鄭琴，張露，戴毅，陸小慶

(解放軍理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京211101)

0 引言

數(shù)值天氣預(yù)報與人們的日常生活息息相關(guān)，一些災(zāi)害性天氣(如臺風(fēng)、暴雨)給人民的財產(chǎn)和生命安全構(gòu)成極大威脅，也對國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生一定影響，因此提高預(yù)報效果、減少預(yù)報誤差，具有十分重要的意義。然而，大氣系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)，且具有混沌特征，使得各種模式的預(yù)報結(jié)果對初始場的微小誤差非常敏感，由于觀測誤差(包括儀器誤差、觀測點在時間和空間上的不夠密集引起的插值誤差等)的存在，導(dǎo)致初始場具有不確定性，從而大氣的實際運動狀態(tài)不可能被完全精確地描述出來，因此研究初始場的不確定性對預(yù)報效果的影響有著重要的理論意義和實踐意義。

按照導(dǎo)致預(yù)報誤差的原因不同，數(shù)值天氣預(yù)報問題可以劃分為兩類:第一類可預(yù)報性與初始誤差有關(guān)，第二類可預(yù)報性與模式誤差有關(guān)。根據(jù)實際需求，Mu et al.(2002)又將與第一類可預(yù)報性相關(guān)的問題劃分為以下3個子問題:最大可預(yù)報時間下界問題、最大預(yù)報誤差上界問題、最大允許初始誤差和參數(shù)誤差下界問題。為了有效求解這3個子問題，最近Duan and Luo(2010)提出了一種新策略，由條件非線性最優(yōu)擾動(conditional nonlinear optimal perturbation，CNOP)來實現(xiàn)這3個問題的求解。CNOP屬帶約束的優(yōu)化問題，目前求解CNOP的主要方法是采用能處理約束條件的優(yōu)化算法SQP(sequential quadratic programming)、SPG2(spectral projected gradient 2)(Mu et al.，2002;Mu and Duan，2003;Mu et al.，2003;Mu and Zhang，2006;Mu and Jiang，2007;Duan and Mu，2009;Duan and Luo，2010)和基于經(jīng)驗正交函數(shù)(empirical orthogonal function，EOF)分解的快速算法(Wang and Tan，2009)。SQP或SPG2是基于梯度信息的優(yōu)化算法，其梯度由傳統(tǒng)伴隨方法(conventional adjoint method，ADJ)計算。許多CNOP的相關(guān)文獻(xiàn)所采用的非線性模式均不含“開關(guān)”，因此傳統(tǒng)伴隨方法能為優(yōu)化算法提供正確的梯度信息;然而，在數(shù)值天氣預(yù)報中，對物理過程，特別是濕物理過程的參數(shù)化，會導(dǎo)致模式方程中的某些項關(guān)于時間或模式變量不連續(xù)或不可微，這種現(xiàn)象通常稱為“on-off”開關(guān)問題(Xu，1996a，1996b;Xu and Gao，1999;Mu and Wang，2003;Mu and Zheng，2005;Wang et al.，2005;Zheng and Mu，2006;戴毅和鄭琴，2007;鄭琴和戴毅，2009)。當(dāng)控制方程中有不連續(xù)“開關(guān)”時，目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)它的某些初值的梯度不存在，傳統(tǒng)伴隨方法不能為優(yōu)化過程提供正確的搜索方向，導(dǎo)致優(yōu)化失敗?；贓OF的快速求解CNOP方法，避免了伴隨模式程序的編寫和計算，該方法所求得的CNOP只是真正意義下的CNOP的一種近似，其近似程度與樣本的選取密切相關(guān)，在實際應(yīng)用中，可能會對誤差增長的強(qiáng)度有所減弱(Wang and Tan，2009)。

為了避免上述各種方法的不足，尋求一種新的全局優(yōu)化算法，求解CNOP和最大預(yù)報誤差，顯得尤為重要。遺傳算法(genetic algorithm，GA)是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計算模型，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索全局最優(yōu)解的方法，整個迭代過程不需要梯度的相關(guān)信息。目前，遺傳算法已被應(yīng)用于資料同化(陳東升等，2004;胡婭敏等，2006;石娟等，2009;Fang et al.，2009)和CNOP的求解(Fang and Zheng，2009)等問題中。

本文以修改的Lorenz模型為預(yù)報模式，主要研究當(dāng)模式含有開關(guān)時，遺傳算法求解最大預(yù)報誤差的可行性，有效克服了模式含有開關(guān)時，傳統(tǒng)伴隨方法不能為優(yōu)化過程提供正確下降方向，以及經(jīng)驗正交分解方法只能求近似解的矛盾。第1節(jié)介紹CNOP和最大預(yù)報誤差問題;第2節(jié)對修改的Lorenz模型進(jìn)行簡單描述，并分析其特點;第3節(jié)介紹遺傳算法的基本原理和基本流程;第4節(jié)是數(shù)值試驗，對于修改的Lorenz模型，分別選取模式的3個初始態(tài)，用傳統(tǒng)伴隨方法和遺傳算法求解最大預(yù)報誤差，比較分析試驗結(jié)果，檢驗遺傳算法求解該問題的可行性;第5節(jié)給出結(jié)論，并對遺傳算法求解最大預(yù)報誤差的優(yōu)劣進(jìn)行了簡單的評述。

1 CNOP和最大預(yù)報誤差

1.1 CNOP的定義

為了考察非線性對大氣和海洋運動可預(yù)報性的影響，克服線性奇異向量和線性奇異值的缺點，Mu et al.(2003)提出了CNOP的概念，它是滿足一定約束條件且在預(yù)報時刻有最大非線性發(fā)展的一類初始擾動。假設(shè)模擬大氣和海洋運動的模式如下:

其中:w(x，t)=(w1(x，t)，w2(x，t)，…，wn(x，t));x=(x1，x2，…xn);t代表時間;F是非線性算子;w0是初始態(tài)。(x，t)∈Ω×［0，T］，Ω?Rn，T＜+∞。假設(shè)Mt是模式(1)從時刻0到t的傳播算子，在初始態(tài)w0上疊加一初始擾動u0，在T時刻記初始擾動u0的非線性發(fā)展為u(T)，則

選取適當(dāng)范數(shù)‖·‖，記目標(biāo)函數(shù)為

若初始擾動u0δ滿足則初始擾動u0δ稱為CNOP≤δ是初始擾動的約束條件。

目前，CNOP方法已廣泛應(yīng)用于資料同化(Fang et al.，2009)、目標(biāo)觀測(Tan et al.，2010)和可預(yù)報性問題(Mu et al.，2002;Mu and Duan，2003)的研究中。

1.2 最大預(yù)報誤差上界問題

對于模式(1)，假設(shè)初始態(tài)的觀測值wobs0和模式參數(shù)μg是已知的，在給定的預(yù)報時刻T，記預(yù)報誤差為E，則為給定二范數(shù)是T時刻狀態(tài)的真實值，然而這個真實值不可能確切知道，因此通過(5)式來求解預(yù)報誤差E也是不可能的。為此，Mu et al.(2002)將此問題減弱為求解下列最大預(yù)報誤差上界問題。若知道初始誤差和模式參數(shù)誤差的相關(guān)信息，如其中為給定范數(shù)，在(6)式成立的條件下，預(yù)報誤差E可以通過下面的優(yōu)化問題來估計，其中Bδ1和Bδ2分別是以和μg為球心、以δ1和δ2為半徑的球?？勺C得E≤Ew，這樣Ew就給出了預(yù)報誤差E的上界估計。本文假定模式是完美的，不存在模式參數(shù)誤差，只考慮初始觀測誤差。

2 修改的Lorenz模型

美國著名氣象學(xué)家E.N.Lorenz在研究大氣環(huán)流模型的過程中，給出了用來刻畫大氣熱對流不穩(wěn)定性的Lorenz模型(Lorenz，1963):

其中r=r0+r1H(c)，c≡y－yc。令模式(9)中三個方程右端為0，可求出Lorenz模型的3個平衡點:

文中以該模型為理想模型進(jìn)行數(shù)值試驗，考慮到C1與C2兩點的對稱性，數(shù)值試驗時取O點和C1點為模式初始態(tài)，為全面檢驗算法的有效性，另取一非平衡點A(－6.36，－8.27，21.2)共3個點為初始態(tài)，求解最大預(yù)報誤差。

3 遺傳算法

遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計算模型，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法，它從一組解出發(fā)，在迭代過程中利用遺傳操作(選擇、交叉、變異)來改善當(dāng)前解，并用適應(yīng)度函數(shù)來評判解的優(yōu)劣，整個迭代過程不需要梯度信息。所以遺傳算法提供了一種求解復(fù)雜系統(tǒng)問題的通用框架，它不依賴于問題的具體領(lǐng)域，對問題的種類有很強(qiáng)的魯棒性，廣泛應(yīng)用于許多學(xué)科領(lǐng)域(陳東升等，2004;胡婭敏等，2006;朱玉祥等，2006;Fang et al.，2009;劉巍等，2010)。遺傳算法的計算流程如下:

第1步確定決策變量和約束條件;

第2步建立優(yōu)化模型，確定代價函數(shù)，即適應(yīng)度函數(shù);

第3步確定算法的相關(guān)參數(shù)，如種群大小、終止條件、選擇概率、交叉概率、變異概率等;

第4步初始化種群;

第5步按照初始條件計算代價函數(shù)，選擇種群中的最優(yōu)個體，并判斷是否滿足終止條件?若滿足，算法結(jié)束，輸出最優(yōu)解，若不滿足，轉(zhuǎn)到下一步;

第6步按照遺傳策略，通過選擇、交叉和變異算子產(chǎn)生新一代種群;

第7步判斷種群中的個體是否滿足終止條件?若滿足，算法結(jié)束，輸出最優(yōu)解，若不滿足，轉(zhuǎn)到第6步。

遺傳算法的尋優(yōu)能力與遺傳算子(選擇、交叉和變異)的配置有很大關(guān)系，本文采用混合交叉和自適應(yīng)變異算子。

其中:r是［0，1］區(qū)間上的隨機(jī)數(shù);T是最大遺傳代數(shù);b是確定非均勻程度的參數(shù)，本文設(shè)定b=2。

求解CNOP屬約束優(yōu)化問題，將Deb(2000)提出的聯(lián)賽選擇和小生境技術(shù)用于遺傳算法來求解最大預(yù)報時間上界。

4 數(shù)值試驗

為了揭示開關(guān)對傳統(tǒng)伴隨方法的影響，檢驗遺傳算法求解最大預(yù)報誤差問題的可行性，在數(shù)值試驗中以修改的Lorenz模型為理想模式，分別選取模式的3個初始態(tài)，用傳統(tǒng)伴隨方法和遺傳算法來求解。傳統(tǒng)伴隨方法，首先寫出模式的切線性方程和伴隨方程，進(jìn)而計算出梯度信息，給優(yōu)化算法提供下降方向，求出CNOP和它所對應(yīng)的預(yù)報誤差即為最大預(yù)報誤差的上界Ew;遺傳算法，首先確定適應(yīng)度函數(shù)以及一些相關(guān)參數(shù)，確定遺傳操作方案，按第3節(jié)的計算流程搜索CNOP以及最大預(yù)報誤差。

對于修改的Lorenz模型(9)，在數(shù)值試驗時參數(shù)取值為:Prandtl數(shù)p=10，外形比a=8/3，r0=28，r1=－18，yc=－4.6，時間步長為0.005，取3個初始基態(tài)O點、C1點和A(－6.36，－8.27，21.2)點，最大初始觀測誤差δ取為0.08、0.8、1.6、2.4、3.2和4.0，分別取二范數(shù)()和無窮范數(shù)()進(jìn)行試驗。

4.1 初始基態(tài)為O點

對于修改的Lorenz模型(9)，以平衡點O點為初始態(tài)，預(yù)報時間步為300取為二范數(shù)，傳統(tǒng)伴隨方法和遺傳算法的求解結(jié)果分別由表1和表2給出。

表1 初始態(tài)為O點、T=300、‖X‖2≤δ傳統(tǒng)伴隨方法求解結(jié)果Table 1Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the conventional adjoint method for the modified Lorenz model with the initial basic state O，T=300，and‖X‖2≤δ

表2 初始態(tài)為O點、T=300、‖X‖2≤δ遺傳算法求解結(jié)果Table 2Maximum prediction errors E and CNOPs yielded bythe genetic algorithm for the modified Lorenz model with the initial basic state O，T=300，and‖X‖2≤δ

由表1和表2可看出，取二范數(shù)時，兩種方法的計算結(jié)果存在較大差異，在最大允許初始誤差δ相等的條件下，傳統(tǒng)伴隨方法所求的最大預(yù)報誤差小于或等于遺傳算法的求解結(jié)果。如當(dāng)δ=1.6時，傳統(tǒng)伴隨方法所求CNOP為(0.219 03，－0.853 23，－0.561 94)，最大預(yù)報誤差為35.723 80，遺傳算法所求CNOP為(0.176 19，－0.126 59，－0.712 34)，最大預(yù)報誤差為54.803 74，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展如圖1所示。顯然這時傳統(tǒng)伴隨方法所求的最大預(yù)報誤差是不可信的，因為當(dāng)模式含開關(guān)時，傳統(tǒng)伴隨方法可能搜索到全局CNOP(如δ=0.08)，也可能搜索到局部CNOP(如δ=1.6)，而遺傳算法總能給出全局CNOP。

圖1 初始態(tài)為O點、取二范數(shù)、δ=1.6時，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差(a)和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展(b)Fig.1 (a)The prediction errors corresponding to the CNOPs yielded by GA and ADJ，and(b)the time evolution of the component y of the perturbed solution of model(9)when the initial basic state is O，δ=1.6，and the norm is two norm

表3 初始態(tài)為O點、T=300、‖X‖∞≤δ傳統(tǒng)伴隨方法求解結(jié)果Table 3Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the conventional adjoint method for the modified Lorenz model with the initial basic state O，T=300，and‖X‖∞≤δ

由表3和表4可看出，取無窮范數(shù)時，兩種方法的計算結(jié)果也存在較大差異，如當(dāng)δ=1.6時，傳統(tǒng)

表4 初始態(tài)為O點、T=300、‖X‖∞≤δ遺傳算法求解結(jié)果Table 4Maximum prediction errors E and CNOPs yielded bythe genetic algorithm for the modified Lorenz model with the initial basic state O，T=300，and‖X‖∞≤δ

伴隨方法所求CNOP為(1.6，1.6，1.6)，最大預(yù)報誤差為7.215 30，遺傳算法所求CNOP為(1.122 83，－0.773 96，－0.860 97)，最大預(yù)報誤差為50.535 90，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展如圖2所示，傳統(tǒng)伴隨方法所求的最大預(yù)報誤差是不可信的。

圖2 初始態(tài)為O點、取無窮范數(shù)、δ=1.6時，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差(a)和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展(b)Fig.2 (a)The prediction errors corresponding to the CNOPs yielded by GA and ADJ，and(b)the time evolution of the component y of the perturbed solution of model(9)when the initial basic state is O，δ=1.6，and the norm is infinite norm

4.2 初始基態(tài)為C1點

以平衡點C1點為初始態(tài)，預(yù)報時間步為800，取為二范數(shù)，傳統(tǒng)伴隨方法和遺傳算法的求解結(jié)果分別由表5和表6給出。

表5 初始態(tài)為C1點、T=800、‖X‖2≤δ傳統(tǒng)伴隨方法求解結(jié)果Table 5Maximum prediction errors E and CNOPs yielded bythe conventional adjoint method for the modified Lorenz model with the initial basic state C1，T=800，and‖X‖2≤δ

表6 初始態(tài)為C1點、T=800、‖X‖2≤δ遺傳算法求解結(jié)果Table 6Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the genetic algorithm for the modified Lorenz model with the initial basic state C1，T=800，and‖X‖2≤δ

由表5和表6可看出，兩種算法的求解結(jié)果存在差異，如當(dāng)δ=3.2時，傳統(tǒng)伴隨方法所求CNOP為(－0.615 76，1.807 92，－0.714 73)，最大預(yù)報誤差為28.812 08，遺傳算法所求CNOP為(2.342 36，－2.129 05，－0.469 58)，最大預(yù)報誤差為30.017 05，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展如圖3所示。

同樣以C1點為初始態(tài)，預(yù)報時間步為800，取為無窮范數(shù)，傳統(tǒng)伴隨方法和遺傳算法的求解結(jié)果分別由表7和表8給出。

表7 初始態(tài)為C1點、T=800、‖X‖∞≤δ傳統(tǒng)伴隨方法求解結(jié)果Table 7Maximum prediction errors E and CNOPs yielded bythe conventional adjoint method for the modified Lorenz model with the initial basic state C1，T=800，and‖X‖∞≤δ

由表7和表8可看出，兩種算法的求解結(jié)果存在差異，如當(dāng)δ=3.2時，傳統(tǒng)伴隨方法所求CNOP為(1.114 08，－0.279 33，－1.977 76)，最大預(yù)報誤差為22.644 74，遺傳算法所求CNOP為(－0.615 52，2.190 31，－1.142 62)，最大預(yù)報誤差為23.634 55，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展如圖4所示。

圖3 初始態(tài)為C1點、取二范數(shù)、δ=3.2時，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差(a)和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展(b)Fig.3 (a)The prediction errors corresponding to the CNOPs yielded by GA and ADJ，and(b)the time evolution of the component y of the perturbed solution of model(9)when the initial basic state is C1，δ=3.2，and the norm is two norm

圖4 初始態(tài)為C1點、取無窮范數(shù)、δ=3.2時，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差(a)和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展(b)Fig.4 (a)The prediction errors corresponding to the CNOPs yielded by GA and ADJ，and(b)the time evolution of the component y of the perturbed solution of model(9)when the initial basic state is C1，δ=3.2，and the norm is infinite norm

表8 初始態(tài)為C1點、T=800、‖X‖∞≤δ遺傳算法求解結(jié)果Table 8Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the genetic algorithm for the modified Lorenz model with the initial basic state C1，T=800，and‖X‖∞≤δ

表1 0初始態(tài)為A點、T=800、‖X‖2≤δ遺傳算法求解結(jié)果Table 10Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the genetic algorithm for the modified Lorenz model with the initial basic state A，T=800，and‖X‖2≤δ

4.3 初始基態(tài)為A點

以非平衡點A(－6.36，－8.27，21.2)點為初始態(tài)，預(yù)報時間步為800取為二范數(shù)，傳統(tǒng)伴隨方法和遺傳算法的求解結(jié)果分別由表9和表10給出。

表9 初始態(tài)為A點、T=800、‖X‖2≤δ傳統(tǒng)伴隨方法求解結(jié)果Table 9Maximum prediction errors E and CNOPs yielded bythe conventional adjoint method for the modified Lorenz model with the initial basic state A，T=800，and‖X‖2≤δ

由表9和表10可看出，兩種算法的求解結(jié)果差異較大，如當(dāng)δ=3.2時，傳統(tǒng)伴隨方法所求CNOP為(2.025 03，1.399 98，－2.044 34)，最大預(yù)報誤差為25.420 76，遺傳算法所求CNOP為(1.774 67，－0.123 57，－2.064 01)，最大預(yù)報誤差為48.888 90，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展如圖5所示。

由表11和表12可看出，兩種算法的求解結(jié)果差異較大，如當(dāng)δ=3.2時，傳統(tǒng)伴隨方法所求CNOP為(1.754 87，1.767 44，－1.725 20)，最大預(yù)報誤差為35.455 56，遺傳算法所求CNOP為(2.438 53，0.252 51，－1.832 10)，最大預(yù)報誤差為38.726 99，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展如圖6所示。

圖5 初始態(tài)為A點、取二范數(shù)、δ=3.2時，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差(a)和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展(b)Fig.5 (a)The prediction errors corresponding to the CNOPs yielded by GA and ADJ，and(b)the time evolution of the component y of the perturbed solution of model(9)when the initial basic state is A，δ=3.2，and the norm is two norm

圖6 初始態(tài)為A點、取無窮范數(shù)、δ=3.2時，兩CNOP所對應(yīng)的預(yù)報誤差(a)和模式y(tǒng)值隨時間的發(fā)展(b)Fig.6 (a)The prediction errors corresponding to the CNOPs yielded by GA and ADJ，and(b)the time evolution of the component y of the perturbed solution of model(9)when the initial basic state is A，δ=3.2，and the norm is infinite norm

表1 1初始態(tài)為A點、T=800、‖X‖∞≤δ傳統(tǒng)伴隨方法求解結(jié)果Table 11Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the conventional adjoint method for the modified Lorenz model with the initial basic state A，T=800，and‖X‖∞≤δ

表1 2初始態(tài)為A點、T=800、‖X‖∞≤δ遺傳算法求解結(jié)果Table 12Maximum prediction errors E and CNOPs yielded by the genetic algorithm for the modified Lorenz model with the initial basic state A，T=800，and‖X‖∞≤δ

5 結(jié)論

以修改的Lorenz模型為理想模型的數(shù)值試驗中，初始態(tài)無論是平衡點還是非平衡點，初始擾動的度量范數(shù)無論是二范數(shù)還是無窮范數(shù)，在最大允許初始誤差δ相等的條件下，傳統(tǒng)伴隨方法所求的最大預(yù)報誤差小于或等于遺傳算法的求解結(jié)果，而且所求的最大預(yù)報誤差E并不是隨最大允許初始誤差δ的增大而增大的，說明了當(dāng)模式存在開關(guān)時，代價函數(shù)對初值的梯度不存在，傳統(tǒng)伴隨方法不能為優(yōu)化過程提供正確的下降方向，導(dǎo)致優(yōu)化失敗，給出的解可能是局部最優(yōu)解，而遺傳算法不受開關(guān)的影響，總能給出全局最優(yōu)解。

遺傳算法解決模式含開關(guān)時，求解最大預(yù)報時間問題的同時，應(yīng)注意到其計算耗時遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)伴隨方法，不過遺傳算法在迭代過程中，同代的不同個體的遺傳操作相互獨立，這一特性使得該算法容易實現(xiàn)并行，因此遺傳算法向高維模式和實際模式推廣時，應(yīng)考慮并行技術(shù)，提高運算效率;另外遺傳算法在設(shè)計過程中，需要根據(jù)模式的具體特點來確定參數(shù)，選定遺傳操作方案，本文僅采用遺傳算法處理約束問題的一般方法來求解，為此探討新的優(yōu)化方案，提高算法的收斂速度和計算精度，還需要進(jìn)一步深入研究。

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