許進(jìn)升，鞠玉濤，鄭 健，韓 波

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

松弛模量是研究固體推進(jìn)劑力學(xué)性能的重要前提，一般通過材料的應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)獲得，但在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方面，傳統(tǒng)的方法忽視了松弛實(shí)驗(yàn)的應(yīng)變加載階段［1-2］，得到的初始松弛模量偏小，精確度較差。Zapas、Matti Malinen、Joonas Sorvari［3-7］等人針對(duì)該問題進(jìn)行了深入的研究，利用數(shù)值方法改進(jìn)了松弛模量的獲取方法，提高了其精確度。但此方法在數(shù)據(jù)處理方面需要計(jì)算應(yīng)力的變化速率，對(duì)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)提出較高的要求，且數(shù)據(jù)處理比較繁瑣。

本研究從線黏彈性理論出發(fā)，將松弛模量以Prony級(jí)數(shù)形式表示，結(jié)合松弛實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng)，擬合得到推進(jìn)劑松弛模量中的材料參數(shù)。利用線性黏彈性理論計(jì)算啞鈴型試件松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)過程中的應(yīng)力響應(yīng)，用該方法獲取的松弛模量不僅精確度較高，且數(shù)據(jù)處理方便。

1 理論計(jì)算

本研究由線性黏彈性理論出發(fā)，其具體形式［8］：

式中：松弛模量E（t）以6 階的Prony 級(jí)數(shù)形式表示，如式（2）：

應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)中理想的應(yīng)變加載過程如圖1（a）所示，但拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)不可能獲得理想的ε0階躍載荷。實(shí)際松弛實(shí)驗(yàn)是將試件以等應(yīng)變率拉伸或壓縮t1時(shí)間后，達(dá)到恒應(yīng)變值，并保持該應(yīng)變值ε0一段時(shí)間，實(shí)時(shí)記錄材料的應(yīng)力響應(yīng)，實(shí)際應(yīng)變加載過程如圖1（b）所示。

圖1 松弛實(shí)驗(yàn)的應(yīng)變過程Fig.1 Strain history in the relaxation test

1.1 傳統(tǒng)方法

在獲取材料松弛模量的傳統(tǒng)方法中，忽略了應(yīng)變的加載階段，而將應(yīng)變達(dá)到ε0的時(shí)刻t1作為松弛實(shí)驗(yàn)的初始時(shí)刻，則松弛模量可表示為：

式中：E（t）為t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的松弛模量，MPa；F（t）為t時(shí)刻傳感器測(cè)得的力，N；A0為材料試件的初始截面積，mm2；ε0為松弛應(yīng)變水平。

該方法目前應(yīng)用最為廣泛，但由于在應(yīng)變加載過程中，應(yīng)力已經(jīng)發(fā)生了一定的松弛，因此通過該方法獲得的初始彈性模量比真實(shí)值要小。適用于松弛特性較弱的材料，但對(duì)于松弛特性較強(qiáng)的材料而言，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，因此需要經(jīng)過一定的處理，考慮等應(yīng)變率加載階段對(duì)應(yīng)力松弛的影響。

1.2 Joonas方法

實(shí)際的應(yīng)變加載過程可通過式（4）表述為：

將實(shí)際的應(yīng)變加載過程代入線黏彈性本構(gòu)方程中得到：

將（6）式對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)得：

Sorvari和Malinen在2006年提出用梯形法則來近似求解（6）式：

（7）式、（8）式聯(lián)合便可以得到：

或

式中：h為時(shí)間步長(zhǎng)，該步長(zhǎng)由松弛實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)采集頻率確定。根據(jù)（10）式便可以通過t1時(shí)刻的應(yīng)力值σ（t1）得到材料的初始松弛模量E（0）。式（11）中采用了數(shù)值近似計(jì)算的方式，為減小該近似造成的誤差，需要提高數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的測(cè)試頻率，減小時(shí)間步長(zhǎng)h，對(duì)采集系統(tǒng)提出了較高的要求，且由于數(shù)據(jù)量大，對(duì)數(shù)據(jù)處理也帶來了不便。

1.3 基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法

本研究提出一種基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法。該方法從線黏彈性理論出發(fā)，松弛模量以6階Prony級(jí)數(shù)的形式表示。將實(shí)際的應(yīng)變加載過程代入線黏彈性本構(gòu)方程中得到：

當(dāng)t＜t1時(shí)，

當(dāng)t＞t1時(shí)，

松弛實(shí)驗(yàn)中，可以方便地得到t＞t1時(shí)試件中的應(yīng)力響應(yīng)σ（t）、應(yīng)變?chǔ)?和時(shí)刻t1，利用以上數(shù)據(jù)，可以直接擬合得到松弛模量中的參數(shù)E∞、Ei和τi，可見該方法在處理數(shù)據(jù)方面較方便。

2 實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

本研究針對(duì)HTPB 復(fù)合推進(jìn)劑進(jìn)行了應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸破壞實(shí)驗(yàn)，利用松弛實(shí)驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng)等數(shù)據(jù)通過上述3種方法進(jìn)行處理，分別擬合出松弛模量中的材料參數(shù)。利用所得的松弛模量分別計(jì)算出松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)應(yīng)力響應(yīng)的理論解，并與松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng)實(shí)驗(yàn)值對(duì)比，以驗(yàn)證3種方法處理松弛模量的適用性和精確度。

2.1 松弛及等速率拉伸實(shí)驗(yàn)

采用QJ-211B型電子萬能實(shí)驗(yàn)機(jī)，實(shí)驗(yàn)中保持恒溫20℃，濕度70%。試件采用HTPB 復(fù)合固體推進(jìn)劑板條形啞鈴試件，尺寸如圖2所示。

圖2 試件尺寸示意圖Fig.2 Schematic diagram of specimen size

松弛實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變加載過程為：加載速度為100mm／min，實(shí)際加載應(yīng)變率為0.009 7s-1，加載時(shí)間t1=4.74s，應(yīng)變水平為ε0=4.59%，松弛時(shí)間為1 800s，重復(fù)5次，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均值。圖3（a）為松弛實(shí)驗(yàn)獲得的σ-t曲線。

為便于得到實(shí)驗(yàn)的理論解，可進(jìn)行等速率拉伸破壞試驗(yàn)，拉伸速率為100mm／min，實(shí)際應(yīng)變率為0.009 5s-1，重復(fù)5次，應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)取平均值。圖3（b）為等速率拉伸實(shí)驗(yàn)獲得的σ-t曲線。

2.2 松弛模量的計(jì)算

數(shù)據(jù)處理過程中，傳統(tǒng)方法和Joonas方法首先需要得到材料不同時(shí)刻的松弛模量，然后再將松弛模量擬合為6階的Prony級(jí)數(shù)形式。而本研究提出的方法中，可直接根據(jù)式（13）擬合出松弛模量。3種方法得到的松弛模量如表1所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)獲得的σ-t曲線Fig.3 σ-t curves obtained by experiments

表1 Prony級(jí)數(shù)參數(shù)值Table 1 Values of Prony series coefficients

圖4為3種擬合手段得到的松弛模量的對(duì)比，傳統(tǒng)方法得到的初始松弛模量E0=11.745 28MPa，Joonas 方法擬合得到的初始松弛模量E0=33.126 19MPa，基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法得到的初始松弛模量E0=29.434 67MPa。從圖4中可以看到，三者的主要差別發(fā)生在前2s內(nèi)，而隨著時(shí)間的推移，三者之間逐漸趨于一致。且在前2s內(nèi)，松弛模量的變化也最劇烈，說明該型固體推進(jìn)劑的松弛現(xiàn)象較強(qiáng)，而在松弛實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變加載時(shí)間達(dá)到4.74s，因此不能忽視此階段的應(yīng)力松弛，這也是傳統(tǒng)方法中初始松弛模量較其他兩種小很多的原因。

圖4 3種方法擬合得到的松弛模量曲線Fig.4 Relaxation modulus curves obtained by the three ways

2.3 松弛模量的驗(yàn)證

利用上述3種方法擬合得到的松弛模量，計(jì)算應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力響應(yīng)理論解，通過與松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，以驗(yàn)證這3種方法處理松弛模量的適用性和精確度。

將所求的松弛模量分別帶入（13）式，計(jì)算松弛實(shí)驗(yàn)中t1時(shí)刻以后的應(yīng)力響應(yīng)，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示?？梢钥吹剑瑢?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較符合Joonas方法和基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法計(jì)算得到的曲線分布，且t1時(shí)刻的實(shí)驗(yàn)值與基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法更漸近，而傳統(tǒng)方法得到的曲線相對(duì)偏小。

圖5 t1時(shí)刻后松弛應(yīng)力實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值的對(duì)比Fig.5 Comparison of the calculated values and experimental ones for relaxation after t1time

為進(jìn)一步驗(yàn)證松弛模量的準(zhǔn)確性，對(duì)材料在同等條件下進(jìn)行了100mm／min拉伸破壞實(shí)驗(yàn)。圖6為拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線實(shí)驗(yàn)值與理論值的對(duì)比。由圖6可以看到，通過傳統(tǒng)方法獲得的理論值與實(shí)驗(yàn)值存在較大的差距，精確度較差；在材料的線性階段，Joonas方法與基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果重合得較好，但由于材料在大變形下表現(xiàn)出明顯的非線性特性，當(dāng)應(yīng)變值大于15%以后，理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生了較大的偏差。因此可認(rèn)為當(dāng)該推進(jìn)劑材料的應(yīng)變小于15%時(shí)，線黏彈性理論仍有較好的適用性，當(dāng)應(yīng)變超出該范圍時(shí)，應(yīng)采用非線性黏彈性理論來描述材料的力學(xué)性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在計(jì)算黏彈性材料的松弛模量中，Joonas方法和基于Prony 級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法是很好的選擇。

圖6 等速率拉伸σ-ε實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of the experimental values by extension test at the constant rate and the calculated ones

3 結(jié) 論

（1）傳統(tǒng)方法由于忽視了應(yīng)變加載階段的應(yīng)力松弛，獲得的松弛模量值在6s之前偏小，而6s之后與另外兩種基本重合，適用于松弛特性較弱的材料。

（2）采用Joonas方法和基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法均可得到較高精度的松弛模量。且對(duì)于第二種方法數(shù)據(jù)處理更方便，是計(jì)算黏彈性材料松弛模量較好的選擇。

（3）用3種方法獲得松弛模量的主要誤差出現(xiàn)在前2s內(nèi)，隨時(shí)間的推移，三者逐漸趨于重合，且在前2s內(nèi)松弛模量變化最劇烈，說明該推進(jìn)劑的松弛現(xiàn)象較明顯。

（4）對(duì)于HTPB 復(fù)合固體推進(jìn)劑，當(dāng)應(yīng)變值小于15%，可采用簡(jiǎn)單的線黏彈性理論描述其力學(xué)性能；當(dāng)應(yīng)變值大于15%，需要采用較復(fù)雜的非線性黏彈性本構(gòu)模型。

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