劉 翔

(上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 上海 200052)

0 前言

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡(jiǎn)記ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于20世紀(jì)70年代初提出的著名時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，又被稱為Box-Jenkins模型或博克思-詹金斯法[1].其基本思想是：將預(yù)測(cè)對(duì)象隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個(gè)隨機(jī)序列，用一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)近似描述這個(gè)序列，并認(rèn)為該序列蘊(yùn)含的規(guī)律還將持續(xù)遵循下去.這個(gè)模型一旦被識(shí)別后就可以從時(shí)間序列的過(guò)去值及現(xiàn)在值進(jìn)行外推預(yù)測(cè)未來(lái)值.因此，ARIMA模型在實(shí)證研究中被廣泛運(yùn)用于時(shí)間序列分析和模型預(yù)測(cè)領(lǐng)域.

1 ARIMA模型的類型及構(gòu)建過(guò)程

ARIMA模型建模的對(duì)象是平穩(wěn)的時(shí)間序列，因此在對(duì)一個(gè)離散的單變量時(shí)間序列進(jìn)行建模分析時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先考察其平穩(wěn)性，再分析和判斷數(shù)據(jù)序列的生成過(guò)程.

根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列生成機(jī)制的不同，ARIMA模型實(shí)際包含3種類型的模型[2]：

(1)自回歸模型(簡(jiǎn)稱AR模型)： 模型為p階自回歸過(guò)程，簡(jiǎn)記為AR(p)，用公式表示為

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+at

其中，{at}是滿足0均值和常數(shù)方差的白噪聲序列，φi為模型的待估參數(shù).

(2)移動(dòng)平均模型(簡(jiǎn)稱MA模型)：

模型為q階移動(dòng)平均過(guò)程，簡(jiǎn)記為MA(q)，用公式表示為

yt=at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

其中，θi為模型的待估參數(shù)，其它字母含義同上.

(3)自回歸移動(dòng)平均混合模型(簡(jiǎn)稱ARMA模型)

模型為自回歸移動(dòng)平均混合過(guò)程，簡(jiǎn)記為ARMA(p,q)，用公式表示為

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

其中，字母含義同上.可以看到，ARIMA模型為自回歸AR模型和移動(dòng)平均MA模型的算數(shù)和，其中的I表示差分的逆運(yùn)算.

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列{yt}而言，構(gòu)建ARIMA模型的一般步驟為：

首先進(jìn)行單位根檢驗(yàn)或游程檢驗(yàn)其平穩(wěn)性，若非平穩(wěn)后通過(guò)d階差分作平穩(wěn)化處理；如果數(shù)據(jù)存在異方差，則需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行技術(shù)處理，直到處理后的數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值無(wú)顯著地異于零.

之后通過(guò)時(shí)間序列模型的識(shí)別規(guī)則判斷序列所屬類型并建立模型.若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA模型[3].

然后對(duì)該平穩(wěn)時(shí)間序列建立相應(yīng)的ARMA(p,q)模型，確定后的差分自回歸移動(dòng)平均模型整體表示為ARIMA(p,d,q)，其中p為自回歸項(xiàng)，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù).

最后對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并檢驗(yàn)參數(shù)是否具有統(tǒng)計(jì)意義，如有必要還需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，診斷殘差序列是否為白噪聲.

以上步驟進(jìn)行完后，獲得與該時(shí)間序列匹配的ARIMA模型，并可以通過(guò)模型進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè).

ARIMA模型在宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有很多重要的運(yùn)用，通常基于歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，并在置信區(qū)間內(nèi)對(duì)所分析經(jīng)濟(jì)對(duì)象的趨勢(shì)進(jìn)行判斷.本文將以中國(guó)服務(wù)貿(mào)易進(jìn)出口規(guī)模為分析對(duì)象，探討ARIMA這一模型工具的適用性.

2 中國(guó)服務(wù)貿(mào)易進(jìn)出口規(guī)模模型的構(gòu)建和預(yù)測(cè)

2.1 服務(wù)貿(mào)易研究背景介紹

服務(wù)貿(mào)易作為一種新興的貿(mào)易形式，在一定程度上代表了國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.通常情況下，發(fā)達(dá)國(guó)家服務(wù)貿(mào)易在該國(guó)國(guó)際貿(mào)易中比重較大.多年以來(lái)我國(guó)利用對(duì)外貿(mào)易帶動(dòng)經(jīng)濟(jì)長(zhǎng)期增長(zhǎng)，貨物貿(mào)易起著主導(dǎo)作用，而與之相對(duì)應(yīng)的服務(wù)貿(mào)易卻始終為逆差狀態(tài).但不可否認(rèn)服務(wù)貿(mào)易已經(jīng)成為我國(guó)經(jīng)濟(jì)新的增長(zhǎng)點(diǎn),從1982年到2010年，我國(guó)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模的年均增長(zhǎng)速度達(dá)到17%[4].目前我國(guó)面臨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整的轉(zhuǎn)型困難，而大力發(fā)展服務(wù)業(yè)及服務(wù)跨國(guó)貿(mào)易是扭轉(zhuǎn)這一局面、實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)成功轉(zhuǎn)型的突破點(diǎn)之一.

圖1 我國(guó)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模ARIMA模型預(yù)測(cè)的基本流程

雖然服務(wù)貿(mào)易逆差在逐步縮小，但是由于受到越來(lái)越多不可控的國(guó)際因素的影響，目前我國(guó)服務(wù)貿(mào)易的增長(zhǎng)呈現(xiàn)較大的波動(dòng)性.因此，全面把握我國(guó)服務(wù)貿(mào)易的發(fā)展規(guī)律和未來(lái)走勢(shì)對(duì)于我國(guó)采取有利措施、保證服務(wù)貿(mào)易的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展具有重要的意義.為此，本文采用時(shí)間序列分析方法，從數(shù)量建模的角度揭示我國(guó)服務(wù)貿(mào)易的發(fā)展規(guī)律，重點(diǎn)探討ARIMA模型對(duì)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測(cè)的適用程度.

根據(jù)建立ARIMA(p,d,q)模型的要點(diǎn)，我國(guó)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測(cè)的基本流程如圖1所示.

2.2 數(shù)據(jù)選取

我國(guó)從1982年起正式將服務(wù)貿(mào)易納入商務(wù)和海關(guān)統(tǒng)計(jì)的范圍[5]，本研究選取數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2011年出版的《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒(2010)》及中國(guó)商務(wù)部《中國(guó)服務(wù)貿(mào)易統(tǒng)計(jì)(2010)》提供的服務(wù)貿(mào)易數(shù)據(jù).為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮篁?yàn)性，同時(shí)保證足夠的樣本數(shù)量范圍，本文選取中國(guó)1982～2008年的服務(wù)進(jìn)出口數(shù)據(jù)作為建模樣本，將2009和2010年貿(mào)易數(shù)據(jù)作為后驗(yàn)樣本來(lái)判斷模型估計(jì)的有效性.本文將我國(guó)服務(wù)貿(mào)易進(jìn)口額時(shí)間序列簡(jiǎn)記為M，出口額時(shí)間序列簡(jiǎn)記為X，進(jìn)出口總額時(shí)間序列簡(jiǎn)記為MX.

2.3 數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)及處理

從圖2的服務(wù)貿(mào)易總額MX時(shí)間路徑中可以看出，原數(shù)據(jù)序列MX有著明顯的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)(圖1a)，為非平穩(wěn)序列.通過(guò)對(duì)數(shù)處理后，對(duì)數(shù)序列LMX表現(xiàn)為線性增長(zhǎng)趨勢(shì).為從統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別，對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行單位根ADF檢驗(yàn).ADF檢驗(yàn)顯示對(duì)數(shù)序列LMX的t統(tǒng)計(jì)量的顯著性概率P=0.988，遠(yuǎn)大于α=0.05，接受零假設(shè)，即序列顯著存在單位根.

圖2 服務(wù)貿(mào)易總額及其對(duì)數(shù)序列的時(shí)間路徑

為消除單位根的影響，對(duì)序列LMX進(jìn)行差分運(yùn)算，記為ΔLMX，再進(jìn)行平穩(wěn)性ADF檢驗(yàn).檢驗(yàn)結(jié)果表明LMX一階差分序列單位根仍存在，二階差分(序列記為Δ2LMX)后單位根不存在，時(shí)間序列為平穩(wěn)序列，即服務(wù)貿(mào)易總額對(duì)數(shù)序列LMX為二階單整序列.

2.4 數(shù)據(jù)擬合與模型的構(gòu)建

在SAS統(tǒng)計(jì)軟件中對(duì)LMX的二次差分序列Δ2LMX進(jìn)行自相關(guān)(ACF)和偏相關(guān)(PACF)分析，結(jié)果如圖3所示.從圖3中可以看出，Δ2LMX的自相關(guān)圖在一階處是截尾的，而其對(duì)應(yīng)的偏相關(guān)圖是拖尾的，依此初步判斷序列LMX遵循的模型為ARIMA(0,2,1)，屬于MA模型類型.

圖3 Δ2LMX序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖

為進(jìn)一步判斷模型類型，結(jié)合上述分析，本文分別嘗試用ARIMA(0,2,1)、ARIMA(0,2,1)、 ARIMA(1,2,1)、 ARIMA(1,2,2) 以及ARIMA(2,2,1)5個(gè)模型對(duì)序列LMX進(jìn)行擬合檢驗(yàn).結(jié)果顯示，只有ARIMA(0,2,1)和ARIMA(0,2,1)2個(gè)模型通過(guò)了參數(shù)檢驗(yàn)，其余模型都存在估計(jì)參數(shù)檢驗(yàn)不顯著的情形，驗(yàn)證了我們之前關(guān)于序列屬于MA類型的判斷.兩模型的AIC值(赤池信息準(zhǔn)則Akaike Information Criterion)和SSR值(剩余平方和)如表1所示.

表1 模型估計(jì)的AIC值和SSR值

根據(jù)表1中模型估計(jì)的結(jié)果并考慮到建模的簡(jiǎn)約原則，對(duì)貿(mào)易總額的對(duì)數(shù)序列LMX擬采用ARIMA(0,2,1)模型進(jìn)行估計(jì)，其結(jié)果通過(guò)了模型的殘差平穩(wěn)性檢驗(yàn)，表明該模型合理，模型估計(jì)結(jié)果為：

lnMXt=0.985 8at-1+at

(1)

t值 (-37.325)R2=0.5

為了更全面地對(duì)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，分析服務(wù)貿(mào)易進(jìn)口和出口各自的變化規(guī)律，按照上述建模過(guò)程，分別對(duì)服務(wù)貿(mào)易進(jìn)口額時(shí)間序列Mt和出口額時(shí)間序列Xt建立模型.我國(guó)服務(wù)貿(mào)易進(jìn)口額Mt合理的ARIMA模型估計(jì)結(jié)果為：

ΔlnMt=0.195-0.564ΔlnMt-2+0.962at-2+at

(2)

t值 (4.707) (-4.740) (28.578)R2=0.451

同理，我國(guó)服務(wù)貿(mào)易出口額Xt合理的ARIMA模型估計(jì)結(jié)果為：

Δ2lnXt=-0.826Δ2lnXt-2+0.962at-2+at

(3)

t值 (-10.333) (-20.731)R2=0.545

3 ARIMA模型對(duì)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測(cè)的適用性分析

3.1 服務(wù)貿(mào)易規(guī)模短期預(yù)測(cè)

利用上述建立的模型(1)、(2)和(3)式，分別對(duì)我國(guó)2009年和2010年服務(wù)貿(mào)易總額、進(jìn)口額以及出口額進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示.

表2 2009～2010年中國(guó)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測(cè)(單位：億美元)

表2表明，2009年和2010年我國(guó)的服務(wù)貿(mào)易總額分別為3 638億美元和4 345億美元，年增長(zhǎng)率均為19%，而歷史數(shù)據(jù)顯示由于服務(wù)貿(mào)易進(jìn)口的快速增加，模型根據(jù)這一內(nèi)在規(guī)律預(yù)測(cè)2009年和2010年服務(wù)貿(mào)易進(jìn)口增長(zhǎng)速度將達(dá)到26%的水平.

3.2 數(shù)據(jù)對(duì)比及差異分析

我們結(jié)合2009年和2010年的實(shí)際數(shù)據(jù)做一對(duì)比(表3)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)了較大的高估，偏差范圍為20%～30%.通過(guò)數(shù)據(jù)回溯可以發(fā)現(xiàn)，由于全球金融危機(jī)對(duì)實(shí)體經(jīng)濟(jì)造成的滯后影響，2009年服務(wù)貿(mào)易近10年來(lái)出現(xiàn)了較大的負(fù)增長(zhǎng)，較2008年降低了5.8%，服務(wù)貿(mào)易出口額甚至降低了12.2%.

表3 2009～2010年中國(guó)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模及預(yù)測(cè)偏差對(duì)比(單位：億美元)

表4 2010年中國(guó)服務(wù)貿(mào)易規(guī)模及重估預(yù)測(cè)偏差對(duì)比(單位：億美元)

我國(guó)服務(wù)貿(mào)易在國(guó)際市場(chǎng)上并不具備貨物貿(mào)易那樣的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)全球經(jīng)濟(jì)處于下滑階段時(shí)，作為幼稚產(chǎn)業(yè)并不具備抗擊風(fēng)險(xiǎn)的能力，因此偏離模型根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的趨勢(shì).但區(qū)間估計(jì)彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的不足，實(shí)際值基本上都在區(qū)間估計(jì)的范圍內(nèi)，考慮到了突發(fā)變動(dòng)對(duì)序列趨勢(shì)的影響.

同時(shí)我們也可以看到，隨著年份的推移，2010年預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的精度相對(duì)2009年出現(xiàn)了更大的波動(dòng).我們嘗試將2009年的數(shù)據(jù)作為樣本構(gòu)建新的模型，并以新模型來(lái)預(yù)測(cè)2010年的數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示.

由于考慮了2009年的突變因素，數(shù)據(jù)序列內(nèi)在邏輯的變動(dòng)相應(yīng)改變了模型參數(shù)估計(jì)，2010年預(yù)測(cè)偏差大幅降低，模型的參考價(jià)值提高.

4 結(jié)束語(yǔ)

模型預(yù)測(cè)的主要目的是在考慮隨機(jī)波動(dòng)的前提下對(duì)趨勢(shì)進(jìn)行模擬和分析，其預(yù)測(cè)結(jié)果不是為精確到細(xì)節(jié)，而是作為參考指標(biāo)和判斷依據(jù).從上述構(gòu)建我國(guó)服務(wù)貿(mào)易進(jìn)出口規(guī)模ARIMA模型并進(jìn)行短期預(yù)測(cè)的過(guò)程中，模型從動(dòng)態(tài)角度反映出服務(wù)貿(mào)易規(guī)模的變動(dòng)趨勢(shì)和特點(diǎn)，我們可以看到ARIMA這個(gè)重要的時(shí)間序列建模方法適用于很多縱向經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的定量分析，特別是經(jīng)濟(jì)體規(guī)模的變動(dòng)預(yù)測(cè)，能夠幫助理解和擬合數(shù)據(jù)內(nèi)部隱藏的規(guī)律性.模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)中包含信息做了充分吸收，相對(duì)于簡(jiǎn)單的增長(zhǎng)率平均法更加科學(xué)和有效.同時(shí)區(qū)間預(yù)測(cè)與點(diǎn)預(yù)測(cè)相結(jié)合，使得模型預(yù)測(cè)結(jié)果更加客觀嚴(yán)謹(jǐn).

但是從預(yù)測(cè)的理想程度上，本文也提出利用ARIMA模型進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)時(shí)的局限性：

(1)突發(fā)事件對(duì)數(shù)據(jù)序列趨勢(shì)的影響. 應(yīng)該注意的是ARIMA模型基于的原理是假設(shè)序列保持不變的趨勢(shì)，置信區(qū)間雖然已經(jīng)包含了隨機(jī)波動(dòng)的范圍，但當(dāng)出現(xiàn)影響事件發(fā)展方向的“黑天鵝”事件時(shí)，其預(yù)測(cè)將偏離真實(shí)情況.

(2)區(qū)間估計(jì)范圍過(guò)大. 根據(jù)本文中的研究樣本，在置信度為95%的情況下，區(qū)間估計(jì)相對(duì)于點(diǎn)估計(jì)值的變動(dòng)達(dá)到了±20%以上，最高的甚至達(dá)到±40%.對(duì)于宏觀經(jīng)濟(jì)變量來(lái)說(shuō)，年增長(zhǎng)率10%已經(jīng)屬于較大的變化，因此區(qū)間估計(jì)范圍過(guò)大會(huì)使預(yù)測(cè)喪失其意義.

針對(duì)以上兩個(gè)局限性，本文給出如下建議：

(1)時(shí)間序列模型應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適時(shí)的動(dòng)態(tài)更新和調(diào)整，以便更好地反映和模擬內(nèi)在規(guī)律.

(2)適當(dāng)降低區(qū)間估計(jì)的范圍，以保證預(yù)測(cè)本身的價(jià)值.由于縮小置信區(qū)間會(huì)以降低置信水平為代價(jià)，因此在構(gòu)造模型時(shí)需要在兩者間做一權(quán)衡.同時(shí)，盡可能擴(kuò)大樣本數(shù)量，以保證在置信水平不變的前提下置信區(qū)間相對(duì)變窄.

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