第12屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)題介紹與解答

廖慧敏，荀 坤，陳曉林

（北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871）

1 引 言

第12屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽于2011年5月1日至5月8日在以色列特拉維夫市舉行.代表中國(guó)參賽的吳宇愷等8名中學(xué)生全部獲得了金牌，且包攬了總分前5名.

本屆競(jìng)賽的兩道實(shí)驗(yàn)題為：“導(dǎo)體在振蕩磁場(chǎng)中的懸浮”和“光學(xué)‘黑盒子’”.每題考試時(shí)間為2.5h，中間休息0.5h.本文試題部分基本為原貌，解答部分采用組委會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)解答（文中稱為樣本實(shí)驗(yàn)），并盡可能對(duì)物理圖像作出說明.

2 試 題

2.1 試題A：導(dǎo)體在振蕩磁場(chǎng)中的懸浮

在足夠強(qiáng)的振蕩磁場(chǎng)作用下，由于其中感生電流所受的平均磁力不為零，金屬導(dǎo)體會(huì)懸浮起來.平均磁力不為零源自磁場(chǎng)與感生電流間的相位差，而此相位差又來自導(dǎo)體的電感.本實(shí)驗(yàn)將通過測(cè)量通有振蕩電流的螺線管施加在鋁環(huán)豎直方向上的力，來導(dǎo)出鋁環(huán)的自感系數(shù).為方便測(cè)量，作用在環(huán)上的平均力會(huì)指向下方，而不是使環(huán)懸浮.

圖1 試題A實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)器材見圖1.圖中1是50Hz的交流電源，其2對(duì)輸出端的輸出電壓分別約為24V和0.7V，前者只用于對(duì)螺線管供電.為防止長(zhǎng)時(shí)間通電導(dǎo)致的系統(tǒng)過熱，開關(guān)只有被壓下才接通.2是帶鐵芯的螺線管，其豎直位置可由螺距為h＝1.41mm的螺桿調(diào)節(jié).3是由同樣材料（鋁合金）制成的金屬環(huán)，其中1個(gè)環(huán)閉合，2個(gè)環(huán)開口.第一個(gè)開口環(huán)尺寸與閉合環(huán)相同，只是被切掉了一小段.第二個(gè)開口環(huán)則比前2個(gè)環(huán)細(xì)很多.4是萬(wàn)用表，分別用作電壓表和電流表，交流電壓表的靈敏度為0.1mV，電流表的量程為20A.5是使用電池供電的數(shù)字天平，靈敏度為0.01g.當(dāng)受到快速振蕩變化的力作用時(shí)，天平將顯示力的時(shí)間平均值.6是用于安放金屬環(huán)的聚苯乙烯泡沫塊.7是帶有各種不同接頭的電線.另外，還提供了1把尺子，毫米繪圖紙和照明用臺(tái)燈.

特拉維夫的重力加速度大小為g＝（9.80±0.01）N／kg.

理論（1.3分）

現(xiàn)有放置于螺線管磁場(chǎng)內(nèi)的半徑為r的導(dǎo)體環(huán)，其對(duì)稱軸與螺線管的對(duì)稱軸重合，電感記作L，電阻記作R.勵(lì)磁電流的角頻率記作ω.z軸方向定義為沿螺線管與導(dǎo)體環(huán)共同的對(duì)稱軸方向向下.此處，可以忽略導(dǎo)體環(huán)激發(fā)的磁場(chǎng)對(duì)螺線管及其鐵芯的微小作用.同時(shí)，也可忽略導(dǎo)體環(huán)的厚度.可以用到法拉第定律及磁場(chǎng)的高斯定理，即：

1）法拉第定律.變化的磁通量在回路上產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)是ε＝－dΦB／dt.

2）高斯定理.穿出閉合面的總磁通量為零.

置于柱對(duì)稱磁場(chǎng)B中的電流環(huán)受的合力為

其中，I為環(huán)中的電流，Br為環(huán)附近外磁場(chǎng)的徑向分量（沿環(huán)半徑方向）.z方向?yàn)榱的正方向，電流I的正方向如圖2所示.

圖2 金屬環(huán)在螺線管激發(fā)的磁場(chǎng)中

a.（0.2分）考慮外部振蕩磁通量ΦB（t）＝sin（ωt）穿過環(huán)的情形.求：ε（t）——僅僅由外部振蕩磁通量于圓環(huán)上產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)；I（t）——環(huán)內(nèi)的感生電流，將I（t）用，L，R，ω和t表示.

提示：對(duì)于既有電感又有電阻的交流電路元件，其上電動(dòng)勢(shì)振幅ε0與電流振幅I0的關(guān)系為并且，電流相對(duì)于電動(dòng)勢(shì)延遲的相位為

測(cè)量（5.1分）

電阻測(cè)量（2.6分）

這部分測(cè)量須使用交流電源的0.7V輸出.若用所提供的導(dǎo)線把0.7V的2個(gè)端口短路，得到的電流會(huì)在5～10A之間，與接觸狀況有關(guān).

d.（1.3分）測(cè)出細(xì)環(huán)的電阻Rthin，在答題表中畫出接線圖.

提示：每個(gè)環(huán)的電阻都比0.1Ω小得多.而對(duì)該細(xì)環(huán)而言，感抗相對(duì)于電阻值來說可忽略.

e.（1.3分）確定出閉合環(huán)的電阻R.在必要時(shí)需再作一些測(cè)量.

感生電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量（1.5分）

f.（1.5分）將螺線管連至電源的24V輸出.安放寬的開口環(huán)，使環(huán)的軸線與螺線管的軸線重合.在不同高度z（即離螺線管不同距離處）測(cè)量環(huán)上感生電動(dòng)勢(shì)εrms.在給定表格中記錄測(cè)量值并畫出εrms隨z的變化圖（包括趨勢(shì)線）.

力的測(cè)量（1分）

g.（1分）安放寬的閉合環(huán)，使環(huán)的軸線與螺線管的軸線重合.在不同的高度z（即離螺線管不同距離處）測(cè)量環(huán)所受磁力的時(shí)間平均值〈F〉.在給定表格中記錄測(cè)量值.

分析（3.6分）

h.（1.4分）在問題g中，已測(cè)出不同z值處的作用力，在這些z值處，求出（εrms）2對(duì)z的微商的絕對(duì)值｜d（εrms）2／dz｜，并記在給定的表格中.這一部分不需要估計(jì).

i.（2.2分）用線性圖來作結(jié)果分析，求出閉合環(huán)的自感系數(shù)L.可以利用ωL＜R這一事實(shí).

提醒：盡管閉合環(huán)有明顯的厚度，在問題c中所導(dǎo)出的公式仍然有較高的精度.可以把上述結(jié)果用作寬環(huán)電感的操作型定義.

提示：當(dāng)環(huán)太靠近鐵芯時(shí)，測(cè)量結(jié)果將發(fā)生偏差.試在分析中避開這個(gè)麻煩.

2.2 試題B：光學(xué)“黑盒子”

本實(shí)驗(yàn)將研究一種有希望用于背光照明型液晶屏的塑料.

實(shí)驗(yàn)器材如圖3所示.圖中1是放在幻燈片框中的塑料樣品，此樣品很脆弱，請(qǐng)不要觸碰.如要調(diào)節(jié)樣品的位置，請(qǐng)握住臺(tái)座再移動(dòng).2是安放幻燈片框的臺(tái)座，此臺(tái)座上有手柄，通過手柄可以精細(xì)旋轉(zhuǎn)樣品.請(qǐng)勿將幻燈片框移出臺(tái)座.3是使用白光發(fā)光二極管（LED）的電筒，電筒的開關(guān)按鈕在其非出光端.4是紅色激光筆，通過前后推移出光端的黑色筆帽可以將激光筆開啟／關(guān)閉.激光的波長(zhǎng)是λ＝（652±2）nm.5是可用于分別固定2種光源的臺(tái)座.6是有木質(zhì)支座的白色屏幕，屏上覆有毫米繪圖紙.在屏幕中央有一穿孔，可以在屏幕上作記號(hào).7是可在木質(zhì)導(dǎo)軌上前后滑動(dòng)的木質(zhì)標(biāo)志桿，可以在木質(zhì)導(dǎo)軌上作記號(hào).8是卷尺，另外，還有1把直尺、毫米繪圖紙和1盞供照明使用的臺(tái)燈，可根據(jù)需用打開或關(guān)閉臺(tái)燈.

圖3 試題B實(shí)驗(yàn)裝置圖

理論（0.4分）

a.（0.4分）1束光線被夾角為φ兩平面鏡反射（圖4）.請(qǐng)找出入射和出射光線的夾角γ.假設(shè)所有光線均在與兩平面鏡相交線垂直的平面內(nèi).

圖4 光線被2個(gè)鏡面反射

使用白光光源（6.1分）

用白光手電筒做光源來觀察樣品的透射和反射特性.圖5給出了透射和反射2種觀察方式的裝置參考圖.注意：照明光從樣品的不同面入射時(shí)，會(huì)看到不同的結(jié)果.

圖5 用白光時(shí)的實(shí)驗(yàn)裝置參考圖

b.（0.5分）圖6是樣品的4種可能微觀結(jié)構(gòu)示意圖.n表示該塑料樣品的折射率.從中選出最符合你的觀察結(jié)果的微觀結(jié)構(gòu).注意：雖然圖中僅畫了5個(gè)周期，但樣品包含了很多個(gè)周期.

圖6 樣品的幾種可能微觀結(jié)構(gòu)

c.（0.8分）給出樣品的φ角，并估計(jì)誤差.

d.（0.5分）當(dāng)1束白光從樣品的某一面垂直入射時(shí)，迎著透射光看，在光源右方靠近光源的位置，可觀察到如圖7所示的較暗的圖樣.圖中，R，G和B分別表示紅、綠和藍(lán).

圖7 光源附近的較暗的圖樣

視線再往右移，你會(huì)觀察到1個(gè)明亮得多的圖樣（圖8）.

圖8 光源的右方更遠(yuǎn)處的主透光圖樣

選出正確的選項(xiàng)：

A.所有彩色圖樣都源于干涉.

B.所有彩色圖樣都源于n對(duì)波長(zhǎng)的依賴.

C.圖7中的彩色圖樣都來自干涉，而圖8的圖樣則源自n依賴于波長(zhǎng).

D.圖7中的圖樣源自n對(duì)波長(zhǎng)的依賴，但圖8的彩色圖樣來自干涉.

e.（1.4分）像問題d中那樣放置樣品和光源，測(cè)量圖8所示的主透光圖樣中紫光（在光譜的最遠(yuǎn)藍(lán)端）的偏向角δ0.偏向角在圖9中定義.記錄下所有中間測(cè)量結(jié)果，給出誤差估計(jì).

圖9 偏向角δ0

f.（1.4分）不同的入射角照射樣品，主透光會(huì)有不同的偏向角.測(cè)量主透光圖樣中紫光的最小偏向角δmin（僅有1個(gè)最小偏向角）.記錄下所有中間測(cè)量結(jié)果，給出誤差估計(jì).

g.（0.8分）利用問題c中得到的角度φ，用δ0或δmin把樣品的折射率n表示出來.你可以用到光線傳播的可逆性和只存在1個(gè)最小的偏向角δmin這個(gè)事實(shí).

h.（0.7分）對(duì)于紫光，給出樣品的折射率nv并作誤差估計(jì).

使用激光光源（3.5分）

拿掉光源臺(tái)上的電筒，并用激光筆代替.可如圖10所示用白色屏幕觀察透射及反射的圖樣.

圖10 激光作光源時(shí)的實(shí)驗(yàn)裝置參考圖

輕微旋轉(zhuǎn)樣品，可以在屏上觀察到亮紋的亮度會(huì)強(qiáng)弱交替變化.某些亮紋的變暗，是由樣品中同一“鋸齒”上不同區(qū)域間的相消干涉引起的.

i.（1分）選用圖10中的一款觀察裝置，用激光筆垂直照向樣品.記錄所觀察到條紋的偏向角θ作為條紋序號(hào)m的函數(shù).定義圖案中心為m＝0.將有關(guān)記錄填于答題表中.記錄所有中間測(cè)量結(jié)果.給出誤差估計(jì).

j.（1.5分）利用線性圖求樣品中2個(gè)相鄰鋸齒的間距d.此圖不要求標(biāo)出誤差棒.給出d的誤差估計(jì).

k.（1分）利用問題g所導(dǎo)出的公式，求出樣品在激光紅光波長(zhǎng)下的折射率nr.記錄新添加的所有測(cè)量數(shù)據(jù).給出誤差估計(jì).

警告：切勿透過樣品觀察！請(qǐng)用提供的光屏來觀察.

3 試題解答

3.1 試題A解答

a.由法拉第定律容易得到感生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為（0.1分）

由交流電的歐姆定律得到電流表達(dá)式為（0.1分）

b.取螺線管軸線上z處半徑為r，高度為dz的閉合圓柱面，由磁場(chǎng)的高斯定理，容易推出：（0.6分）

其中，ΦB是穿過圓形底面的磁通量.

c.由于電磁場(chǎng)的振蕩頻率很低，因此，不同高度z處ΦB的振蕩相位可看作相同，再注意到〈sin（ωt）cos（ωt）〉＝0，〈（sin（ωt））2〉＝1／2，有：

也即比例系數(shù)α＝1／2（0.5分）.在評(píng)分時(shí)不計(jì)較上面各等式前的符號(hào).

d.此處主要想考察：是否知道需要用四電極法來測(cè)量小電阻（0.1分）？是否知道電壓電極一定要置于電流電極的內(nèi)部（0.2分）？是否知道直接測(cè)得的僅是電壓電極兩端的電阻（0.1分）？應(yīng)畫出如圖11所示的接線圖.若細(xì)環(huán)僅用一電阻符號(hào)代替而看不出電壓電極的位置，則需根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)判斷實(shí)際接線情況，并給予所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù).

圖11 細(xì)環(huán)電阻測(cè)量接線圖

為防止讀數(shù)出現(xiàn)差錯(cuò)，至少應(yīng)測(cè)3組數(shù)據(jù)，結(jié)果見表1.（0.3分）

表1 細(xì)環(huán)上電流和電壓測(cè)量值

表1顯示，統(tǒng)計(jì)漲落遠(yuǎn)小于儀器置信誤差.Rraw誤差按儀器置信誤差算（0.1分）：Rraw＝（1.638±0.008）mΩ.

要注意Rraw并不是整個(gè)細(xì)環(huán)的電阻（中國(guó)學(xué)生幾乎沒有意識(shí)到這點(diǎn)）.對(duì)組委會(huì)所給的例子，用米尺測(cè)得電壓表接觸點(diǎn)間的弧線距離為dter＝（2.2±0.2）cm，環(huán)兩端間隙為dgap＝（1.0±0.05）cm，環(huán)的平均直徑（由內(nèi)外徑平均得到）Dthin＝（9.30±0.04）cm.由此得到細(xì)環(huán)實(shí)際電阻值為

本次考試對(duì)測(cè)量結(jié)果有嚴(yán)格的要求，此處視測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值的接近程度有0～0.5分.

式（7）可以化成

顯然，（7）式括號(hào)中對(duì)誤差貢獻(xiàn)最大的項(xiàng)為dter.由于dter遠(yuǎn)小于環(huán)的周長(zhǎng)，可得（0.1分）

e.由于寬環(huán)的電阻遠(yuǎn)小于細(xì)環(huán)的電阻而題目并沒有說明其感抗可以忽略，故不能采用前面所用的方法.雖試題沒有明確指出，但是考生應(yīng)該意識(shí)到，細(xì)環(huán)電阻測(cè)量是閉合環(huán)電阻測(cè)量的一個(gè)環(huán)節(jié).寬環(huán)電阻與細(xì)環(huán)電阻間存在依賴于它們幾何尺寸的簡(jiǎn)單關(guān)系.但若用米尺直接測(cè)量環(huán)的厚度和高度會(huì)有很大誤差，應(yīng)該避免.最優(yōu)解法需要利用天平來稱量環(huán)的質(zhì)量.為此，可將閉環(huán)電阻表示為

能給出正確的表達(dá)式得0.4分，結(jié)果的準(zhǔn)確性占0.4分.式中用到的測(cè)量值為：Dclosed＝（8.82±0.03）cm（0.2分），mthin＝（4.50±0.02）g和mclosed＝（47.70±0.02）g（0.1分）.

注意Rthin／（πDthin－dgap）2的誤差與Rthin的相同，mclosed的誤差可以忽略，有（0.2分）

f.用鱷魚嘴電極夾住開口寬環(huán)兩端，并把從環(huán)引出的導(dǎo)線絞擰起來（保證測(cè)得的是環(huán)上的感生電動(dòng)勢(shì)），接到電壓表.然后再將環(huán)放在絕緣泡沫塊上并與螺線管共軸.通過螺桿來升降螺線管，用數(shù)螺距數(shù)來測(cè)z（0.2分）.螺距為h＝1.41mm，z的誤差為Δz＝h／16＝0.09mm，可定義螺線管與環(huán)最接近但不接觸時(shí)的位置為z＝0.為保持測(cè)鋁環(huán)受力時(shí)z軸零點(diǎn)一致，此時(shí)亦需將電子天平墊到絕緣泡沫下.z的測(cè)量范圍應(yīng)當(dāng)從0到5cm，調(diào)節(jié)步長(zhǎng)一般取1個(gè)螺距為宜，z大時(shí)，電動(dòng)勢(shì)變化較緩，步長(zhǎng)可取大一些.電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量范圍應(yīng)超過5～20mV（0.3分），測(cè)量點(diǎn)不少于30個(gè)（0.3分）.電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量誤差為Δεrms＝0.1mV.表2為樣本測(cè)量結(jié)果（如表中所用單位有誤要扣0.1分）.圖1 2為相應(yīng)數(shù)據(jù)圖（包含h部分所需的趨勢(shì)線）（曲線光滑0.2分，充分利用圖紙的尺寸0.2分，誤差棒0.1分，正確地標(biāo)注軸0.1分，單位0.1分）.

圖12 εrms－z圖以及平滑趨勢(shì)線

g.用閉合環(huán)代替開口環(huán)，仍保持螺線管與環(huán)同軸.z的零點(diǎn)、步長(zhǎng)和測(cè)量范圍設(shè)定最好和前面一致.〈F〉的測(cè)量范圍誤差來自于環(huán)境噪聲.測(cè)量結(jié)果見表2.

h.某點(diǎn)的微分應(yīng)該用該點(diǎn)兩側(cè)對(duì)稱分布的兩點(diǎn)的差分來求.先求微分dεrms／dz，然后乘以2εrms，這比直接求微分d（εrms）2／dz要好，因?yàn)榍笃椒綍?huì)放大離散點(diǎn)差分的誤差.

可用數(shù)值法和作圖法求差分.如用數(shù)值法，知道由數(shù)據(jù)點(diǎn)的差分求微分得0.4分；由某點(diǎn)的兩側(cè)對(duì)稱點(diǎn)差分得該點(diǎn)微分得0.2分；使用合理的差分間距（6～12mm）得0.5分.若差分間距過小，由于測(cè)量點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分散性，斜率誤差會(huì)較大；間距過大，則由于平均效應(yīng)，不能很好反映局部斜率.如用作圖法，根據(jù)測(cè)量點(diǎn)畫一條平滑的趨勢(shì)線（不能嚴(yán)格過每一測(cè)量點(diǎn)）得0.2分；由趨勢(shì)線上取點(diǎn)求差分得0.5分；差分點(diǎn)對(duì)稱得0.2分；使用合理的差分間距（可比數(shù)值法的間距?。┑?.2分.得到的微分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)不能少于15個(gè)（0.3分）.表2給出了dεrms／dz和d（εrms）2／dz的樣本數(shù)據(jù).

表2 樣本電動(dòng)勢(shì)和力的測(cè)量數(shù)據(jù)以及微分

i.畫〈F〉隨d（εrms）2／dz線性變化的函數(shù)圖（圖13）.采用數(shù)據(jù)的線性部分，作過原點(diǎn)的直線擬合，其斜率為

從手工作圖的線性部分得到斜率為k＝（2.29±0.04）N·m／V2.由式（10）解出并考慮到ωL＜R，有

估計(jì)誤差時(shí)，可把方程（10）寫成

即

合成k和R的相對(duì)誤差，得到：

如果忽略（ωL／R）2，用方程（12）求L值，會(huì)引入5%的系統(tǒng)誤差.

圖13 ?圖以及擬合直線

本節(jié)坐標(biāo)軸選擇和標(biāo)注正確得0.2分；充分利用圖紙的空間得0.2分；標(biāo)出誤差棒得0.2分；單位正確得0.1分；正確選用線性區(qū)得0.2分；求出斜率得0.1分；估計(jì)斜率誤差得0.1分；寫出求電感L的方程得0.1分；解出方程并選擇正確的根得0.1分；L值的準(zhǔn)確度（視與規(guī)定值的差別）得0～0.7分；L的誤差計(jì)算得0.2分.

3.2 試題B解答

a.由簡(jiǎn)單的幾何推導(dǎo)即可得：γ＝π－2（πφ）＝2φ－π.其中，寫出反射定律得0.1分；結(jié)果正確得0.3分.

b.選（a）（0.5分）.由透射和反射有左右對(duì)稱性，可排除（c）和（d）.由只有光照其中一面時(shí)才會(huì)觀察到強(qiáng)烈透射，可排除（b）.

c.通過測(cè)入射光與反射光間夾角可以求得φ.按圖5擺放裝置，最好讓光照射樣品平坦面，這樣由于全反射，斑紋會(huì)更明亮.

觀察到的斑紋是1組對(duì)稱分布的彩色干涉條紋帶，中央斑紋無色散.根據(jù)中央條紋中心與光源中心重合且不因樣品旋轉(zhuǎn)而變化，可知反射角γ為零，φ＝π／2，如圖14所示.

圖14 光照射平整面時(shí)反射角γ為零

手電筒和樣品間的最佳觀測(cè)距離約為y≈50cm，反射中央斑紋中心的誤差約為Δx＝0.5～1mm.由此得Δγ＝0.002rad，Δφ＝Δγ／2＝0.001rad.（若考慮到折射對(duì)偏折角的放大，這個(gè)誤差還應(yīng)除以折射率n，n可按1.5來估計(jì).綜上，φ的誤差為Δφ＝7×10－4rad＝0.04°.）結(jié)果準(zhǔn)確度占0.6分；誤差分析得0.2分.

d.選C.對(duì)干涉斑紋，也即由光柵衍射產(chǎn)生的斑紋，大偏折角總對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)波長(zhǎng).因此，圖7中斑紋是由干涉引起的，圖8中的斑紋則不是（應(yīng)是由棱鏡色射引起的）.

e.觀察此透射斑紋應(yīng)讓光照明樣品的“有齒”面.若照射平坦面，由于全反射，透射光會(huì)非常弱.

如圖15所示，雖然由投射到光屏上的透射光斑位置也可大致測(cè)出偏向角，但樣品寬度有幾厘米且透射光有一定發(fā)散，確定透射光斑位置誤差很大.正確的方法應(yīng)是直接透過樣品看透射光.

圖15 偏向角測(cè)量示意圖

如圖16所示，首先，標(biāo)志桿放在木導(dǎo)軌的一端A，再整體移動(dòng)導(dǎo)軌使標(biāo)志桿置于手電筒出射光束中.透過樣品和樣品與樣品框上沿間的約1cm的縫隙看手電筒發(fā)出的光，調(diào)整樣品基座位置，使樣品框上沿中央刻線—標(biāo)志桿—手電筒光點(diǎn)中央在同一直線上，再調(diào)整木導(dǎo)軌，使之與此直線垂直.調(diào)整樣品的取向，使其表面與中心入射光垂直（肉眼判斷）.然后，再?gòu)臉悠泛罂雌D(zhuǎn)光帶，并調(diào)節(jié)標(biāo)志桿的位置至點(diǎn)B，使樣品框中央刻線—偏轉(zhuǎn)光帶紫邊—標(biāo)志桿成一線.測(cè)AB間距x＝AB，以及樣品到導(dǎo)軌距離y，可求出偏向角：

圖16 樣品框上沿上的藍(lán)刻線、標(biāo)志桿和光譜帶紫邊應(yīng)在一直線上

樣本測(cè)量結(jié)果為

故偏向角δ0＝arctan（x／y）＝31.3°.δ0的誤差為

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：x和y的測(cè)量各得0.1分；y＞70cm得0.3分，y＜25cm不得分；計(jì)算δ0得0.1分；測(cè)量值在要求范圍內(nèi)得0.7分；誤差估計(jì)得0.1分.

f.這部分與g節(jié)相似，差別僅在于需要輕輕地旋轉(zhuǎn)樣品，找到偏向角最小的位置后再開始測(cè)量.此部分的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)也和g部分完全相同.

樣本測(cè)量結(jié)果為：

由此得

由于最小偏向角處是一極值位置，因此樣品取向?qū)Ζ膍in的測(cè)量影響很小，所帶來的誤差可忽略.

g.由簡(jiǎn)單的幾何分析容易得到，棱鏡折射率n與其頂角x和偏向角δ0的關(guān)系為

將x＝（π－φ）／2和φ＝π／2代入，得

如用δmin表示，與式（16）和式（17）對(duì)應(yīng)的結(jié)果分別為

只需用δ0和δmin之一來表示n即可.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：寫出求n的方程得0.1分；導(dǎo)出n的表達(dá)式得0.4分；使用正確的棱鏡頂角得0.2分.

h.將測(cè)得的δmin代入式（19）得：

誤差為

這里nv值在規(guī)定范圍內(nèi)得0.3分，誤差計(jì)算得0.3分，誤差值正確得0.1分.

i.這一部分實(shí)際是要測(cè)光柵衍射角與衍射級(jí)數(shù)之間的關(guān)系.衍射斑紋可以由3種不同方式觀察到：1）光從樣品平坦面入射產(chǎn)生的反射，與（c）部分一樣.2）光從樣品“有齒”面入射產(chǎn)生的透射，與（d）～（e）中一樣.3）光從樣品平坦面入射產(chǎn)生的透射.

如圖6（a）所示，樣品的1個(gè)周期含狹窄而且平坦的“齒尖”（突起的頂端）和“齒隙”（凹陷的底端），及2個(gè)較大的斜面.其中每個(gè)面的周期性排列都構(gòu)成1個(gè)光柵.因此樣品可以看成是4個(gè)（如發(fā)生全反射則可看成是3個(gè)）光柵的復(fù)合體.“齒尖”和“齒隙”光柵的衍射角位置都相同，但相位會(huì)有所不同，且相位差依賴于衍射級(jí)數(shù)和光柵的放置角度.所以，在本來對(duì)每個(gè)光柵都應(yīng)該是亮紋的地方可能會(huì)由于不同光柵衍射光間的相消而使亮紋變暗，甚至消失.

圖17是方式1）（反射）給出的干涉斑紋.其中，中間部分較亮的斑紋是被“鋸齒”兩傾斜面經(jīng)2次全反射的光產(chǎn)生的.由于“鋸齒”的傾斜面較寬，對(duì)應(yīng)的衍射主極大的角范圍較小.由于反射微弱，“齒尖”和“齒隙”產(chǎn)生的干涉斑紋要更弱，但因“齒尖”和“齒隙”比“鋸齒”傾斜面的尺度更小，衍射的范圍要更寬.由于這種配置的激光束到光屏的距離加倍了（向前和向后），因而斑紋展寬更明顯，噪聲更大.

圖17 采用方式1）的光路配置觀察到的衍射斑紋

如圖18所示，方式2）的斑紋除了“齒尖”和“齒隙”產(chǎn)生的干涉條紋外，還疊加有2個(gè)明亮得多但分布范圍較窄的干涉斑紋，它們是由“鋸齒”傾斜面產(chǎn)生的.亮斑紋中心位于幾何偏向角δ0處，一個(gè)在右，一個(gè)在左.

圖18 采用方式2）的光路配置觀察到的衍射斑紋

如圖19所示，方式3）給出的斑紋完全是由透過“齒尖”和“齒隙”的光線產(chǎn)生的干涉引起的（射到“鋸齒”傾斜面上的光線會(huì)受到全反射），其分布范圍較寬，斑點(diǎn)暗淡，但還是可以很好定位.

圖19 采用方式3）的光路配置觀察到的衍射斑紋

3種方式觀察到的斑紋，均包括“齒尖”和“齒隙”產(chǎn)生的干涉條紋.選擇何種方式取決于環(huán)境光的強(qiáng)度.

選中了觀察方式后，首先需要使激光垂直照到光柵上.對(duì)方式1）和3），可用光滑面的反射束（與來光方向重合）來準(zhǔn)直.對(duì)方式2），可先讓激光直接打到屏上，并作記號(hào).然后調(diào)節(jié)光柵角度使亮斑紋中心對(duì)稱地分布在記號(hào)兩側(cè).用肉眼判斷，調(diào)節(jié)觀察屏與激光入射方向垂直.

當(dāng)采用反射方式時(shí)，調(diào)好準(zhǔn)直后，x＝0點(diǎn)在屏上孔中心處.當(dāng)采用透射方式時(shí)，可先不放樣品，直接由激光束照射點(diǎn)定出x＝0點(diǎn).

光柵到屏的距離y的選擇要適當(dāng)：一方面為了減小相對(duì)誤差，y越大越好；另一方面，由于激光束隨距離會(huì)展寬，y也不可過大.

測(cè)量點(diǎn)的選擇：在能數(shù)出條紋的最大可能范圍內(nèi)（為了減小條紋距離測(cè)量的相對(duì)誤差）等間距測(cè)量8個(gè)左右的點(diǎn)就可以.

將斑紋投射到光屏上.測(cè)量樣品和光屏之間的距離y，條紋到斑紋中心間的距離x，以及條紋級(jí)數(shù)m.則條紋的衍射角θ＝arctan（x／y）.x要從中心處開始測(cè)，因?yàn)閐sinθ＝mλ是與sinθ成線性.不從中心處開始數(shù)m，不會(huì)影響j部分中線性圖的斜率，但如果數(shù)錯(cuò)條紋級(jí)數(shù)會(huì)對(duì)結(jié)果有很大影響.顯然，條紋間距是隨m的增加而緩慢增加的.若發(fā)現(xiàn)條紋丟失，可輕微轉(zhuǎn)動(dòng)光柵，使消失的條紋顯現(xiàn)出來.

表3為反射斑紋的測(cè)量結(jié)果，距離y＝（652±1）mm.x的誤差從兩方面考慮；第一，條紋寬度帶來的誤差.對(duì)透射光，可估為Δx＝0.5mm（與測(cè)量分辨率相同），對(duì)反射光為Δx＝1mm.第二，考慮所有條紋相對(duì)于真實(shí)x＝0點(diǎn)的整體偏移.這可估為條紋間距的一半，Δx＝1cm.相應(yīng)地Δθ＝0.05°～1°.

表3 i部分反射斑紋的樣本測(cè)量結(jié)果

此部分的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：測(cè)量y得0.1分；x的測(cè)量范圍足夠大（＞20cm）得0.3分；測(cè)量8個(gè)以上條紋，得0.2分；條紋編號(hào)正確得0.2分；距離到角度的轉(zhuǎn)換正確得0.2分.若沒有測(cè)量誤差和角度誤差估計(jì)將會(huì)各扣0.1分.

j.根據(jù)dsinθ＝mλ，畫sinθ隨m變化的線性函數(shù)圖，則斜率是λ／d.由于i部分的θ誤差范圍較寬，且條紋整體偏移對(duì)圖斜率的作用很復(fù)雜，因此，誤差棒不作評(píng)分要求.

圖20為樣本實(shí)驗(yàn)的sinθ－m圖.其斜率為k＝0.013 0±0.000 2，間距d＝λ／k＝50.2μm.Δk／k?Δλ／λ，因此有Δd＝0.8μm.

圖20 sinθ－m圖

此部分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：正確選擇和標(biāo)注坐標(biāo)軸得0.1分；充分利用圖紙范圍得0.1分；數(shù)據(jù)點(diǎn)具有明顯的線性關(guān)系得0.3分.求出斜率和估計(jì)出誤差各得0.1分.d的測(cè)量值在規(guī)定范圍內(nèi)得0.6分；計(jì)算d的誤差得0.1分；誤差值正確得0.1分.

k.采用i部分方式2）的光路配置，通過觀測(cè)透射光在光屏上的亮斑紋來測(cè)偏向角δ0或δmin.

由于整個(gè)亮斑紋有幾cm寬，其中心未必恰好在某一干涉條紋上，因此判斷斑紋中心較困難.但可觀察到這些斑紋被一橢圓形光暈包圍，因此中心位置可按橢圓最寬處確定.或者輕微旋轉(zhuǎn)樣品讓干涉條紋移動(dòng)，找到出現(xiàn)最亮條紋的位置.

樣本實(shí)驗(yàn)中，選了中等的距離y≈50cm，通過測(cè)量δmin來得到折射率.樣本實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果為：y＝（495±1）mm，x1＝276.5mm，x2＝279mm.x1與x2分別為左右兩側(cè)的最小偏折光束到未偏折光束的距離.由x1和x2，得x＝（x1＋x2）／2＝277.7mm，Δx＝（x1－x2）／2＝1.5mm.又有δmin＝arctan（x／y）＝29.3°.因此Δδmin＝0.002rad＝0.1°.最后nr＝1.578±0.002.

此部分，偏向角測(cè)量得0.3分；nr值在規(guī)定范圍內(nèi)得0.5分；nr的誤差計(jì)算和誤差值正確各得0.1分.

4 結(jié)束語(yǔ)

近幾屆亞賽實(shí)驗(yàn)題的風(fēng)格大體是讓考生按給定的方法完成任務(wù)，主要考察學(xué)生的基本實(shí)驗(yàn)技能.本次亞賽的試題則是要求考生自己設(shè)計(jì)方法來完成給定的任務(wù)，再視學(xué)生完成任務(wù)的質(zhì)量給出不同的分?jǐn)?shù).這對(duì)學(xué)生的物理洞察力和實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)的要求非常高.第一題中用質(zhì)量的測(cè)量代替幾何尺寸的測(cè)量及第二題中使用置于入射側(cè)的標(biāo)志桿來確定透射光的方向都需要學(xué)生具有較強(qiáng)的想象力.本次實(shí)驗(yàn)考試非常注意測(cè)量結(jié)果的精度和誤差分析，對(duì)準(zhǔn)確的測(cè)量給予了較多的分?jǐn)?shù)獎(jiǎng)勵(lì)，并對(duì)測(cè)量的和數(shù)據(jù)處理的每一個(gè)環(huán)節(jié)幾乎都有誤差分析的要求.實(shí)際上，對(duì)測(cè)量誤差大小更應(yīng)該在測(cè)量之前就有初步的判斷，并基于此來評(píng)價(jià)各種可能測(cè)量方案的優(yōu)劣和作出正確的選擇.第二個(gè)實(shí)驗(yàn)題涉及的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和物理內(nèi)容非常豐富，但由于篇幅的限制，本文不可能作詳盡的討論.

[1] 呂斯驊，段家忯.新編基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 馬秀芳，沈元華.第八屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽中實(shí)驗(yàn)考題的分析[J].物理實(shí)驗(yàn)，2007，27（12）：29－33.