沈繼紅，付肖燕，趙玉新

(1.哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

層次分析法［1-2］(analytic hierarchy process，AHP)是由美國(guó)著名的運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty在20世紀(jì)70年代初提出的綜合定性與定量分析、對(duì)多目標(biāo)多準(zhǔn)則的系統(tǒng)進(jìn)行分析評(píng)價(jià)的一種方法.近些年，利用層次分析法中的判斷矩陣求取指標(biāo)權(quán)重的應(yīng)用十分廣泛.層次分析法中采用兩兩比較建立判斷矩陣，是其很有特色的方面.而現(xiàn)存的標(biāo)度方法較多，且各有優(yōu)缺點(diǎn).尤其是應(yīng)用較多的1～9標(biāo)度法存在嚴(yán)重不妥［3-6］，文獻(xiàn)［3］指出采用1～9標(biāo)度法可能導(dǎo)致評(píng)價(jià)結(jié)論和一致性檢驗(yàn)的錯(cuò)誤.1990年舒康等根據(jù)由德國(guó)生理學(xué)家韋伯提出的韋伯－費(fèi)西納定理提出了指數(shù)標(biāo)度法［7］.而且現(xiàn)有的若干新標(biāo)度實(shí)際上是指數(shù)標(biāo)度的特例［8］.指數(shù)標(biāo)度符合實(shí)際、具有傳遞性、計(jì)算簡(jiǎn)單，然而在實(shí)際應(yīng)用中卻未得到廣泛推廣，這是因?yàn)橹笖?shù)標(biāo)度還存在一些尚未解決的問(wèn)題，如:如何確定重要性比率參數(shù)，如何將數(shù)字等級(jí)與重要性程度對(duì)應(yīng)得更加合理等［8］.本文將探討指數(shù)標(biāo)度存在的問(wèn)題，并針對(duì)這些問(wèn)題提出一些建議.

判斷矩陣的一致性分析是層次分析法的基本內(nèi)容之一，若判斷矩陣不具有一致性或者一致性較差，則將由判斷矩陣導(dǎo)出的權(quán)重作為決策依據(jù)的可靠性得不到保證.判斷矩陣一致性研究得到了廣泛關(guān)注［9-12］，但針對(duì)指數(shù)標(biāo)度感覺(jué)判斷矩陣的一致性研究相對(duì)較少.本文根據(jù)感覺(jué)判斷矩陣與正互反判斷矩陣的關(guān)系，提出了一個(gè)構(gòu)造完全一致的感覺(jué)判斷矩陣及根據(jù)它計(jì)算指標(biāo)權(quán)重的算法，并通過(guò)一個(gè)算例演示了提出的算法.

1 指數(shù)標(biāo)度基礎(chǔ)

定義1 感覺(jué)判斷，即把決策者關(guān)于因素ci比cj重要性程度的主觀感覺(jué)判斷等差距地分為若干個(gè)等級(jí)，如“同樣重要”、“稍重要”、“明顯重要”、“很重要”、“極端重要”等，分別以

cij=0，1，2，… (i，j=1，2，3，…，n)

表示.這樣cij=l(l=0，1，2，…)，表示因素ci比cj高l等級(jí)，稱(chēng)cij為感覺(jué)判斷.而且cji=－cij，即當(dāng)因素ci比cj高i等級(jí)時(shí)，則因素cj比ci低l等級(jí).

由韋伯－費(fèi)希納定律，當(dāng)主觀感覺(jué)等差遞增時(shí)，客觀差別是等比遞增的.因而可設(shè)相鄰兩級(jí)客觀重要性比率為α(α＞1)，于是ci比cj客觀重要性比率為

式中:ωi、ωj分別為ci、cj的客觀重要性程度.

定義2 稱(chēng)αcij為ci對(duì)cj的客觀差別判斷.

定義3 由感覺(jué)判斷cij組成的矩陣稱(chēng)為感覺(jué)判斷矩陣，記為C=(cij)n×n.

定義4 由客觀差別判斷αcij組成的矩陣稱(chēng)為客觀差別判斷矩陣，記為A=(aij)n×n=(αcij)n×n.

引理1 由α和感覺(jué)判斷矩陣構(gòu)造的客觀差別判斷矩陣仍為正互反矩陣［7］.

證明 由cji=－cij，有

由此可得A相對(duì)于T.L.Saaty所建立的比較判斷矩陣，仍為正互反矩陣.

根據(jù)指數(shù)標(biāo)度法得到的客觀差別判斷矩陣仍為正互反矩陣，則基于指數(shù)標(biāo)度法的層次分析法計(jì)算權(quán)重下面的計(jì)算步驟與基于1～9標(biāo)度構(gòu)造的正互反判斷矩陣相同.

2 存在問(wèn)題的分析及建議

文獻(xiàn)［3］中指出指數(shù)標(biāo)度法符合2條合理定義判斷尺度的準(zhǔn)則:1)合理性準(zhǔn)則;2)傳遞性準(zhǔn)則，然而它在實(shí)際應(yīng)用中卻未得到廣泛推廣，這是因?yàn)橹笖?shù)標(biāo)度還存在一些尚未解決的問(wèn)題.

2.1 重要性程度等級(jí)的擴(kuò)展

在人的心理區(qū)分極限方面，心理學(xué)與實(shí)踐都證明人們普遍接受人的心理區(qū)分極限是9級(jí)，但在實(shí)際比較中只有9級(jí)的差距并不能完全客觀地對(duì)復(fù)雜世界進(jìn)行描述，而且人們按某準(zhǔn)則選擇了標(biāo)度后，應(yīng)用AHP在構(gòu)建判斷矩陣時(shí)，必須對(duì)所有的方案進(jìn)行兩兩比較，對(duì)比較結(jié)果大于、等于最高級(jí)別的情況，只能統(tǒng)一用與最高級(jí)別相對(duì)應(yīng)的標(biāo)度值表示.這是一種固化的標(biāo)度對(duì)應(yīng)方式.顯然這種對(duì)應(yīng)是不合理的.必須在人們普遍適應(yīng)的基礎(chǔ)上對(duì)標(biāo)度的適應(yīng)范圍進(jìn)行合理的擴(kuò)展，才能客觀地?cái)U(kuò)大其適用范圍，針對(duì)此問(wèn)題本文提出如下建議:

1)決策者將指標(biāo)排列好，不需要對(duì)所有指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較，只需對(duì)相鄰兩指標(biāo)進(jìn)行比較.當(dāng)然指標(biāo)按重要順序排列更好，一般來(lái)說(shuō)，相鄰兩指標(biāo)間的相對(duì)差距不會(huì)很大，這樣就大大地減少了人們對(duì)標(biāo)度間的描述難度，有條件對(duì)決策者的判斷做出更精確的刻畫(huà).在本文中指標(biāo)序排列不是必須的.而且相鄰兩指標(biāo)重要性的比較不受所給指標(biāo)體系最高級(jí)別的限制，即上面所提到的感覺(jué)判斷值cij的大小不受所給標(biāo)度的最高級(jí)別的限制.

2)根據(jù)所給出的相鄰兩兩指標(biāo)的感覺(jué)判斷向量，構(gòu)造出完全一致的感覺(jué)判斷矩陣.

2.2 重要性程度語(yǔ)言描述與數(shù)字等級(jí)的對(duì)應(yīng)

如上所述用固化的標(biāo)度進(jìn)行賦值無(wú)助于對(duì)問(wèn)題的確切描述.那么在重要性程度數(shù)字等級(jí)可以無(wú)限擴(kuò)展的情況下，將重要性程度的語(yǔ)言描述與數(shù)字等級(jí)相對(duì)應(yīng)也是一個(gè)難點(diǎn).

現(xiàn)在國(guó)內(nèi)對(duì)重要性程度判斷比較流行的語(yǔ)言描述有“相同”、“稍重要”、“重要”、“明顯重要”、“很重要”、“非常重要”、“極端重要”等.根據(jù)文獻(xiàn)［8］的描述，它選取重要性程度數(shù)字等級(jí)與語(yǔ)言描述對(duì)應(yīng)如表1.

表1 重要性程度語(yǔ)言描述與數(shù)字等級(jí)的對(duì)應(yīng)Table 1 Correspondence of language description and digital level for the degree of importance

但是如前所述，數(shù)字等級(jí)標(biāo)度的最高級(jí)別已不受限制，那么極端重要的賦值可能就不是8，這里根據(jù)表1仍規(guī)定“同等重要”賦值為0，“稍微重要”賦值為1.那么對(duì)于大于1的，專(zhuān)家可以根據(jù)個(gè)人知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)以及“同等重要”與“稍微重要”一級(jí)之差的重要性比值α來(lái)確定2個(gè)屬性之間的重要性相差幾個(gè)等級(jí)，那么他們的重要性之差就賦值為幾.

2.3 重要性比率參數(shù)α的確定

使用指數(shù)標(biāo)度法建立各個(gè)判斷矩陣，其結(jié)果隨著α取值的不同而不同.那么α如何選值才能使效果最佳?在文獻(xiàn)［8］中，提及了2種確定參數(shù)α的方式.

方式1:經(jīng)問(wèn)卷調(diào)查，可取

方式2:(人為規(guī)定)假設(shè)因素ci比cj相比極端重要，其重要性程度之比為m，則由αk=m可得參數(shù)

然而，本文中對(duì)k的大小沒(méi)有限制，顯然第2種確定方式不適合本文.而且方式1的調(diào)查也是在k固定的情況下進(jìn)行的，所以這2種方式對(duì)于本文都不可取.

從文獻(xiàn)［13］中的描述看出，當(dāng)α取值為1.01～1.5時(shí)，都是符合實(shí)際的.而且當(dāng)α=1、2時(shí)2個(gè)方案的重要性區(qū)分度最大.根據(jù)文獻(xiàn)［13］中的圖形分析，可指定α取值在1.1～1.4.α值的具體大小再根據(jù)實(shí)際情況確定.

3 感覺(jué)判斷矩陣的一致性改進(jìn)

定義5 判斷思維完全一致，即當(dāng)感覺(jué)判斷滿(mǎn)足:

時(shí)，稱(chēng)判斷思維是完全一致的.

引理2 判斷思維完全一致與T.L.Saaty的正互反判斷矩陣完全一致性定義等價(jià)［7］.

證明 正互反判斷矩陣完全一致性:如果正互反判斷矩陣A滿(mǎn)足aijajk=aik，則A是完全一致的.那么根據(jù)aij=αcij，則

當(dāng)客觀差別判斷矩陣完全一致時(shí)，可取其任一列，對(duì)其進(jìn)行歸一化后的列向量即為屬性權(quán)重向量.

如引理1所述，由感覺(jué)判斷矩陣得到的客觀差別判斷矩陣是正互反判斷矩陣，且有客觀差別判斷矩陣的完全一致性和判斷思維完全一致是等價(jià)的.當(dāng)感覺(jué)判斷矩陣維數(shù)較大時(shí)，即判斷中涉及到的屬性較多時(shí)，由于人思維的差異性，感覺(jué)判斷矩陣很難滿(mǎn)足完全一致性，所以需要對(duì)初始的感覺(jué)判斷矩陣進(jìn)行一致性改進(jìn).

定理1 當(dāng)感覺(jué)判斷矩陣完全一致時(shí)，有

即當(dāng)感覺(jué)判斷矩陣完全一致時(shí)，感覺(jué)判斷矩陣的各個(gè)元素可由前后兩因素進(jìn)行重要性比較得到的n－1個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)造得到.

證明 如果正互反判斷矩陣滿(mǎn)足完全一致性，則有

再由引理2及感覺(jué)判斷矩陣自身的性質(zhì)，可以得出

這就是2.1節(jié)中提及的構(gòu)造完全一致的感覺(jué)判斷矩陣的方法.

根據(jù)定理1，可以由初始感覺(jué)判斷矩陣的斜對(duì)角線(xiàn)上元素構(gòu)造完全一致的感覺(jué)判斷矩陣，但是可能由于初始斜對(duì)角元素的微小偏差使得構(gòu)造的完全一致的感覺(jué)判斷矩陣偏離主觀判斷太大，因此需要對(duì)構(gòu)造的完全一致的感覺(jué)判斷矩陣進(jìn)行審核調(diào)整，即與初始感覺(jué)判斷矩陣進(jìn)行比較，使它不至于偏離初始主觀判斷太遠(yuǎn)，而且是偏離越小越好，即轉(zhuǎn)化為下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題:

其中，目標(biāo)函數(shù)表示使由X構(gòu)造的完全一致矩陣與變換后的初始感覺(jué)判斷矩陣差距盡量小，約束條件指由X構(gòu)造的完全一致矩陣的各個(gè)元素值與初始感覺(jué)判斷矩陣各元素差不要超過(guò)0.5.而且X的初始值X0=(ci(i+1))1×(n－1)(i=1，2，…，n－1).

綜上，得出感覺(jué)判斷矩陣一致性改進(jìn)及基于指數(shù)標(biāo)度法計(jì)算權(quán)重的算法:

1)由專(zhuān)家給出初始感覺(jué)判斷矩陣C.

2)將前后兩因素重要性比較值ci(i+1)(i=1，2，…，n－1)賦值給X0=(x0m)1×(n－1).

3)根據(jù)指數(shù)標(biāo)度問(wèn)題1的建議，以防人們受心理等級(jí)最高為9的限制，首先對(duì)初始感覺(jué)判斷矩陣做一轉(zhuǎn)換:若，置，得到C'.

4)將C'代入數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題(2).

5)令上述數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的初始可行解為X0，解上述規(guī)劃問(wèn)題求出最優(yōu)的X*.

6)依定理1得到完全一致感覺(jué)判斷矩陣C*.

7)確定重要性比率α，將完全一致感覺(jué)判斷矩陣C*根據(jù)式(1)轉(zhuǎn)化為客觀差別判斷矩陣.

8)取客觀差別判斷矩陣任一列，對(duì)其進(jìn)行歸一化后的向量即為屬性權(quán)重向量.

4 算法演示舉例

假設(shè)某一評(píng)判系統(tǒng)，指標(biāo)有4個(gè)，分別為c1、c2、c3、c4，要求計(jì)算出這4個(gè)指標(biāo)的權(quán)重.那么采用本文提出的基于指數(shù)標(biāo)度的AHP權(quán)重計(jì)算算法.

1)專(zhuān)家給出的4個(gè)指標(biāo)重要性比較的初始感覺(jué)判斷矩陣:

2)令

4)將C'代入式(2)為

5)令X0=(2，2，－2)，利用Matlab中現(xiàn)有的解二次規(guī)劃的命令 quadprog解此規(guī)劃問(wèn)題，得出X*=(2，1.5，－2).

6)根據(jù)定理1構(gòu)造完全一致的感覺(jué)判斷矩陣:

7)選擇重要性比率參數(shù)α=1.3，并根據(jù)式(1)建立完全一致的客觀判斷矩陣A:

8)歸一化A的最后一列即是所求的指標(biāo)權(quán)重ω:

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)重要性等級(jí)進(jìn)行的合理擴(kuò)展以及重要性比率選取范圍的確定有利于指數(shù)標(biāo)度法在實(shí)際應(yīng)用中的推廣;提出的構(gòu)造完全一致的感覺(jué)判斷矩陣及根據(jù)它計(jì)算指標(biāo)權(quán)重的算法，容易理解而且計(jì)算簡(jiǎn)單，是個(gè)實(shí)用的算法;其他一致性改進(jìn)算法最終得到的結(jié)果只是近似一致，而此算法得到的是完全一致的判斷矩陣;最后算例演示說(shuō)明了提出的算法具有可行性.然而針對(duì)指數(shù)標(biāo)度的研究還需要進(jìn)展下去，尤其在重要性等級(jí)擴(kuò)展方面.

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