淺談轉化與化歸思想在解二面角中的運用

張 瑛 ,雷 麗

(商丘職業(yè)技術學院河南,商丘 476000)

一、空間維數(shù)的變化

“立體幾何問題平面化”是解決立體幾何問題的重要思想方法,二面角的求法也不例外。如“定義法 ”、“垂面法 ”、“三垂線法 ”、“射影面積法 ”等無不是這一思想方法的重要體現(xiàn)。

例 1：已知三條射線 SA、SB、SC所成的角∠ASB=45°,∠ASC=∠BSC=30°,求平面 ASC和平面BSC所成二面角的大小。

解：如圖1,過 SC上任意一點 D,在平面 ASC內作 DE⊥SC交 SA于 E,在平面 BSC內作 DF⊥SC交 SB于 F,則∠EDF是二面角 A-SC-B的平面角,可證得△ESD≌△FSD。

圖1

在 △DEF中,有 EF2=

二、主與次的轉化

若所要求的二面角較難計算時,可退而求其次——即求出它的“鄰補二面角”或“同位 (內錯)二面角”的大小。

例 2：在長方體 ABCD-A′B′C′D′中 ,E為 AB的中點,AB=2BC,求二面角 A-D′E-C的大小。

解：如圖2,連接 B′E、BC′,B′C

設 BC′與 B′C相交于 F,連接 BF。

∵BC′∥D′A ∴A、D′、E、F四點共面

∴二面角 A-D′EC的鄰補二面角為 C′-D′E-C

在矩形 ABCD中,∵AE=EB=BC ∴DE⊥EC,又 D′D⊥平面 ABCD,∴D′E⊥EC同理 ,D′E⊥EB′ ∴D′E⊥平面 B′EC ∴D′E⊥EF ∴∠CEF為二面角 C′-D′E-C的平面角

∵EB⊥平面 BCB′,BF⊥B′C ∴EF⊥FC

圖2

∴∠CEF=30°

故二面角 A-D′E-C的大小為 150°(180°-30°)。

三、未知向已知轉化

在求二面角時,有時可借助圖形的幾何特征將所求二面角轉化為已知的折疊角公式或異面直線所成角來求,從而實現(xiàn)未知向已知的轉化與過渡。

例 3：在正方體 AC1中,E、F分別是 C1B、AD1的中點,求二面角 E-BD-F的大小。

解：如圖3,設正方體的棱長為 a,過 E作 EF⊥BD于 G,過 F作 FH⊥BD于 H,顯然,BG=DH=

圖3

設 AC∩BD=0,連接 OC1

∵AC⊥BD ∴C1O⊥BD

又 EG∥C1O ∴EG⊥

所以,HG為 EG、FH的公垂線段,二面角 EBD-F的大小等于異面直線 EG與 FH所成的角(或其補角)。設為θ,則由異面直線上兩點間距離公式有

四、思維觀點的轉化

作為知識,向量與復數(shù)有許多地方是可以類比、相互貫通的,作為工具,向量比復數(shù)具有更靈活、更廣闊的應用,而向量是數(shù)和形有機結合體,所以它在求二面體方面發(fā)揮了非凡的作用,為二面角的求法帶來了新觀點,增加了新色彩。

例 4：如圖4,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角 A-PB-C的大小。

圖4

解法一：取 PB的中點 D,連接CD,因為 PC=CB=,所以 CD⊥PB,作 AE⊥PB于 E,則二面有 A-PB-C的大小等于異面射線DC與 EA所成的角θ的大小。

圖5

解法二：如圖5,建立空間直角坐標系 C-xyz,取PB的中點 D,連接 DC,可證DC ⊥PB,作 AE⊥PB,則向二面角A-PB-C的大小

解法三：如圖6,作 CD⊥AB于 D,AE⊥PC于 E,易證 CD⊥平面 APB,AE⊥平面PBC

圖6

如圖,建立空間直角坐標系c-xyz

不難看出,轉化與化歸思想在二面角求法中發(fā)揮了重要作用?？梢哉f,沒有轉化,就不可能求出任何一個二面角?？偠灾?在數(shù)學教學中有意識地讓學生去觀察和思考問題,揭示教材的內在聯(lián)系和層次性,善于運用化歸轉化的意識,找到正確的化歸轉化的方向和途徑,就能提高學生的思維能力,提高學生的解題能力。

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