劉遠方，白鴻柏，李冬偉，王尤顏，陶 帥

(軍械工程學(xué)院，石家莊 050003)

金屬橡膠材料是一種由細(xì)金屬絲堆疊沖壓制成的多孔非線性彈性阻尼材料［1，2］，內(nèi)部作用機理十分復(fù)雜，關(guān)于其恢復(fù)力的認(rèn)識和表征，一直以來缺乏嚴(yán)密準(zhǔn)確的模型?，F(xiàn)有非線性彈性阻尼材料力學(xué)研究，在國外比較有代表性的是:雙線性恢復(fù)力模型［3］、一階線性微分方程模型［4］和跡法模型［5］等;在國內(nèi)比較有代表性的是，上海交大博士龔憲生［6］認(rèn)為，鋼絲繩的恢復(fù)力具有非線性遲滯特性(其特性與金屬橡膠基本相同)，其恢復(fù)力是動剛度和阻尼的函數(shù)，而其動剛度和阻尼又是振幅和頻率的非線性函數(shù)。文獻［7］對當(dāng)前非線性彈性阻尼元件恢復(fù)力的建模和參數(shù)辨識給予了概括地介紹和整理，事實上現(xiàn)有恢復(fù)力模型對材料恢復(fù)力進行定性分析有一定成效，但是由于材料剛度和阻尼非線性性質(zhì)的復(fù)雜和作用機理的差異，定量研究的模型多數(shù)存在模型過于抽象和參數(shù)辨識復(fù)雜的問題，對于具體的科學(xué)實踐來說缺乏針對性和操作性。

本文以Matlab軟件為平臺，以大量試驗數(shù)據(jù)分析為基礎(chǔ)，對一組離散諧波激勵條件下獲得的位移和恢復(fù)力數(shù)據(jù)進行整合處理，通過合理的插值擬合，結(jié)合金屬橡膠實際作用機理，設(shè)計擬合方法和模型結(jié)構(gòu)形式，分別應(yīng)用曲線和曲面擬合的最小二乘法，擬合恢復(fù)力關(guān)于位移和速度的二元解析方程。摒棄了現(xiàn)有模型在建立和應(yīng)用時粗糙的線性簡化處理方法，解決了恢復(fù)力表征方法依賴諧波激勵振幅和頻率的弊端，實現(xiàn)了對金屬橡膠等非線性彈性阻尼材料恢復(fù)力解析表達的突破。

1 恢復(fù)力三維模型的一般形式

在非線性振動的微分方程中，慣性力、阻尼力或彈性力并不分別與加速度、速度及位移的一次方成正比［8］，文獻［9］也提到了非線性剛度和非線性阻尼的有關(guān)特征，在獲得試驗結(jié)果之前，概括性地認(rèn)為金屬橡膠恢復(fù)力由對應(yīng)狀態(tài)的位移和速度所決定:

其中z為恢復(fù)力;x為位移;y為速度;f為函數(shù)關(guān)系。

不同于現(xiàn)有二維模型的恢復(fù)力只以位移為變量，也不同于以諧波振幅和頻率為自變量的偽三維恢復(fù)力模型，本模型中恢復(fù)力表示為位移和速度的二元函數(shù)，具體模型結(jié)構(gòu)將在數(shù)據(jù)處理之后，根據(jù)數(shù)據(jù)特征給出具體形式。

眾所周知，速度是位移的導(dǎo)數(shù)，一般不能認(rèn)為位移和速度是兩個獨立變量，但是因研究問題的具體情況和空間形式等原因，位移和速度在某些場合也可以作為兩個獨立變量來處理。如圖1所示，以位移和速度為變量的坐標(biāo)系，當(dāng)外界激勵是不同振幅和頻率的諧波時，位移和速度在每個閉合曲線上存在唯一的確定性關(guān)系，但是因為曲線的不同，這個確定的關(guān)系也在改變，所以在整個定義域上，位移和速度具有不確定關(guān)系，可以作為三維恢復(fù)力模型中恢復(fù)力表達式的兩個獨立變量。

圖1 不同振幅和頻率諧波激勵下的位移和速度關(guān)系Fig.1 The displacement-speed relation under the harmonic excitation of different amplitude and frequency

2 恢復(fù)力三維模型結(jié)構(gòu)分析和參數(shù)辨識

模型的建立以足夠的試驗數(shù)據(jù)分析為基礎(chǔ)，通過數(shù)據(jù)的處理和材料實際力學(xué)作用機理的分析，得到模型的合理結(jié)構(gòu)形式。

2.1 數(shù)據(jù)采集

以電液伺服式材料試驗機為依托，選取某種工藝的中空圓柱形金屬橡膠試件，按照邊緣固支的懸臂梁方式夾持，中心孔處施加垂直于圓形端面的位移諧波激勵，試件產(chǎn)生剪切和彎曲變形(注:本模型)。以1 000 Hz的采樣頻率對試件的位移和恢復(fù)力進行數(shù)據(jù)采樣，儲存為一組txt格式的文本文件。

根據(jù)試件的使用場合(即:工作的位移和速度限定范圍)，在保證各位移和速度曲線在投影面分布均勻而充足的前提下，為了便于理論研究，設(shè)計如表1所示多種諧波激勵試驗，有“√”標(biāo)記的情況需要進行試驗。

2.2 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

由于受到試驗中傳感器精度、設(shè)備誤差、安裝誤差和文獻［10］所提到的干摩擦運動的躍動現(xiàn)象等因素的影響，原始數(shù)據(jù)不可避免地會出現(xiàn)對稱性和光滑度不理想的問題，必須對數(shù)據(jù)進行去直流分量和平滑處理。首先，對各數(shù)據(jù)去直流分量，以MATLAB軟件為平臺依次導(dǎo)入位移和恢復(fù)力的試驗數(shù)據(jù)，通過以下命令實現(xiàn)去直流分量處理:x=x-mean(x)，z=z-mean(z);然后，對位移和恢復(fù)力數(shù)據(jù)進行傅里葉變換處理后重構(gòu)，通過重構(gòu)后的位移解析式求導(dǎo)獲得速度數(shù)據(jù)以及實現(xiàn)恢復(fù)力的平滑處理(因為是位移控制，所以位移數(shù)據(jù)曲線處理前后光滑度變化不大)，如圖2所示，圖2(a)是恢復(fù)力處理前圖示，圖2(b)為處理后圖示，可以明顯看出處理前后曲線光滑度的差異。

圖2 數(shù)據(jù)預(yù)處理前、后的恢復(fù)力Fig.2 The restoring force before processed and after processed

表1 試驗設(shè)計A為振幅(mm)，ω為頻率(Hz))Tab.1 Experimental design(A represent amplitude(mm)，ω represent frequency(Hz))

2.3 數(shù)據(jù)的插值處理

雖然各曲線在位移——速度投影面上分布基本均勻，但是很難保證所有預(yù)處理后的數(shù)據(jù)點關(guān)于投影面均勻分布，如果直接進行空間曲面的最小二乘擬合，無法保證擬合精度，所以必須進行插值處理，得到關(guān)于投影面均勻的數(shù)據(jù)點。MATLAB軟件無法直接對一組向量進行插值，只有當(dāng)數(shù)據(jù)具有如下特征時才可以:變量x和y都是一維向量，各自元素大小分別順序排列，向量 x，y通過命令［x，y］=meshgrid(x，y)變成矩陣，矩陣x的一個元素xi和矩陣y的一個元素yj剛好對應(yīng)矩陣z的一個元素zij，只有在這種情況下才可以進行二維插值(一維插值針對曲線，二維插值針對曲面)，所以必須對數(shù)據(jù)進行插值前的整合，使之具有MATLAB軟件可識別的特征。本文的處理方法是，將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)根據(jù)需要的投影面分辨率(10×10網(wǎng)格，根據(jù)情況自行設(shè)計)對所有數(shù)據(jù)進行壓縮整合，即在需要的投影面范圍x:(-a，a)，y:(-b，b)內(nèi)，將所有數(shù)據(jù)按照 10 ×10網(wǎng)格分割處理，把每一網(wǎng)格的中心坐標(biāo)分別賦值給矩陣x和y對應(yīng)的元素，把網(wǎng)格內(nèi)所有預(yù)處理后數(shù)據(jù)點的恢復(fù)力均值賦值給矩陣z對應(yīng)的元素，這樣就得到了x，y，z三個同維矩陣，然后通過interp2()命令對全體數(shù)據(jù)進行二維插值。

插值后，觀察三維模型的曲面圖3(a)和恢復(fù)力等高線投影圖3(b)，可以看出以位移和速度為變量的恢復(fù)力是一個形狀并不復(fù)雜并且不閉合的坡形空間曲面。

圖3 擬合前恢復(fù)力的三維顯示圖和其等高線投影圖Fig.3 The three-dimension graphics and the contour line chart of the restoring force before fitting

2.4 恢復(fù)力組成的分析和模型參數(shù)的辨識

根據(jù)金屬橡膠的實際作用機理，結(jié)合數(shù)據(jù)的特點，此處把恢復(fù)力分解為只與位移有關(guān)的純彈性力、只與速度有關(guān)的純阻尼力和與速度有關(guān)的負(fù)剛度彈性力(后文有說明)，并根據(jù)數(shù)據(jù)分別進行擬合。

根據(jù)數(shù)據(jù)通過最小二乘法對待估參數(shù)進行擬合估計，得到各自的解析表達式如下:

擬合后曲線如圖4中實線所示。

圖4 純剛度和純阻尼曲線(圓點是擬合前數(shù)據(jù)，實線是擬合后數(shù)據(jù))Fig.4 The curse of pure stiffness and pure damping(circle points are the data before fitting，solid line is the data after fitting)

在三維坐標(biāo)系中表達式z1=f1(x)和z2=f2(y)都是空間曲面，繪出曲面z1和曲面z2，疊加曲面z4=z1+z2，差值曲面(此處設(shè)恢復(fù)力數(shù)據(jù)曲面是Z)z5=Z-(z1+z2)，如圖5所示。

對恢復(fù)力數(shù)據(jù)曲面和疊加曲面的差值曲面進行詳細(xì)分析和觀察，如圖6所示。通過分析可知，差值曲面函數(shù)關(guān)于位移和速度兩個自變量近似為一個奇函數(shù);在曲面存在的四個卦限內(nèi)曲面峰值絕對值和形狀都基本相同;當(dāng)位移取正值時，差值曲面都是負(fù)值，當(dāng)位移取負(fù)值時，差值曲面都是正值;并且在位移為零或速度為零時，差值曲面都取值為零，于是可以設(shè)計差值曲面函數(shù)為:

最小二乘法擬合后得到表達式:

分別繪制差值曲面擬合前、后圖和恢復(fù)力擬合前、后圖，如圖7所示。

良好的擬合效果表明了金屬橡膠材料恢復(fù)力中存在與速度平方項相關(guān)的負(fù)剛度彈性力成分。結(jié)合金屬橡膠材料作用機理的復(fù)雜性和特殊性，初步分析認(rèn)為至少有三個原因造成了這個結(jié)果:一是由于持續(xù)的形變，使金屬橡膠材料產(chǎn)生了明顯的蠕變松弛現(xiàn)象，內(nèi)部金屬絲勾連情況不再保持工作前狀態(tài)，使材料在位移標(biāo)定零點的位置出現(xiàn)了材料內(nèi)部應(yīng)力不平衡的現(xiàn)象，形成了類似鼓形薄殼體的負(fù)剛度結(jié)構(gòu);二是由于材料運動造成的金屬絲滑移現(xiàn)象使開始工作前的試件邊界狀態(tài)發(fā)生了改變;三是試驗中夾具質(zhì)量和材料質(zhì)量在運動時附加的慣性力產(chǎn)生的影響。

至此恢復(fù)力三維模型的建立和分析基本完成，本模型中恢復(fù)力由三個部分組成，分別是:正剛度線性彈性力、非線性阻尼力和與速度平方有關(guān)的非線性負(fù)剛度彈性力，方程解析表達式如下所示:

經(jīng)大量實驗分析可知，本模型對于對稱結(jié)構(gòu)的金屬橡膠試件具有廣泛適用性。但是由于金屬橡膠材料的恢復(fù)力特性受到試件成型工藝參數(shù)、安裝時的邊界條件和試件變形形式的顯著影響，因此模型中四個待估參數(shù)(a，b1，b2，c)也會受到上述因素的影響，在模型擬合時需要全面考慮，同時，如果存在加載后金屬橡膠的自由平衡位置改變的情況，需要對模型進行修正，即在公式(9)的右邊添加一個常數(shù)項d，d的辨識可由金屬橡膠的靜載實驗給出，因為屬于一般性的實驗，在此不做贅述，修正后模型的結(jié)構(gòu)形式如下所示:

3 模型的驗證

選取試件工作范圍的任意振幅頻率的諧波激勵作為實試驗件，采集獲得恢復(fù)力數(shù)據(jù)，對比三維模型的解析結(jié)果，以恢復(fù)力的定測值和解析值的相對誤差平均值和相關(guān)系數(shù)兩個指標(biāo)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，表2為所得結(jié)果。結(jié)果表明擬合精度很高，本模型中對恢復(fù)力的分析處理具有合理性，但是頻率和振幅的增加在一定程度上會影響擬合精度，尤其頻率影響更加明顯。

表2 任意三種工況下的模型驗證結(jié)果Tab.2 The results of model verification in three optional harmonic excitations

4 結(jié)論

本文建立了金屬橡膠材料彈性恢復(fù)力的三維模型，本模型更加直觀地反映了金屬橡膠的剛度和阻尼特性，模型中恢復(fù)力是位移和速度的二元函數(shù)，既充分考慮了速度對恢復(fù)力的影響，也兼顧了多個離散諧波激勵條件下恢復(fù)力特性的統(tǒng)一描述，為金屬橡膠在任意激勵下的力學(xué)特性研究和響應(yīng)估計提供了一個新的研究思路，并為其他彈性阻尼元件的本構(gòu)力學(xué)研究提供了新的方法，但是由于金屬橡膠結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性的復(fù)雜性的影響，本模型在隨機激勵、高頻、高溫等條件下的應(yīng)用仍有限制，并不是一個普適的模型，相關(guān)研究和分析是有待于進一步深化。

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