的速度為v，則有

m1vm=(m1+m2)v

碰后兩粒子恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以

Eq=(m1+m2)g

可求得

碰后系統(tǒng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以向心力

求得

將v,m2的關(guān)系式代入后,得

【題目3】?jī)A角為θ足夠長(zhǎng)光滑斜面處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，如圖4所示.若一電荷量為-q的小物體從頂端由靜止開(kāi)始下滑，已知小物體的質(zhì)量為m.求：

(1)小物體離開(kāi)斜面時(shí)的速度；

(2)小物體沿斜面下滑的距離；

(3)小物體離開(kāi)斜面后的最終速度大小.

圖4

解析:由垂直斜面方向上的平衡條件和機(jī)械能守恒定律可求得

qvB=mgcosθ

解得

由

解得

設(shè)粒子離開(kāi)斜面后在最低點(diǎn)時(shí)的速度為vm，下落的高度為h，則由水平方向上的動(dòng)量定理有

∑Bqvy·t=m(vm-vcosθ)=Bqh

由粒子的機(jī)械能守恒得

聯(lián)立以上兩式可求得

帶電粒子離開(kāi)斜面后沒(méi)有最終速度，只有最大速度且此時(shí)帶電粒子受的洛倫茲力大于重力，所以它會(huì)再向上減速運(yùn)動(dòng).