李玉輝

（北方工業(yè)學校數(shù)學教研室，遼寧盤錦 124021）

0 引 言

具有重要實際意義的多種群生態(tài)系統(tǒng)動力學性質(zhì)歷來受到學術界的重視，現(xiàn)已取得了大量的研究成果[1-5]。在具體的生態(tài)問題中，人們?yōu)榱诉_到對生態(tài)系統(tǒng)的控制，采用了一種有效的辦法即是引入反饋控制變量。對于下述反饋控制系統(tǒng):

式中:n（t）——t時刻種群的密度;

u（t）——t時刻反饋控制變量。

文獻[6-7]研究了該模型正平衡點的穩(wěn)定性，給出了全局漸近穩(wěn)定的充分條件?；谝陨瞎ぷ鳎闹锌紤]如下具有生物控制的非自治n種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng):

式中:xi（t） ——第i個相互競爭種群（即食餌種群）在時刻t的密度，i=1，2，…，n;

u（t）——控制變量（即捕食者種群）在時刻t的密度;

aij（t），bi（t），ci（t），di（t），fi（t）（i，j=1，2，…，n）——皆為關于t∈R+=[0，∞）的連續(xù)且恒正有界函數(shù)。

系統(tǒng)（2）的生態(tài)意義是:當n個相互競爭種群的增長率較高時，引入一個捕食者種群實施生物控制，借以實現(xiàn)對系統(tǒng)的整體控制，使人們能夠在生態(tài)平衡中獲益。由于生物控制代表人類的干擾作用，所以研究生態(tài)系統(tǒng)（2）的動力學性質(zhì)更有實際應用價值。

設

是系統(tǒng)（2）的任意解，初始條件為:

文中記:

式中:g（t）——連續(xù)有界函數(shù)。

近年來，具有生物控制的生態(tài)系統(tǒng)備受關注[8-9]。據(jù)悉，至今尚未有學者研究系統(tǒng)（2）滿足正初值條件（3）的動力學性質(zhì)。文中首先運用微分方程中比較原理研究系統(tǒng)的一致持久性，然后通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)得到系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件，最后應用文中定理對實例的動力學行為進行了判定。

1 持久性

定義1 如果存在一個緊區(qū)域D?Rn+1+，使得系統(tǒng)（2）滿足正初值條件（3）的每一解最終進入并保留在區(qū)域D，則稱系統(tǒng)（2）是一致持久的。

引理1 Rn+1+是系統(tǒng)（2）的正不變集。

證明 系統(tǒng)（2）等價于

可見，當xi（t0）＞0，u（t0）＞0（t0≥0）時，必有xi（t）＞0，u（t）＞0，i=1，2，…，n。證畢。

證明 根據(jù)引理1，設（x（t），u（t））T=（x1（t），x2（t），…，xn（t），u（t））T是系統(tǒng)（2）滿足正初值條件（3）的任意解，由系統(tǒng)（2）的第一式有

由比較定理知，存在T1＞0，Mi≥M*i，當t＞T1時，恒有xi（t）≤Mi，i=1，2，…，n。

當t＞T1時，由系統(tǒng)（2）的第二式有

同樣地，存在T2＞T1，R≥R*，當t＞T2時，恒有u（t）≤R。

當t＞T2時，由系統(tǒng)（2）的第一式有

由比較定理知，存在T3＞T2，m*i≥mi＞0，當t＞T3時，恒有xi（t）≥mi，i=1，2，…，n。

當t＞T3時，由系統(tǒng)（2）的第二式有

可知，存在T＞T3，r*≥r＞0，當t＞T時，恒有u（t）≥r。

綜上，當t＞T時，恒有

據(jù)此，獲得緊集

是系統(tǒng)（2）的正向不變集和最終有界區(qū)域。證畢。

2 全局吸引性

定義 2 設系統(tǒng)（2）的一個正解為（y（t），v（t））T，任意正解為（x（t），u（t））T，如果

則稱系統(tǒng)（2）是全局吸引的。

定理2 設系統(tǒng)（2）滿足正初值條件（2）和定理1條件，如果

證明 設系統(tǒng)（2）的一個正解為（y（t），v（t））T，任意正解為（x（t），u（t））T由定理1條件知，當t＞T時，恒有mi≤xi（t），yi（t）≤Mi，r≤u（t），v（t）≤R，i=1，2，…，n。構(gòu)造Lyapunov泛函

沿著系統(tǒng)（2）的解直接計算Vi（t）的右上導數(shù)，得到

取Lyapunov泛函

沿著系統(tǒng)（2）的解直接計算W（t）的右上導數(shù)，可得

再構(gòu)造Lyapunov泛函

沿著系統(tǒng)（2）的解估計V（t）的右上導數(shù)，獲得

據(jù)此，從T到t積分得

從而

由引理2知

即

故系統(tǒng)（2）正解（y（t），v（t））T是全局吸引的。證畢。

3 應用舉例

根據(jù)系統(tǒng)（2），考慮如下具有生物控制的非自治兩種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng):

其中

于是，有

經(jīng)計算，得到

則由定理1知，系統(tǒng)（4）是一致持久的。

由于

故由定理2知，系統(tǒng)（4）是全局吸引的。

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