從開普勒定律到萬(wàn)有引力定律

于永剛

(安國(guó)中學(xué) 河北 保定 071200)

高中階段，由于缺少數(shù)學(xué)知識(shí)，從開普勒定律到萬(wàn)有引力的推導(dǎo)只能在簡(jiǎn)化之后的圓軌道上進(jìn)行.甚至大學(xué)階段，普通物理的教材中，也采用了這個(gè)方法.本文力圖從原始的橢圓軌道入手，導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律.當(dāng)然，這個(gè)過程不可能不涉及高等數(shù)學(xué)的知識(shí).首先做一個(gè)準(zhǔn)備工作，然后再集中考慮推導(dǎo)的過程.如果“準(zhǔn)備”中的知識(shí)已完全清楚，則可以直接考慮定律的推導(dǎo).

1 準(zhǔn)備

1.1 極坐標(biāo)中的橢圓方程

橢圓定義為到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e，且e<1時(shí)的點(diǎn)的集合.

如圖1所示，在極坐標(biāo)中，Ox為極軸，l是垂直于極軸的定直線，它與O點(diǎn)的距離為p.由橢圓的定義可知

可得

(1)

圖1

1.2 極坐標(biāo)中的位置矢量

r=ri

(2)

圖2

式(2)中等號(hào)右邊的r表示的是位矢的大小，i表示的位矢的方向.但是應(yīng)當(dāng)注意的是，不管是r還是i，都不一定是常量.這和直角坐標(biāo)系中的單位向量是常量是有區(qū)別的.

另外，r和i都是θ的函數(shù)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中θ又是時(shí)間t的函數(shù).所以，r和i都是時(shí)間t的函數(shù)，所以也可以說位置矢量r是時(shí)間的函數(shù).

在這里，必須清楚的是，極坐標(biāo)中的矢量表示和用極坐標(biāo)表示函數(shù)關(guān)系并不完全是一回事.若用極坐標(biāo)表示數(shù)量關(guān)系，只需要用標(biāo)量式r=r(θ)即可，在表示矢量時(shí)，不得不在這個(gè)基礎(chǔ)上加上了單位矢量i.

1.3 極坐標(biāo)中的速度和加速度

下面先求單位矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).

圖3

在圖3中，以O(shè)x方向?yàn)閤軸，O為原點(diǎn)，垂直O(jiān)x向上為y軸建立直角坐標(biāo)系，用ξ，η表示沿x軸、y軸的單位矢量，則i，j可分別表示為

i=cosθξ+sinθη

-sinθξ+cosθη

因此

對(duì)比j的表達(dá)式有

(3)

(4)

下面對(duì)位矢函數(shù)r=ri求導(dǎo)，這樣可以得到在極坐標(biāo)系中的速度公式

(5)

將上面得到的速度公式再次求導(dǎo)，可以得到加速度的表達(dá)式

其中

(6)

(7)

分別表示徑向加速度和橫向加速度.

2 推導(dǎo)

開普勒定律包括三大定律.

開普勒第一定律(橢圓定律)：每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.

開普勒第二定律(面積定律)：在相等時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過的面積都是相等的.

想出兩行文字，心里蠻得意，叫作“磚瓦有神佑，風(fēng)火正當(dāng)時(shí)”。沒問題吧？可剛鋪好紙，李打油沖過來，一把奪去我的毛筆摔在地上，弄得我一手墨黑。他沖我吼道：你是道士你敢畫符呀，下一窯再出問題你當(dāng)替死鬼呀！

開普勒第三定律(調(diào)和定律)：各個(gè)行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比.

由(7)式可知

在極坐標(biāo)中，θ為變量，所以當(dāng)它由θ變?yōu)棣?dθ過程中，極徑r掃過的面積的微元(用一個(gè)扇形的面積近似代替，這和直角坐標(biāo)系中用矩形的面積近似代替曲邊梯形是相似的)為

設(shè)角度由θ變?yōu)棣?dθ過程中經(jīng)歷的時(shí)間為dt,上式兩邊除以dt，由開普勒第二定律知，在任意相等的時(shí)間里行星和太陽(yáng)的連線(極徑)掃過的面積相等(是一個(gè)常量).即

也就是

此“常量”是上式中“常量”數(shù)值的2倍.

故

這就是說

(8)

(9)

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(10)

可得

(11)

再次對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

即

(12)

代入(12)式可得

(13)

由(6)可知

對(duì)上式右邊分?jǐn)?shù)線上下同乘以r2有

(14)

由開普勒第三定律知

(15)

式中a是行星公轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸，T是行星公轉(zhuǎn)的周期.而單位時(shí)間內(nèi)行星與太陽(yáng)的連線掃過的面積，即面積的變化率為

(16)

式中a，b分別表示橢圓的半長(zhǎng)軸與半短軸，而πab表示的是橢圓的面積.

因此有

(17)

(18)

將(18)式代入(14)式有

(19)

(20)

當(dāng)θ=π時(shí)

(21)

如圖4所示，OB為r1，AO為r2.可知

r1+r2=2a

(22)

圖4

將(20)、(21)式代入(22)式可得

pe=a(1-e2)

(23)

因此

代入(19)式可得

(24)

上式中，4π2k是與軌道無(wú)關(guān)的量，負(fù)號(hào)的含義是ar的方向與矢徑r的方向相反.至此，由開普勒定律推導(dǎo)出了徑向加速度與距離的平方成反比，從而不難推得引力與距離平方成反比關(guān)系.

在(24)式的基礎(chǔ)上，乘以行星與太陽(yáng)的折合質(zhì)量

就可以得到

即

(25)

這正是想要的結(jié)果.

至此萬(wàn)有引力定律得證.