周玉榮，何正友

（1.西南交通大學 電氣工程學院，成都 610031；2.攀枝花學院 電氣信息工程學院，四川 攀枝花 617000）

近30年來，隨機共振理論在研究系統(tǒng)、確定性驅動力和噪聲三者協(xié)同作用方面取得了顯著的成果。隨機共振可以理解為有噪聲的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出信號是噪聲或周期激勵信號的某個參數(shù)（噪聲強度、噪聲相關時間、周期激勵信號的幅度或頻率等）的非單調函數(shù)這樣一種非線性行為。隨機共振理論在微弱信號檢測［1］、故障診斷［2，3］和化學反應速度的控制［4］等方面得到了廣泛的應用。

噪聲在許多系統(tǒng)中往往以耦合的形式出現(xiàn)，包括色耦合噪聲對量子態(tài)躍遷［5］、耦合神經(jīng)網(wǎng)絡［6］、混沌振子同步［7，8］等。Gora［9］用線性變換方法把相關加性噪聲和乘性噪聲變成不相關噪聲，Jia［10］等人研究了相關高斯白噪聲和高斯色噪聲作用于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的統(tǒng)計特性，曹力［11］等人研究了相關乘性白噪聲和周期調制加性噪聲驅動線性系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

在許多物理系統(tǒng)中，噪聲與信號必須以相乘的方式作用于系統(tǒng)，即周期信號調制噪聲［12-17］，如激光器中泵噪聲受周期信號調制［12］、單自由體受突加白噪聲激勵［13］等。Dykman等人［14］研究了偏置信號調制噪聲驅動非對稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象，研究結果表明偏置信號調制噪聲能更好描述和揭示這類系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象；Wang等人［15］研究了單模激光系統(tǒng)受偏置信號調制噪聲作用下的隨機共振現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象與噪聲的相關時間和調制信號的頻率有關。本文研究偏置相關信號調制噪聲和白噪聲作用下線性系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

1 系統(tǒng)模型及其輸出信噪比

考慮信號調制噪聲和加性噪聲作用下的線性系統(tǒng)［9］：

其中a為系統(tǒng)衰減常數(shù)，α為信號A1cos（Ω1t）的偏置，Γ1（t）為乘性噪聲和信號調制噪聲。假設噪聲Γ1（t）和Γ2（t）為均值為零、相關函數(shù)滿足下式的高斯白噪聲：

其中，D和P分別為噪聲Γ1（t）和Γ2（t）的強度，λ為兩個噪聲的耦合強度。應用Cholesky分解［18］把兩個相關噪聲分解成兩個獨立噪聲，則：

其中ξ（t）和η（t）為兩個均值為零、不相關的高斯白噪聲，其統(tǒng)計特性滿足：

根據(jù)Cholesky方法，將耦合的兩個噪聲分解成兩個相互獨立的噪聲，其中的耦合效應轉移到了分解后的第二個噪聲η（t）中，由式（6）可見，η（t）的噪聲強度與相關噪聲間的耦合強度λ有關。這種性質對應求解相關噪聲的隨機微分方程非常有利。根據(jù)式（3），系統(tǒng)（1）可以改寫成：

由線性系統(tǒng)理論，式（8）的形式解為：

其穩(wěn)態(tài)相關函數(shù)為：

當a＞5D/2時，式（10）的相關函數(shù)存在，其值為：

其中：

［19］的方法計算相關函數(shù)，得：

對式（11）兩邊做傅里葉變換，可以得到單邊功率譜。系統(tǒng)輸出的信噪比定義為在頻率Ω1和Ω2處的信號功率譜強度與背景噪聲在該信號頻率處的比值，其表達式分別為：

2 討論

圖1為噪聲相關強度λ取不同值時，snr1隨信號調制信號偏置α變化的關系曲線，從圖中可以看出，snr1隨噪聲相關強度增加而單調增加，當其超過一定值后便單調下降。因此，存在一個最優(yōu)相關強度λ使得系統(tǒng)輸出的信噪比到達最大值，這個結果與文獻［10］得到的結果類似。另外，系統(tǒng)輸出信噪比snr1是調制信號偏置α的非單調函數(shù)，對于給定參數(shù)α，從圖1中可知當α≤0時，snr1單調增加；當α＞0時，snr1單調減小。這種現(xiàn)象可以從基本的放大電路理論來解釋：當偏置太小，放大器的電流也小，則放大器的輸出特性就不理想。另一方面，如果偏置太大，放大器處于飽和狀態(tài)，同樣其輸出特性變壞。從圖1中，通過snr1與偏置α與相關強度λ的關系曲線，可以觀察到廣義的隨機共振現(xiàn)象。該結果說明，我們可以通過調節(jié)相關噪聲間的耦合強度或調節(jié)信號的偏置來提高輸出有用信號的幅度，從而提高輸出信噪比。

圖1 偏置信號調制噪聲與白噪聲相關強度λ取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨信號偏置 α 的關系曲線 a=1，A1=0.1，A2=0.1，D=0.1，P=0.1，Ω1=0.1，Ω2=0.1Fig.1 snr1as a function of the signal bias a=1，A1=0.1，A2=0.1，D=0.1，P=0.1，Ω1=0.1，Ω2=0.1 for different values of the correlation strength λ of the signal-modulated noise and the additive noise

圖2 調制信號頻率Ω1取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨系統(tǒng)衰減系數(shù)α變化的關系曲線，A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.1，D=0.2，P=0.1，Ω1=0.1，Ω2=0.1Fig.2 snr1as a function of the system parameter αfor A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.1，D=0.2，P=0.1，Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

圖3 調制信號頻率取不同值Ω1取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨信號調制噪聲強度a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.2，P=0.1，Ω2=0.1Fig.3 snr1as a function of the signal-modulated noise intensity D for a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.2，P=0.1，Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

圖2為頻率Ω1取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比與系統(tǒng)衰減常數(shù)a的關系曲線，從圖2可以看出，隨a的增加snr1非單調變化。一般而言，當沒有外加激勵（隨機力和決定力）時系統(tǒng)輸出信噪比隨a的增加而呈指數(shù)衰減，但是由于有外部隨機力的出現(xiàn)，特別是乘性噪聲Γ1（t）的引入，使系統(tǒng)的等效衰減參數(shù)與噪聲有關。由于乘性噪聲、系統(tǒng)、信號的協(xié)同作用，使得在噪聲的作用下，系統(tǒng)的輸出信噪比在適當?shù)南到y(tǒng)衰減常數(shù)下不但不會減小，反而可以得到提高，即出現(xiàn)對系統(tǒng)參數(shù)的廣義隨機共振現(xiàn)象。另外，從圖2中可知，信噪比snr1隨Ω1的增加而降低。故較小的輸入信號頻率，有利于輸出信噪比的增強。

在我們討論的線性模型中，噪聲項Γ1（t）是乘性噪聲和信號調制噪聲，與參考文獻［10］所提出的模型不同。圖3為調制信號頻率Ω1取不同值時，snr1隨調制噪聲強度D的關系曲線，從曲線上可以看出，隨噪聲強度D的增加，snr1出現(xiàn)一個最大值，然后單調減小，即傳統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

乘性噪聲往往用來描述外部參數(shù)或邊界條件波動，加性噪聲起源于系統(tǒng)其它自由度的快速動力學過程，也可以用來描述熱噪聲。加性噪聲對線性系統(tǒng)輸出信噪比的分析如圖4和圖5所示。圖4為調制信號幅度A1取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨加性噪聲強度P的關系曲線，從圖中可以看出，snr1隨加性噪聲強度P的變化而非單調變化。圖5為調制信號頻率Ω1取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨加性噪聲強度P的關系曲線，同樣，snr1與P成非單調關系。圖4與圖5的結果是參考文獻［10］沒有的新結果。

圖4 調制信號幅度取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比SNR1隨加性噪聲強度變化的關系曲線，a=2，A2=0.1，α =-0.25，λ =0.9，α =2，D=0.2，Ω1=0.1，Ω2=0.1Fig.4 SNR1 as a function of the additive noise strength P for a=2，A2=0.1，α =-0.25，λ =0.9，α =2，D=0.2，Ω1=0.1，Ω2=0.1 for different values of the signal amplitude A1

圖5 調制信號頻率取不同值時，系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨加性噪聲強度變化的關系曲線a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.25，λ =0.9，D=0.2，Ω2=0.1Fig.5 snr1as a function of the additive noise strength P for a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.25，λ =0.9，D=0.2，Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

3 結論

通過線性系統(tǒng)理論，我們得到了相關調制噪聲和白噪聲作用下線性系統(tǒng)的信噪比精確表達式。通過在線性系統(tǒng)中引入乘性噪聲、信號調制噪聲，系統(tǒng)的輸出信噪比表現(xiàn)出非單調行為。這是由于乘性噪聲的引入，使系統(tǒng)參數(shù)比如衰減常數(shù)受到了噪聲的作用，在一定條件下，線性系統(tǒng)、噪聲、輸入信號三者表現(xiàn)出了協(xié)同效應，出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象，噪聲的一部分能力轉移到了輸出有用信號中，從而可以提高輸出信噪比。研究表明系統(tǒng)輸出信噪比是系統(tǒng)參數(shù)、信號調制噪聲和白噪聲強度的非單調函數(shù)，通過系統(tǒng)輸出信噪比可知，系統(tǒng)出現(xiàn)了傳統(tǒng)的隨機共振和廣義的隨機共振。本文的研究結果對于傳統(tǒng)的噪聲作用下的線性系統(tǒng)理論、線性電路的研究有一定的理論意義。

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