朱福，劉德利

(吉林建筑工程學(xué)院，吉林長春 130021)

盾構(gòu)施工襯砌環(huán)片中心水平偏差解算

朱福?，劉德利

(吉林建筑工程學(xué)院，吉林長春 130021)

盾構(gòu)法施工中襯砌環(huán)片測量的難點是確定緩和曲線段上環(huán)片實測點所在斷面的中心坐標(biāo)，確定中心坐標(biāo)后就可以計算出該點樁號及偏距以指導(dǎo)盾構(gòu)姿態(tài)的校正；借助于復(fù)化辛普生公式和割線法，給出了該問題解算的數(shù)學(xué)模型，并詳細(xì)討論了積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的取值問題。

盾構(gòu)施工；水平偏差；襯砌環(huán)片；盾構(gòu)姿態(tài)

1 引 言

在隧道曲線段利用盾構(gòu)機進(jìn)行掘進(jìn)施工工程中，由于盾構(gòu)機本身為直線形剛體，不能與曲線完全擬合。曲線半徑越小、盾構(gòu)機身越長，則擬合難度越大。在急曲線段盾構(gòu)機掘進(jìn)形成的線形為一段段連續(xù)的折線，為了使折線與急曲線接近吻合，掘進(jìn)施工時需連續(xù)糾偏。特別在緩和曲線段，每環(huán)甚至每米施工參數(shù)都有所不同，盾構(gòu)機姿態(tài)控制難度更大。曲線隧道每掘進(jìn)一環(huán)，管片端面與該處軸線的法線方向在平面上將產(chǎn)生一定的角度，在千斤頂?shù)耐屏ο庐a(chǎn)生一個側(cè)向分力。管片出盾尾后，受到側(cè)向分力的影響，隧道易向圓弧外側(cè)偏移從而可能導(dǎo)致管片超限。為確保盾構(gòu)機以正確姿態(tài)掘進(jìn)，需要及時對襯砌環(huán)片(管片)測量。對于曲線隧道尤其是緩和曲線段來說，難點是襯砌環(huán)片中心水平偏差測量。本文重點論述了線路中線上任意點在局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)計算的通用公式，然后借助于復(fù)化辛普生公式及割線法給出了通過襯砌環(huán)片上的實測坐標(biāo)計算出該點所在斷面的設(shè)計樁號、偏距的數(shù)學(xué)模型，并對積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n取值問題進(jìn)行了詳細(xì)討論說明。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 線路中線上任意點局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)的推導(dǎo)

圖1 獨立坐標(biāo)和局部坐標(biāo)

如圖1，任取一段回旋線，設(shè)回旋線起點A的半徑RA，對應(yīng)的弧長lA，其里程為KA，回旋線終點B的半徑RB，對應(yīng)的弧長lB，其里程為KB，Axy是以A為坐標(biāo)原點以A點切線為x軸的獨立坐標(biāo)系，AXY為局部坐標(biāo)系。在弧AB上取一點P[xP(l)，yP(l)]，該點到原點A的弧長為l，b為P點的偏角，RP為P點的半徑，對應(yīng)的弧長lP，其里程為KP，由回旋線方程Rl＝C知:

在該曲線上取一微分弧dl，當(dāng)dl→0時，該微分弧可看作圓弧，曲率半徑看作不變，則對應(yīng)的偏角為:

兩邊同時積分可得:

將式(3)代入式(4)得:

點P處的切線方位角αP＝αA±β[左偏減β，右偏加β，aA為起點A的方位角(單位為弧度)]，將式(5)代入得:

如圖1有:

對該式兩邊同時積分得:

設(shè)回旋曲線起點A在局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(xA，yA)，將式(6)代替式(7)中b，得中線上任意點局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)計算的積分式:

2.2 樁號和偏距的求解

(1)左偏曲線

如圖2，設(shè)襯砌環(huán)片上實測點C(xC，yC)，D(xD，yD)所對應(yīng)中線上的中樁點為P[xP(l)，yP(l)]。

圖2 局部坐標(biāo)系下左偏曲線

象限角表達(dá)式:

則PC，PD方位角為:

①當(dāng)xC－xP＞0且yC－yP＞0時:αPC＝RPC

②當(dāng)xC－xP＜0且yC－yP＞0時:αPC＝π＋RPC

③當(dāng)xC－xP＜0且yC－yP＜0時:αPC＝π＋RPC

④當(dāng)xC－xP＞0且yC－yP＜0時:αPC＝2π＋RPC

同理:可確定出PD方位角αPD

①如圖2，實測點在曲線左側(cè)時，點D(xD，yD)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點里程KP的表達(dá)式:

②如圖2，實測點在曲線右側(cè)時，點C(xC，yC)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點里程KP的表達(dá)式:

(2)右偏曲線

如圖3，設(shè)襯砌環(huán)片上實測點C(xC，yC)，D(xD，yD)所對應(yīng)中線上的中樁點為P[xP(l)，yP(l)]，PC，PD方位角解法同上。

圖3 局部坐標(biāo)系下右偏曲線

①如圖3，實測點在曲線左側(cè)時，點D(xD，yD)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點里程KP的表達(dá)式:

②如圖3，實測點在曲線右側(cè)時，點C(xC，yC)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點里程KP的表達(dá)式:

3 數(shù)值求解

3.1 局部坐標(biāo)系下線路中線上任意點坐標(biāo)的復(fù)化辛普生積分公式表示

其中:αA為回旋曲線起點A的切線方位角；為回旋曲線上點的切線方位角；αk＋1為回旋曲線上lk＋1點的切線方位角；αP為回旋曲線上P點的切線方位角。

3.2 實際計算中n的取值問題

要保證式(9)計算精度必須使相應(yīng)截斷誤差小于一定值(取值為ε)，其實質(zhì)是利用復(fù)化辛普生公式計算時，等分區(qū)間個數(shù)的要求，即n取最小值的問題。根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]中給出的公式:

分析可知n的取值不但與要求計算的精度有關(guān)而且與緩和曲線兩參數(shù)R和lS有關(guān)。ε值越小，則要求n值越大；R越大，則要求n值越??；lS越大，則要求n值越大。根據(jù)上述分析，設(shè)ε＝0.001 m對R，lS取不同值計算n值結(jié)果如表1所示。

表1

令N＝2n并取整數(shù)，表示積分區(qū)間N等分，再由復(fù)化辛普生公式知，N應(yīng)為偶數(shù)。由表1知對于R＞lS時，n＝3即能滿足±1 mm的計算精度要求；對于R≤lS時，則要求n＝6。因此應(yīng)用式(9)進(jìn)行編程計算時，n至少取6。

3.3 割線法求解方程F(l)＝0的根[2]

圖4 割線法

如圖4，若已知F(l)＝0的根l?的兩個近似值lk－1，lk，過點[lk－1，F(xiàn)(lk－1)]和點[lk，F(xiàn)(lk)]作一條直線，這直線與l軸的交點的橫坐標(biāo)記為lk＋1，則有割線法求方程單根的表達(dá)式:

割線法的計算公式，在求lk＋1時用到前面兩步的結(jié)果lk，lk－1，故屬于有記憶的單點迭代，因此應(yīng)用割線法進(jìn)行方程求根，必須給出兩個迭代初值l0，l1過點，本文中l(wèi)0＝0，l1＝lS，則在區(qū)間[0，lS]中包含F(xiàn)(l)＝0的根l，設(shè)事先給定的允許誤差為ε，經(jīng)過k次迭代后，若lk＋1－lk≤ε。則lk＋1就是F(l)＝0的根，且誤差小于ε。

4 結(jié) 語

(1)式(9)也適用于直線段和圓曲線段。當(dāng)曲線半徑較小時，為確保計算精度，再利用計算機編程解算時n值可適當(dāng)大些。

(2)文中介紹了用復(fù)化辛普生積分公式及割線法在實際工程計算中的應(yīng)用。

(3)襯砌環(huán)片不少于3環(huán)～5環(huán)測量一次(每環(huán)為1.5 m)，測量時每環(huán)都測，這樣一次需計算的數(shù)據(jù)量較大，文中所提供的數(shù)學(xué)模型，可編寫出一次性計算大量水平偏距和中樁樁號的程序，從而有效提高內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理的速度。

[1] 李清岳.工程測量學(xué)[M].北京:測繪出版社，1993

[2] 徐濤.數(shù)值計算方法[M].長春:吉林科學(xué)技術(shù)出版社，2002(7)

[3] 李全信.復(fù)合Simpson公式在線路中邊樁坐標(biāo)計算中的應(yīng)用.測繪工程，2001(9)

Computing Method for Horizontal Offset of Surrounding Seal in the Process Shield Tunneling Technology

Zhu Fu，Liu DeLi
(Jilin Architectural and Civil Engineering Institute，Changchun 130021，China)

The key problem in the process of the shield tunneling construction is to determine the central coordinates of the actual surveying point of surrounding seal of the transition curve in the cross section.Once the coordinates are found out，this mileage and the horizontal offset of the point is computed，which can be used to help the adjust of shield tunneling gesture.According to the compound Simpson formula and the secant method，one mathematical model of high accuracy is recommend，and the determination of n which is the value for equal－dividing the integral interval in compound Simpson formula is discussed.

shield tunneling technology；horizontal offset；surrounding seal；shield tunneling gesture

1672－8262(2010)03－144－03

P258

A

2010—10—11

朱福(1981—)，男，碩士研究生，助教，主要從事工程測量教學(xué)與研究工作。