鄧?yán)砥? 邢世奇, 張志讓

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

1 引言

1972年Tang[1]得到了一個(gè)關(guān)于群的帶循環(huán)融合子群的自由積的Frattini子群的定理,當(dāng)時(shí)考慮的是兩個(gè)子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的情形,后來Azarian[2]將其推廣到任意多個(gè)子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的情形,并提出了兩個(gè)公開的問題。

郭欽等[3]利用Frattini子群是群的所有極大子群的交構(gòu)成的特征子群回答了第一個(gè)公開問題。

Kappe和Kirtland[4]給出了nFrat(G)和cFrat(G)定義并研究了相關(guān)的性質(zhì)。王英和張志讓[5]給出了 fn-Frattini子群和fcFrattini子群的定義,并研究了它的基本性質(zhì)。文中首先從群的 fnFrattini子群等于它的 fn-非生成元組成的集合這一特征性質(zhì)出發(fā),考慮了任意多個(gè)子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的 fnFrattini子群,推廣了Azarian的相關(guān)定理;然后從 fnFrattini子群是群的所有具有有限指數(shù)的極大正規(guī)子群的交這一定義從另一角度證明了相應(yīng)的定理,進(jìn)一步推廣了郭欽等[3]關(guān)于這類問題的結(jié)果。同樣地,考慮了任意多個(gè)子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的 fcFrattini子群,也從兩個(gè)角度分別用兩種方法證明了相應(yīng)定理。

2 fnFrattini子群、fcFrattini子群和群的融合自由積的概念

2.1 fnFrattini子群

定義1[5]在群G中,設(shè)如果 N?L?G,那么N=L或L=G}。當(dāng)N≠?時(shí),定義;當(dāng)N=?時(shí),稱為群G 的fnFrattini子群。

定義2[5]在群G中,設(shè)元素x∈G,如果對(duì) G的任意滿足子集∞且 G=〈x,S〉G,都有 G=SG,稱 x為群G的fn-非生成元。

群G的fnFrattini子群等于它的fn-非生成元組成的集合[5]。

2.2 fcFrattini子群

定義3[5]在群G中,設(shè)如果 K char L char G,那么 K=L或L=G}。當(dāng)K≠?時(shí),定義;當(dāng)K=?時(shí),定義稱為群G的fcFrattini子群。

定義4[5]在群G中,設(shè)元素 x∈G,如果對(duì)G的任意滿足子集∞且 G=〈x,S〉A(chǔ)ut(G),都有 G=SAut(G),稱 x為群G的fc-非生成元。

群G的fcFrattini子群等于它的 fc-非生成元組成的集合[5]。

2.3 群的融合自由積

Neumann[6]給出的群的融合自由積[7]的概念。假設(shè)令 Γ為基數(shù)大于1的指數(shù)集合,G是群,并且S是它的生成元集合。假設(shè) S=∪γ∈ΓSγ為群G 的一些子集Sγ的并,對(duì)每一個(gè) γ∈ Γ,記 Gγ=〈Sγ〉,Rγ是Gγ的定義關(guān)系集合。如果R=∪γ∈ΓRγ是群G的定義關(guān)系集合,那么就稱G為子群簇的廣義自由積。因?yàn)闆]有事先假設(shè) Sα和Sβ是不相交的,那么可以設(shè) Gα∩Gβ=Hαβ=Hβα≠1。如果對(duì)于所有的 α≠β,都有 Hαβ=1,那么稱 G為子群簇的自由積。如果假設(shè)所有的交 Hαβ都是同一個(gè)子群H,即對(duì)于所有的 α≠β(α,β∈ Γ)都假設(shè)Gα∩Gβ=H,那么稱 G 為子群簇的帶融合子群H 的自由積,并將 G 表示為G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ),其中對(duì)于所有的γ∈Γ,Hγ都同構(gòu)于H。

3 主要結(jié)果

引理[8]設(shè)G是群且H≤G,K≤G,那么其中為H在子集KH中左陪集的個(gè)數(shù)。特別地,如果有限,那么有限,且;當(dāng)且僅當(dāng) G=HK時(shí),等號(hào)成立。

3.1 關(guān)于 fnFrattini子群的結(jié)果

Azarian給出了任意多個(gè)群的帶循環(huán)融合子群的自由積的Frattini子群的結(jié)果。下面從 fnFrattini子群是由群的 fn-非生成元組成的特征子群這一特征性質(zhì)出發(fā),將Azarian這一結(jié)果推廣到 fnFrattini子群的情形。

定理1 設(shè) G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ)是任意子群簇帶循環(huán)融合子群H的自由積。如果 N≤H且N?G,那么對(duì)任意γ∈Γ,都有

從fnFrattini子群是群G的所有具有有限指數(shù)的極大正規(guī)子群的交證明定理1。這推廣了郭欽等相關(guān)定理。

3.2 關(guān)于 fcFrattini子群的結(jié)果

定理2 設(shè) G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ)是任意子群簇帶循環(huán)融合子群H的自由積。如果 N≤H且NcharG,那么對(duì)任意 γ∈ Γ,都有

[1]Tang C Y.On the Frattini subgroups of generalized free products with cyclic amalgamations[J].Canad.Math.Bull.,1972,15：569-573.

[2]Azarian M K.On the lower near Frattini subgroups of amalgamated free product of groups I[J].Missouri J.Math.Sci.,1990,2：105-144.

[3]郭欽,張志讓,王英,等.群的融合自由積的幾種廣義Frattini子群[J].數(shù)學(xué)年刊,2008,29A(1)：67-70.

[4]Kappe L C,Kirtland J.Some Analogues of the Frattini Subgroup[J].Algebra Colloq.,1997,4(4)：419-426.

[5]Wang Ying,Zhang Z R.Some Generalized Frattini Subgroup[J].Journal of Mathematics,2009,29：609-612.

[6]Neumann B H.An essay on free products of groups with amalgamations[J].Philos.Trans.Roy.Soc.London Ser.,1954,246(A)：503-554.

[7]Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups 2nd ed[M].New York：Springer Verlag,1996.

[8]Derk K,Hawkes T.Finite Soluble Groups[M].Berlin：Walter de Gruyter,1992.