段小蘭 郝振純

(河海大學水文水資源與水利工程學科國家重點實驗室,南京 210098)

洪水風險分析的目的一方面在于確定防洪工程的設計標準,由設計標準推求相應的設計洪水;另一方面是估算洪水的風險大小.傳統(tǒng)的水文頻率計算中都是以時段洪量或洪峰來描述洪水,并且假定兩者同頻率,進行頻率分析,推求相應的設計值或估計洪水風險.洪水作為一種復雜的水文過程,洪峰和洪量是否同頻率,對其認識還有待進一步深入.理論上,對于一定降水,產生的洪水總徑流量等于凈雨量,洪量的量級大小很大程度上取決于降水量的多少,其次是流域土壤的前期濕潤狀況,洪峰是凈雨量通過流域調蓄作用后的結果,是洪量在時間上的分配,這決定了洪峰和洪量存在復雜的內在關系.所以簡單地說,洪量量級由氣候條件確定,洪峰量級是氣候和下墊面共同作用的結果,兩者很難達到頻率相等.洪峰小而洪量大的洪水,可以導致很大的洪水災害,洪量小而洪峰大的洪水同樣能造成巨大損失.因此,單獨以洪峰或洪量展開洪水分析,結果可能導致過高或過低地估計了洪水風險,有望通過尋求多變量的洪水風險分析方法來改善這種估計偏差.文獻[1]在多變量分析洪水中做了有益探索,考慮洪水和降水的不同頻率關系,但在洪水成因上存在矛盾,把因果關系的降水和洪水作為兩個并列的因素來處理;文獻[2]考慮洪峰和洪量,用模糊聚類理論,構造隸屬度函數,表征峰量同時發(fā)生的關系,但是文中構造的隸屬度函數是基于線性相關系數建立的,對兩者關系的描述過于簡化.為此,本文以概率論的基本原理和Copula函數為基礎,探討同時考慮洪峰和洪量的洪水風險分析方法.

1 洪峰和洪量共同作用下的聯合洪水風險分析

1.1 聯合風險概率模型

洪水風險的定量化定義目前尚有爭議,比較普遍的觀點認為洪水風險應包括3個基本屬性:洪水事件的量級、洪水事件出現的概率以及洪水事件一旦發(fā)生所造成的損失.由于估計洪水損失涉及的資料很多,暫不作研究,只針對洪水量級和風險率(發(fā)生概率)作討論.

對于單變量的風險分析,風險可以理解為變量超過主體承載能力的概率,即風險為P(L≥R),其中L為要分析的特征變量,R為特征變量的閾值,也可理解為承載能力,當L≥R時,即遭到了破壞.尖瘦型洪水(峰高量少)和肥胖型洪水(峰低量大)都能造成洪水災害,因此洪水的風險分析應不單以一個特征變量分析,必須同時考慮洪峰Q和洪量W.考慮二變量情況,風險率可定義為洪峰或洪量超過各自閾值的概率:P=P{Q≥q∪W≥w}.q和w分別表示洪峰和洪量的承載能力,由定義可知,任意變量超過閾值(承載能力),災害都將發(fā)生.將發(fā)生破壞性事件P=P{Q≥q∪W≥w}記作P(W∪Q),評價洪水的風險率即計算P(W∪Q),由概率論基本理論知

式中,P(W)為發(fā)生W≥w的概率;P(Q)為發(fā)生Q≥q的概率;P(W)P(Q)為同時發(fā)生W≥w和Q≥q的概率.

從計算式(1)可知,洪峰和洪量的聯合洪水風險計算問題就轉化為計算P(W)和P(Q),以及兩者的聯合概率問題P(W)P(Q).一般來說P(W)和P(Q)可由傳統(tǒng)的概率分布模型P-Ⅲ分布求得,即

式中,f(x)和f(y)表示洪量和洪峰的密度函數,由此可見洪峰和洪量的聯合洪水風險分析的關鍵在于聯合概率P(W)P(Q)的處理.文獻[1]認為兩者的條件概率f(x|y)近似服從正態(tài)分布,通過冪指數變換法對變量進行正態(tài)化處理,最后用數值積分法求出聯合概率,文獻[1]的問題在于計算相當復雜;文獻[2]認為實際情況下洪峰和洪量的關系處于完全相關和相互獨立之間,根據兩個時間序列的線性相關系數構造關于完全相關和相互獨立兩種情況的組合概率來表示實際洪峰洪量的聯合概率,文獻[2]的問題在于用線性相關系數表示洪峰和洪量復雜關系,這種方法有可能忽視了洪峰和洪量的非線性關系.本文嘗試用Kendall秩相關系數τ描述兩者的關系,其優(yōu)點在于τ不僅可以表征隨機序列間的線性關系,也可以表征非線性關系,由此通過秩相關系數并用Gumbel Copula函數來顯示洪峰和洪量的概率關系,計算P(W)P(Q).τ的估計公式為

關于Copula函數理論的詳細介紹見參考文獻[3-5].由概率論基本理論和Copula理論知C(u,v) =F(X≤x∩Y≤y),F(x,y)表示變量x和y的聯合分布,F(X＞x∩Y＞y)=1+F(x,y)-F(x)-F(y) =1+c(u,v)-u-v.按Sklar定理,C(u,v)=F(W≤w∩Q≤q)=F(W,Q),P(W)P(Q)=F(W＞w∩Q＞q)=1+F(W≤w,Q≤q)-F(w)-F(q),則式(1)變?yōu)?/p>

由式(5)和(6)就可以計算一定量級洪水的風險率,考慮洪峰和洪量的洪水風險分析的概率模型已構造好.

1.2 聯合函數的隨機抽樣模型

峰量聯合分布是對洪峰和洪量間復雜關系的聯合描述,通過聯合分布函數進行隨機抽樣可以考慮到洪峰和洪量間的相關性,具體抽樣方法[6]如下:

(1)根據建立的兩變量聯合分布,得到當洪量概率為給定值時洪峰的條件分布

(2)產生服從[0,1]均勻分布的兩個獨立的隨機數r1和r2;

(3)令r1為洪量w的不超過概率F(w),即u= F(W)=r1;

(4)令r2等于當洪量為w時洪峰q的條件概率分布值,即r2=Sv(v|u=r1),從而可根據v=(r2| u=r1)求對應于洪量概率的洪峰概率;

(5)重復步驟(1)～(5)n次,即可得到相關聯的n對洪峰洪量概率(u,v).

2 應用實例

蚌埠站位于淮河流域干流上,控制面積為12萬km2,年平均氣溫為11～16℃,多年平均降水量約為920mm.流域面積較大,流域對徑流的調蓄作用很大,所以洪峰和洪量頻率很難達到一致.針對該站1915、1917、1921、1930、1931、1934、1935和1936年部分資料、1918～1920、1922～1923、1928～1929、1932、1947～1948、1950～2008年的徑流資料,選取汛期洪峰和洪量進行分析.

表1 蚌埠站洪水特征值單變量頻率分析計算成果表

按傳統(tǒng)的方法可從表1中查到百年一遇的設計汛期洪峰流量為11872.6m3/s,百年一遇的設計汛期洪量為652.70億m3,即兩者中任意情況發(fā)生的風險率都為1%,相反地,當給定洪峰流量為8 817 m3/s時,單變量的洪水風險為5%.表1給出了洪峰和洪量的單變量分析結果,若同時考慮洪峰和洪量因素,按本文提出的聯合分析方法,可進行如下聯合洪水風險分析.

由式(7)可以計算洪峰和洪量共同作用下的洪水風險.體現洪水事件的隨機性,對洪峰和洪量的單變量風險率進行隨機抽樣,本文隨機抽樣得到30對(u, v)值,通過聯合洪水風險模型式(7)計算得到洪水聯合風險見表2.

表2 不同洪峰洪量組合共同作用下的聯合洪水風險分析

續(xù)表2 不同洪峰洪量組合共同作用下的聯合洪水風險分析

表2的計算結果可分為3種情況:(1)聯合洪水風險大于單變量洪水風險型.洪峰和洪量的洪水量級處于中間狀態(tài),風險范圍為:10%＜P(L＞R)＜70%,如表中黑色字體,這種情況下,同時考慮洪峰和洪量的洪水聯合風險明顯大于單獨考慮洪峰或洪量時的風險率;(2)洪水聯合風險等于洪峰風險型.如藍色字體,這種情況洪量的量級偏大,P(L＞R)＜10%,洪峰量級的較大但小于洪量量級,此時洪水聯合風險與洪峰的風險保持一致;(3)洪水聯合風險等于洪量風險型.如紅色字體,當洪量的量級較小,P(L＞R)＞70%,相反洪峰的量級要大于洪量的量級時,聯合風險與洪量風險保持一致.

因此可以得到結論,當洪水較小且洪峰和洪量的量級相當時,若單獨分析洪峰或洪量,會導致低估洪水的風險,需同時考慮洪峰和洪量的影響;而當洪峰和洪量量級相差較大時,洪水風險由量級小的變量決定.

3 結 語

水文領域中對洪水風險分析的研究已經很多,并且比較成熟,傳統(tǒng)研究中大多主要采用單變量頻率分析法,不可否認該種方法操作簡單,已得到廣泛應用.但也存在很多問題是單變量頻率分析的洪水分析方法不能解決的.本文嘗試用一種新的方式進行洪峰和洪量的聯合洪水風險分析,探討此方法的可行性,得出的結論是:洪水風險分析應針對洪峰和洪量的不同量級的組合情況,分情況討論,當洪水較小且洪峰和洪量的量級相當時,同時考慮洪峰和洪量的影響更安全;而當洪峰和洪量量級相差較大時,洪水風險應由量級小的變量的風險決定.本文的研究也只是一種嘗試性的探討,更多深層次的問題有待進一步研究.

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