漸進非負(fù)曲率流形的Poisson方程解的估計

趙成兵

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 230022)

那么Poisson方程Δu=f有一解u，即

結(jié)合引理5可知結(jié)論成立。

0 引 言

1 相關(guān)引理和定義

由文獻[1]有引理1～引理3。

引理1 設(shè)M是n維完備非緊的黎曼流形，如果它的徑向Ricci曲率不小于-(n-1)k/r2，那么?α，0≤α≤1，有[1]

其中，k＞0;m=(n-1)(1+1+4k)/2;Vp(r)為以p為圓心、r為半徑的測地球Bp(r)的體積。

定義1 曲率是漸近非負(fù)的，如果KM(x)≥-λ(r(x))，λ(?)是在[0，+∞)上非負(fù)非增的函數(shù)，并且

r(x)=dist(p，x)，并且p是M上的一個固定的點。

引理2 假設(shè)M是一個完備非緊的流形，有漸近非負(fù)的曲率，那么?r≥0，0≤α≤1，有[1]

其中，xi∈Bp(2r)Bp(r)，并且N是一個與r無關(guān)的正整數(shù)。

由于式(18)中的模型似然函數(shù)是通過局部測量和局部測量單元的估算計算的,因此，如果有多個傳感器測量可用,可以通過融合其他局部模型似然函數(shù)來更新.每個動作模式的更新局部似然函數(shù)表示為累積似然函數(shù)，即

引理3 設(shè)M是一個完備非緊的黎曼流形，有漸近非負(fù)的曲率，那么存在一個正整數(shù)C D＜∞，使得?x∈M，?r≥0，則有:

設(shè)M是一個完備非緊的黎曼流形，給M上任意函數(shù)f≥0，定義

設(shè)M是一個完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，考慮Poisson方程Δu=f。

由文獻[2]有引理4、引理5。

引理4 設(shè)M是一個完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，如果M是非拋物的，對所有的x≠y，Green函數(shù)滿足

其中，σ是一個常數(shù)。

設(shè)f≥0是一個局部 H¨older連續(xù)函數(shù)，且k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個固定的點，假設(shè)∫∞0k(x，t)d t＜∞，Poisson方程Δu=f有一個解u，且適合u(o)=0與不等式:

其中，αi(n，σ)(i=1，2)和βi(n)(i=1，2，3)為常數(shù);r=r(x)表示從o點到x點的距離。

引理5 設(shè)M是一個完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個固定的點，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，并且存在1＞δ＞0，h(t)≥0，0≤t＜∞，h(t)=o(t)，對所有的x和對所有的t≥δr(x)，當(dāng)t→∞，使得

那么Poisson方程Δu=f有一解u，即

其中，αi(n，σ)(i=1，2)和βi(n)(i=1，2，3)為常數(shù);|u(x)|=o(r(x))，r→∞。

2 定理及證明

定理1 設(shè)M是一個完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個固定的點，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，令u是在引理4得到的Δu=f的解，那么

由引理3和引理4的證明[1，2]可得:

其中，αi、βj是引理4或引理5中的常數(shù);r= r(x，x0)。選擇ε=1/4，對(11)式兩邊除以r且r→0，則得定理1成立。

定理2 設(shè)M是一個完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o為一個固定的點，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，令u為在引理4得到的Δu=f的解，對任意的p≥1和α≥2，那么

證明 對任意的x∈Bo(R)，有

利用文獻[6]的梯度估計有:

假設(shè)p＞1，令q=p/(p-1)，因此可得:

綜合(12)式可得結(jié)論成立。

定理3 設(shè)M是一個完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個固定的點，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，令u是在引理4得到的Δu=f的解，那么

證明 由局部標(biāo)架公式

令φ是Bo(2R)上的光滑的緊的支撐函數(shù)，在(13)式兩邊乘以φ2并分部積分得:

選擇合適的φ可得:

結(jié)合引理5可知結(jié)論成立。

[1] Zhou C H，Chen Z H.H armonic fun ctions on a com plete noncompactmanifold with asym ptotically nonnegative cu rvatu re[J].Ann Math，2004，25(4):523-532.

[2] 趙成兵，阮其華.關(guān)于Poisson方程解的一個注記[J].同濟大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2006，34(5):694-697.

[3] Cheng S Y，Yau S T.Differential equation on Rimannian manifold and their geom etric application[J].Comm Pure Apply Math，1975，28:333-354.

[4] Ni L，Yu G S，Tam L F.Poisson equation，Poincaré-Lelong equation and decay on complete K¨ahler manifold[J].Jou rnal of Differential Geometry，2001，57:339-388.

[5] Ni L.Vanishing theorem son complete K¨ahlermanifoldsand their ap plications[J].Journal of Differential Geometry，1998，50:89-122.

[6] Li P，Yau S T.On the parabolic kernel of the Schr¨odinger operator[J].Acta Math，1986，156:139-168.

[7] Li P，Yau S T.Curvatu re and holomorphic mappings of com plete K¨ahler m anifolds[J].Com postitio Mathematica，1990，73(2):125-144.

[8] M ok N，Siu Y T，Yau S T.The Poin caré-Lelong equation on complete K¨ahler manifolds[J].Compositio Mathematica，1981，44:183-218.

[9] 趙成兵，俞能福.一個關(guān)于K¨ah ler平坦的定理[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，31(9):1528-1531.