□天津科技大學 賈學龍 楊華

將數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學教學中的研究

□天津科技大學 賈學龍 楊華

文章分析了高等數(shù)學的教學現(xiàn)狀和存在的問題。總結了講授高等數(shù)學的理論與相關數(shù)學建模案例相結合的方法以及在滲透建模思想的同時要注意的幾個問題。

數(shù)學建模；高等數(shù)學；教學

當前，數(shù)學建?；顒釉诟鞲咝V泛開展，為應用型人才的培養(yǎng)創(chuàng)造了很好的環(huán)境和機遇。而在數(shù)學建?；顒娱_展的同時，也逐漸暴露出一些問題，其中最主要的問題就是如何把數(shù)學建模的思想融入到高等數(shù)學教學中去。作者在多年的教學基礎上，結合我校的實際情況，就如何在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模的思想談談自己的一些想法。

一、高等數(shù)學和數(shù)學建模

目前，我國各高校高等數(shù)學教材的知識結構大多數(shù)是采用以數(shù)學邏輯關系為主線的體系，其核心就是演繹，一環(huán)扣一環(huán)的演進過程，充分體現(xiàn)了在公理化體系下的邏輯關系。在這種體系下必然導致高等數(shù)學的教學多重視理論的系統(tǒng)性和結構的嚴密性，而忽略了對基本概念、基本定理的物理和幾何意義的解釋，把微積分與現(xiàn)實世界的聯(lián)系完全的分離了，微積分的實際應用價值沒有能夠充分的展示出來，使學生對于高等數(shù)學教材中的定義、定理和公式感到很迷茫，往往不能夠充分的理解其實際意義。致使在整個學習過程中學生不理解學習數(shù)學概念的動機，單一的作業(yè)訓練是在學生處于一種被動的情況下進行的，沒有體現(xiàn)出學生學習的積極性與主動性。而體現(xiàn)在學生身上更多的則是模仿與強迫記憶。造成了學生認為學習高等數(shù)學是枯燥無味并且是沒用的，從而失去了學習數(shù)學的興趣和信心。

而數(shù)學建模是通過數(shù)學模型的方式，搜集實際問題的材料和數(shù)據(jù)，找到問題的關鍵抓住其內在的規(guī)律，運用數(shù)學中的定義、定理和公式，把實際問題抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學和計算機的方法把問題解決。最后再把求解后的結果與實際問題相結合，把數(shù)學的結果解釋成實際問題。然后在不斷的修改假設中修改、完善問題，使解決的結果更符合實際問題。因此，數(shù)學模型是數(shù)學聯(lián)系客觀世界，與現(xiàn)實世界溝通，解決實際問題的重要工具。這就要求我們教師，尤其講授是高等數(shù)學課的教師必須改進以前傳統(tǒng)的教學理念，加強與實際問題相結合的方法，把數(shù)學中的定義、定理和公式現(xiàn)實化，再加上一些有意義的實際問題，使之通俗易懂，把復雜深奧的理論淺顯化，主要強調把數(shù)學中的結果說明的更詳細，實例更具體。讓學生掌握了數(shù)學知識的同時還學會如何運用數(shù)學，把數(shù)學中的知識與實際問題相結合，從而，更快捷有效地解決實際問題。因此，把數(shù)學建模的思想融入到高等數(shù)學教學中是十分必要的。

二、建模案例與高等數(shù)學教學相結合

1.要在首堂課中引入數(shù)學模型，拓寬學生視野，激發(fā)學生學習興趣

首堂課是學生認識老師，認識高等數(shù)學課程的起點，是點燃學生學習高等數(shù)學的第一束火花。有了一個好的開始將對激發(fā)學生學習高等數(shù)學的興趣，端正學習的態(tài)度以及改變舊的思想觀念起到關鍵性的作用，因此必須上好這一課。首堂課應該介紹數(shù)學發(fā)展的簡史，舉例說明數(shù)學的廣泛應用，進一步闡明高等數(shù)學的重要地位和作用。讓他們弄清高等數(shù)學與初等數(shù)學有著本質上的區(qū)別。有的放矢地提問一些趣味性較強的問題，激發(fā)學生的求知欲。如用公平席位的分配問題，雨中行走是不是走得越快淋雨就越少，商人如何安全渡河等問題，引起學生強烈的好奇心，活躍課堂氣氛。用森林救火、血管分支、軍備競賽、紅綠燈調節(jié)、人口模型等問題激發(fā)學生學習高等數(shù)學的積極性，開闊視野。從思想上改變學生以往對數(shù)學課程的偏見，為今后學好高等數(shù)學奠定良好的心理基礎。

2.將數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學的基本概念中

高等數(shù)學教學中的基本概念，如極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分，在這些概念的教學中，如何將數(shù)學建模的思想與其相結合將直接關系影響到學生對該概念的理解程度。比如在介紹導數(shù)概念時可以先對學生進行提問，在現(xiàn)實生活中能夠找到哪些與變化率相關的實例。通過學生在生活中的一些體驗，舉出實例。如：股票在某一時間段的漲跌、房價的漲跌、氣體的溫室效應引起的全球氣候變暖、物體的自由落體運動等等，這些都是相對于時間的變化率。從這些實例中提煉出數(shù)學模型，從而為總結出導數(shù)概念提供具體的實際背景鋪墊。

通過這些具體的實例讓學生感知客觀世界中存在著變化快慢不同的現(xiàn)象，讓學生在已有認知結構的基礎上建構新知識，從而達到概念的自然形成，這樣學生不會感到突兀，并能進一步感受到數(shù)學來源于生活，生活中處處蘊含著數(shù)學的知識，從而探究得到用平均變化率來刻畫這種快慢程度。此時再引入“變速直線運動的物體的瞬時速度”模型，進而引出導數(shù)的概念。

3．在高等數(shù)學教學中將建模案例與定理應用相結合

在介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點定理的時候，可以與“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”這個建模實例相結合。在極值定理時，可以增加最優(yōu)化問題，與“磁盤的最大存儲量”，“電影院的優(yōu)化設計”等模型相結合。

如椅子放平穩(wěn)的問題巧妙的用了一個一元變量表示椅子位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離。

剛開始看到這個題目，可能有很多同學不會把它與數(shù)學問題聯(lián)系起來，即使想把它與數(shù)學問題結合起來也找不到結合點在哪里。但是通過我們教師的適當引導，把這個問題與函數(shù)連續(xù)的定理聯(lián)系在一起，找到他們之間的關系,用數(shù)學建模的思想把這個實際問題解決掉。要解決這個問題就要學習連續(xù)函數(shù)的性質等高等數(shù)學的知識。通過這一類的實例分析，讓學生在山重水復中看到柳暗花明。學生的數(shù)學建模能力和學習高等數(shù)學的興趣都會得到提高。

4．在高等數(shù)學課程的每一章的習題課中增加一個案例教學的環(huán)節(jié)

這樣一個課堂教學環(huán)節(jié)的設計不僅能夠調動學生的學習熱情，而且有利于培養(yǎng)他們勤于思考的習慣，加強對所學知識的理解。實際問題的選擇應該以“簡單和短小”為目標，最好是一些典型的實際問題。對這些實際問題的講解，采用數(shù)學建模的思想方法，對實際問題進行分析，引發(fā)學生的思考，使其逐步掌握數(shù)學建模的思想方法，掌握高等數(shù)學概念和理論的來龍去脈，鞏固所學知識。例如，在學完最值定理后，可以與“森林救火問題”相結合；講完微分方程知識后，可以與“傳染病模型”和“人口增長模型”相結合；學完積分知識后，可以與“存貯問題”相結合等等。

通過以上的幾個具體案例，不但成功的將建模的思想融入高等數(shù)學的教學，還運用高等數(shù)學中的“變換觀點”，培養(yǎng)學生的聯(lián)想能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。通過這些實際問題的研究，可以讓學生清楚地知道高等數(shù)學在其各自專業(yè)里的具體應用，激發(fā)他們應用數(shù)學知識去分析、解決實際問題的主動性和積極性。把在數(shù)學中學到的知識、方法和思想結合他們自己的專業(yè)知識以更快更好的解決實際問題，學生可以切身的感受到學數(shù)學給他們帶來的收獲。這與以前的傳統(tǒng)的教學模式差別很大，這種教學模式讓學生真正的懂得了學習數(shù)學的重要性，真正的學會了怎樣學數(shù)學，怎樣用數(shù)學。

5．將數(shù)學建模案例融入高等數(shù)學教材中

為了更好的使數(shù)學建模進入高等數(shù)學的教學之中，有必要在教材中附以應用數(shù)學建模的優(yōu)秀案例，使教師在上課時有據(jù)可循，同時便于學生課下進一步理解吸收。這樣不僅使教材具有可讀性，更能激發(fā)學生閱讀教材的興趣，有助于培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，提高用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

三、在高等數(shù)學的教學中滲透數(shù)學建模思想應注意的問題

一要由特殊到一般，由簡單到復雜，一步步滲透，要循序漸進，不要急于求成。

二要選擇在現(xiàn)實生活中學生們經(jīng)常接觸的實際問題，且是容易接受的、使學生能夠產(chǎn)生興趣的、實用的數(shù)學建模內容。

三是在教學中列舉數(shù)學建模實例，僅僅是學生學習數(shù)學建模的方法和思想的初步，因此，在教學中舉例要少而精，不要大而泛，從而沖淡高等數(shù)學理論知識的學習。

通過以上幾點分析，我們認為有必要將數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學的教學中，使學生充分認識到數(shù)學知識不僅僅是學習其他科學的工具，更重要的是學會如何在社會生活以及在經(jīng)濟、軍事、政治等領域應用這些工具。同時將數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學的教學中對調動學生學習高等數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，都將會起到非常積極的促進作用。

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