韓勇， 趙永平， 柴鑫， 劉小龍

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

0 引言

水垢問題一直是困擾鍋爐、冷卻塔等具有熱交換工作過程設(shè)備的主要問題，該問題源于這些設(shè)備對(duì)硬水的使用。直流脈沖水處理器是目前解決水垢問題效果較為理想的電磁場(chǎng)水處理設(shè)備，但截至目前，該類處理器阻垢、防垢的機(jī)理還沒有被人們所掌握，在實(shí)際應(yīng)用中如何根據(jù)實(shí)際情況對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，并使之達(dá)到最佳處理效果還缺乏必要的理論指導(dǎo)。目前，有學(xué)者猜測(cè)，直流脈沖水處理器之所以能起到阻垢、防垢的效果，主要是因?yàn)榧ご啪€圈產(chǎn)生的交變磁場(chǎng)在溶液中感生出交變電場(chǎng)，由交變電場(chǎng)對(duì)水中的成垢離子進(jìn)行作用，從而改變了水垢的結(jié)晶過程和晶體結(jié)構(gòu)，阻礙了水垢晶體在輸水管壁上的附著［1］。國內(nèi)外有很多學(xué)者根據(jù)上述對(duì)阻垢、防垢機(jī)理的猜測(cè)，對(duì)直流脈沖水處理器的效果做了定性的實(shí)驗(yàn)研究［2－7］。由于目前這種只通過實(shí)驗(yàn)觀察的方法缺乏必要的理論指導(dǎo)，因此對(duì)阻垢機(jī)理的研究很難深入。雖然直流脈沖水處理器已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，但普遍采用掃頻的方式工作，以期望在掃頻的過程中有某些頻率能符合待處理水體的要求，這同樣是缺乏理論指導(dǎo)的表現(xiàn)。因此要想對(duì)直流脈沖水處理器的阻垢機(jī)理深入研究，就要進(jìn)行定量研究。

由于溶液中感生出的交變電場(chǎng)是導(dǎo)致水垢離子結(jié)晶狀態(tài)發(fā)生變化的直接原因，因此如何精確控制感生電場(chǎng)的強(qiáng)弱是定量研究直流脈沖水處理器阻垢、防垢機(jī)理的前提和基礎(chǔ)。感生電場(chǎng)的強(qiáng)弱與直流脈沖水處理器激磁信號(hào)電壓幅值和線圈尺寸參數(shù)有關(guān)，這些參數(shù)通過直接影響線圈內(nèi)的激磁電流，進(jìn)而影響激磁電流感生出的變化磁場(chǎng)，并最終影響到變化磁場(chǎng)在溶液內(nèi)感生出的交變電場(chǎng)。

但截止到目前，尚未有關(guān)于直流脈沖水處理系統(tǒng)溶液中感生電流建模及激磁線圈尺寸參數(shù)與感生電場(chǎng)作用強(qiáng)度之間定量關(guān)系的文獻(xiàn)及研究成果發(fā)表，因此，本文研究的目的是精確控制溶液中的感生電場(chǎng)，并且為激磁線圈的優(yōu)化提供理論依據(jù)。本文的主要工作為:對(duì)直流脈沖水處理系統(tǒng)進(jìn)行理論建模，推導(dǎo)水溶液中感生電流的表達(dá)式，用感生電流的大小衡量溶液中感生電場(chǎng)的大小;同時(shí)，推導(dǎo)感生電場(chǎng)在水溶液中做功的平均功率表達(dá)式，用平均功率來衡量感生電場(chǎng)對(duì)水溶液作用的強(qiáng)弱，并在此基礎(chǔ)上建立直流脈沖水處理器激磁線圈尺寸參數(shù)與平均功率之間的關(guān)系的解析模型。

1 感生電流解析模型

1.1 直流脈沖水處理系統(tǒng)工作原理

直流脈沖水處理器主要由信號(hào)發(fā)生器及激磁線圈組成，設(shè)備工作時(shí)，由信號(hào)發(fā)生器對(duì)纏繞在輸水管線上的激磁線圈施加高頻的直流脈沖信號(hào)，由激磁線圈在水管內(nèi)感應(yīng)出的交變電場(chǎng)對(duì)水溶液進(jìn)行處理，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，信號(hào)發(fā)生單元為激磁線圈提供一定輸出功率的方波激勵(lì)信號(hào)，其信號(hào)波形如圖2所示。

圖1 直流脈沖水處理器結(jié)構(gòu)Fig．1 Structure sketch of the DC pulse water processor

圖2 方波激勵(lì)信號(hào)波形Fig．2 Oscillogram of the excitation square wave

在交變的感生電場(chǎng)作用下，溶液中帶正電與帶負(fù)電的礦物質(zhì)成垢離子分別沿著相反的方向移動(dòng)，進(jìn)而增加了正負(fù)離子的碰撞幾率，并在溶液中形成晶體成長所必須的晶核。當(dāng)硬水溶液的外部條件發(fā)生變化時(shí)(如溫度升高或壓力減小)，溶液對(duì)水垢分子的溶解度下降，沉淀大量產(chǎn)生，水垢分子開始以溶液中大量晶核為核心，繼而晶體在溶液中生長并逐漸形成附著能力較低的沉淀，被水流帶走。總之，經(jīng)過處理后溶液中的沉淀晶體在溶液中生長而不是在水管管壁上生長［1］，因此起到了阻垢、防垢的效果。

1.2 溶液中感生電流解析模型

由于溶液中感生電流的大小能直接反應(yīng)感生電場(chǎng)的強(qiáng)弱，因此本文對(duì)感生電流進(jìn)行建模。由于溶液中的感生電流為環(huán)形電流，可以把溶液看作一個(gè)單匝線圈［8］，本文把激磁線圈與輸水管內(nèi)的水溶液等效為兩個(gè)同軸線圈組成的系統(tǒng)。在本文研究的直流脈沖水處理系統(tǒng)中，水管材料為塑料。直流脈沖水處理系統(tǒng)的等效電路如圖3所示。圖3中，i1(t)為激磁線圈電流，R1為激磁線圈電阻，L1為激磁線圈電感，i2(t)為溶液內(nèi)感生電流，R2為溶液電阻，L2為溶液的電感，M為互感，us(t)為激勵(lì)方波電壓信號(hào)。

圖3 直流脈沖水處理系統(tǒng)等效電路Fig．3 Equivalent circuit diagram of the DC pulse water processor system

描述圖3所示的電路的微分方程組為

對(duì)式(1)求解通常較為困難，因此，若要實(shí)現(xiàn)用解析方法計(jì)算溶液中的感生電流i2(t)，需要作如下關(guān)鍵的近似:

為說明以上假設(shè)的正確性，這里，以長為0.1 m，半徑為0.02 m，50匝的線圈以及線圈內(nèi)部圓柱區(qū)域的25℃碳酸鈣過飽和溶液組成的系統(tǒng)為例，激磁線圈的電感值L1=0.353 4×10－4H，水體的等效電感值L2=0.228×10－8H，互感值 M=K(L1L2)1/2，K 為互感系數(shù)，由于溶液被激磁線圈包圍，因此可將等效線圈與激磁線圈看做同軸，且耦合較好，又由于在實(shí)際中可能存在漏磁等情況，因此本文取K值為0.9，兩線圈互感為0.153 5×10－6H，溶液的電阻值R2=438 Ω。由于 L2di2(t)/dt?R2i2，由式(1)中第二個(gè)方程可知，近似 1)成立;又由于 Mdi2(t)/dt?L1di1(t)/dt+R1i1(t)，且感生電流i2(t)的變化率較小，由式(1)中第一個(gè)方程可知，近似2)也成立。經(jīng)過近似后，式(1)變?yōu)?/p>

因此，由式(2)中第一個(gè)方程可以求得線圈內(nèi)電流i1(t)的表達(dá)式，進(jìn)而由式(2)中第二個(gè)方程計(jì)算出感生電流i2(t)。首先求線圈內(nèi)電流i1(t)的表達(dá)式，由于脈沖方波信號(hào)us(t)可以看成分段函數(shù)，則i1(t)也應(yīng)采用分段函數(shù)的方式表達(dá)。

以上述同一線圈為例，將圖2所示的方波信號(hào)施加至線圈兩端，激勵(lì)信號(hào)幅值為1 V，水管內(nèi)為25℃碳酸鈣過飽和溶液，則前6個(gè)信號(hào)周期內(nèi)i1(t)的波形如圖4所示。

圖4 前6個(gè)周期的激磁線圈電流波形Fig．4 Excitation current waveform in the first six cycles

當(dāng)加載的方波激勵(lì)信號(hào)的幅值與頻率發(fā)生變化時(shí)，或激磁線圈的參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，圖4所示的電流波形的規(guī)律同樣適用，即圖4所示的電流波形特征具有普遍性。

由圖4可知，i1(t)的電流波形從第三個(gè)周期開始就已經(jīng)趨于穩(wěn)定，因此，只需要推導(dǎo)出第三個(gè)信號(hào)周期i1(t)的解析式，并進(jìn)一步推導(dǎo)出溶液內(nèi)感生電流i2(t)的解析式，即可得到后續(xù)周期內(nèi)i1(t)以及i2(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律。

圖4中第三周期的i1(t)幅值是從點(diǎn)D上升到點(diǎn)E，再從點(diǎn)E下降到點(diǎn)F的過程，并且下降波形與上升波形關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱，時(shí)間上相差半個(gè)周期，因此只需要計(jì)算出點(diǎn)D上升到點(diǎn)E的i1(t)表達(dá)式，就可以得到i1(t)在完整的第二周期內(nèi)的表達(dá)式。

首先計(jì)算A點(diǎn)的電流值，通過式(2)中第一個(gè)方程的計(jì)算，并考慮初始條件i1(0)=0，可以得到由原點(diǎn)到A點(diǎn)的電流波形的表達(dá)式為

仍對(duì)式(2)中第一個(gè)方程進(jìn)行計(jì)算，并將A點(diǎn)電流看作A點(diǎn)到C點(diǎn)波形的零時(shí)刻電流，即該段電流的初始條件為 i1(0)=us(t)(1 － e－T/2τ)/R1，解得由A點(diǎn)到C點(diǎn)的波形表達(dá)式為

1.3 感生電場(chǎng)對(duì)溶液做功的平均功率與線圈尺寸參數(shù)的函數(shù)關(guān)系

直流脈沖水處理器對(duì)溶液處理的過程，從能量轉(zhuǎn)化的角度考慮，可以看作是感生電場(chǎng)的電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為離子動(dòng)能、碰撞能以及一部分熱能等能量的過程。因此，感生電場(chǎng)的電勢(shì)能越大，則轉(zhuǎn)化成離子的動(dòng)能、碰撞能以及熱能就越多，感生電場(chǎng)對(duì)水溶液的作用也就越強(qiáng)烈。為了衡量直流脈沖水處理器在處理溶液過程中感生電場(chǎng)電勢(shì)能的大小，進(jìn)而衡量感生電場(chǎng)對(duì)溶液作用的強(qiáng)弱，本文選擇感生電場(chǎng)在溶液中做功的平均功率P作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，平均功率P的表達(dá)式為

式中:ρ為線圈繞線材料的電阻率;r0為線圈繞線的半徑。將式(15)和式(16)帶入式(14)就可以得到平均功率P與線圈匝數(shù)及線圈半徑的函數(shù)關(guān)系式。

2 感生電流模型仿真驗(yàn)證

由式(12)可知，平均功率P的解析表達(dá)式能否正確地描述感生電場(chǎng)對(duì)溶液作用的強(qiáng)弱，完全取決于感生電流i2(t)的解析模型是否正確，即只有感生電流i2(t)的解析模型是正確的，平均功率P的解析表達(dá)式才具有實(shí)際意義。因此，本文選擇用有限元方法驗(yàn)證感生電流解析式的正確性與準(zhǔn)確性。由于有限元分析方法對(duì)實(shí)際模型分析計(jì)算的精確度較高，已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用［10－12］，本文對(duì)一個(gè)確定的直流脈沖水處理器與碳酸鈣過飽和溶液組成的系統(tǒng)，分別用有限元方法和本文推導(dǎo)的式(10)與式(11)對(duì)感生電流進(jìn)行計(jì)算，將兩組計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證本文推導(dǎo)的感生電流解析模型的正確性與準(zhǔn)確性。本文的實(shí)際模型如圖5所示。

圖5 直流脈沖水處理系統(tǒng)的物理模型Fig．5 Physical model of the DC PWP system

圖5中，信號(hào)發(fā)生器內(nèi)阻很小，可忽略不計(jì)，激磁信號(hào)頻率為500 Hz，幅值為2 V，激磁線圈的繞線材料為銅線，電阻率取25℃時(shí)銅的電阻率值1.7×10－8Ω·m，銅線直徑為0.002 m，匝數(shù)為50匝，線圈為單層密繞，輸水管材料為 PVC，管壁厚度為0.002 m，輸水管內(nèi)半徑為0.018 m，管內(nèi)為25℃的碳酸鈣過飽和溶液，其過飽和度為1 550.1mol2/L2，電導(dǎo)率為0.78×103μs/cm。通過計(jì)算得到激磁線圈的電感 L1=0.353 4 ×10－4H，電阻 R1=0.136 Ω;溶液的等效電感L2=0.228×10－8H，電阻R2=438 Ω;互感 M=K(L1L2)1/2=0.153 55 ×10－6H，K=0.9。將上面得到的各個(gè)參數(shù)值代入式(10)，就可以計(jì)算出系統(tǒng)電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，激磁信號(hào)的半個(gè)周期中任意時(shí)刻對(duì)應(yīng)的感生電流值，再根據(jù)式(11)，就可以得到一個(gè)周期內(nèi)任意時(shí)刻對(duì)應(yīng)的感生電流值。

采用有限元方法計(jì)算溶液中的感生電流時(shí)，由于水管、激磁線圈和碳酸鈣過飽和溶液都是圓柱形且對(duì)稱軸重合，并且所加的激勵(lì)信號(hào)為脈沖方波信號(hào)，因此選用精確度較高的二維瞬態(tài)有限元電磁分析方法，對(duì)每一個(gè)激磁信號(hào)周期進(jìn)行分段計(jì)算，半個(gè)周期為一個(gè)時(shí)間段，計(jì)算平均分布在每個(gè)時(shí)間段上的10個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溶液感生電流。由于所加載的激磁信號(hào)頻率為500 Hz，則一個(gè)時(shí)間段為0.001 s，為保證感生電流計(jì)算結(jié)果是在電路穩(wěn)態(tài)時(shí)得到的，需要計(jì)算前12個(gè)激磁信號(hào)周期內(nèi)的溶液感生電流，取第12個(gè)周期的感生電流計(jì)算結(jié)果與根據(jù)式(10)和式(11)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以此驗(yàn)證溶液感生電流解析模型的正確性和準(zhǔn)確性。采用兩種方法計(jì)算的結(jié)果如表1所示，表1的數(shù)據(jù)擬合曲線如圖6所示。

表1 有限元法與解析法計(jì)算的感生電流值Table 1 Induced current numerical calculated with finite element method and analytical method

由表1的兩組數(shù)據(jù)對(duì)比及圖6的數(shù)據(jù)擬合曲線 可知，兩組數(shù)據(jù)的最大相對(duì)誤差為7.8%，平均相對(duì)誤差為3.58%，在實(shí)際應(yīng)用中均在可接受范圍之內(nèi)。因此，根據(jù)式(10)與式(11)計(jì)算的一個(gè)周期內(nèi)的感生電流值與采用有限元方法計(jì)算的感生電流結(jié)果較為吻合，從而證明了本文推導(dǎo)的溶液感生電流解析模型的正確性和準(zhǔn)確性。

圖6 有限元法與解析法計(jì)算的一個(gè)周期內(nèi)的感生電流值擬合曲線Fig．6 Fitting curve of induced current numerical calculated with finite element method and analytical method in one cycle

3 線圈尺寸參數(shù)與平均功率關(guān)系

由式(14)、式(15)和式(16)可知，平均功率P為線圈匝數(shù)n與線圈半徑r的函數(shù)。由式(15)可知，只有當(dāng)線圈長度大于或等于線圈直徑時(shí)，式(15)中的級(jí)數(shù)項(xiàng)才收斂，因此，在P的關(guān)于線圈尺寸參數(shù)的函數(shù)關(guān)系中，匝數(shù)n和半徑r的取值受到條件nd≥2r的約束。下面仍以圖5所示的系統(tǒng)模型為例，對(duì)平均功率P與線圈半徑r和線圈匝數(shù)n的關(guān)系分別進(jìn)行探討。

在探討之前，值得注意的是，線圈半徑的改變可能會(huì)影響溶液電阻R2的取值，因此首先計(jì)算圖5中的溶液區(qū)域在不同半徑下的電阻值，用二維有限元方法對(duì)溶液電阻進(jìn)行計(jì)算，由于有限元方法計(jì)算導(dǎo)體電阻是基于能量原理的，因此計(jì)算較為精確。本文取溶液區(qū)域半徑分別為 0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06、0.07、0.08、0.09、0.1 m，計(jì)算后相應(yīng)的電阻值均為 438 Ω，因此可知，半徑在［0.01 m，0.1 m］取值區(qū)間上時(shí)，溶液電阻R2的取值與溶液區(qū)域半徑無關(guān)。因此在以下的探討中，溶液電阻R2為常數(shù)。

1)平均功率P與線圈半徑r的關(guān)系

根據(jù)約束條件nd≥2r，若線圈匝數(shù)被確定，則線圈半徑的最大值將被確定?？疾炀€圈匝數(shù)n為50、30、20匝時(shí)，平均功率P與線圈半徑r的函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的線圈半徑r的取值范圍為［0.01 m，0.1 m］，［0.01 m，0.06 m］，［0.01 m，0.04 m］，在不同的匝數(shù)下，平均功率P與線圈半徑r的關(guān)系曲線如圖7所示。

圖7 平均功率P與線圈半徑r的關(guān)系曲線Fig．7 Curve of the relationship between average power P and coil radius r

2)平均功率P與線圈匝數(shù)n的關(guān)系

根據(jù)約束條件nd≥2r，若確定線圈半徑，則線圈匝數(shù)最小值將被確定?？疾炀€圈半徑為0.01、0.03、0.05 m時(shí)，平均功率P與線圈匝數(shù)n之間的關(guān)系，對(duì)應(yīng)的線圈匝數(shù)取值范圍分別為［10，150］，［30，150］和［50，150］。在不同半徑下，平均功率 P與匝數(shù)n的函數(shù)關(guān)系曲線如圖8所示。

從圖7和圖8中可以看出，平均功率P隨著匝數(shù)的增加和半徑的增大而減小，若要得到較大的平均功率，應(yīng)盡量減少激磁線圈匝數(shù)和線圈半徑。特別是在輸水管半徑確定的前提下，當(dāng)匝數(shù)取最小值時(shí)，即線圈長度等于線圈直徑時(shí)，平均功率達(dá)到最大值。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，當(dāng)直流脈沖水處理系統(tǒng)的信號(hào)發(fā)生器輸出參數(shù)確定后，應(yīng)根據(jù)實(shí)際處理的水質(zhì)參數(shù)來確定線圈的匝數(shù)和半徑，通過控制線圈的尺寸來控制直流脈沖水處理系統(tǒng)對(duì)水溶液作用的強(qiáng)弱，從而提高阻垢、防垢的處理效果。

圖8 平均功率P與線圈匝數(shù)n的關(guān)系曲線Fig．8 Curve of the relationship between average power P and coil turns n

4 結(jié)論

本文建立了直流脈沖水處理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在該數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，得到穩(wěn)態(tài)時(shí)的激磁線圈電流表達(dá)式和溶液中感生電流的解析表達(dá)式。

此外，用感生電流對(duì)水溶液做功的平均功率來衡量感生電場(chǎng)對(duì)水溶液作用的強(qiáng)弱，得到感生電流對(duì)水溶液做功的平均功率的解析表達(dá)式，并進(jìn)一步研究了激磁線圈尺寸與平均功率之間的關(guān)系曲線，通過探討可知:

1)當(dāng)線圈匝數(shù)為常數(shù)，僅改變線圈半徑，平均功率與線圈半徑的關(guān)系為，較小的線圈半徑能得到較大的平均功率，反之，較大的線圈半徑能得到較小的平均功率。

2)當(dāng)線圈半徑為常數(shù)，僅改變線圈匝數(shù)，平均功率與線圈匝數(shù)的關(guān)系為，較少的線圈匝數(shù)能得到較大的平均功率，反之，較大的線圈匝數(shù)能得到較小的平均功率。在線圈長度等于線圈直徑時(shí)，平均功率達(dá)到最大值。

本文提出的模型及評(píng)價(jià)方法為直流脈沖水處理器在實(shí)際工程應(yīng)用中阻垢、防垢效果的優(yōu)化提供了理論指導(dǎo)，并且為直流脈沖水處理器阻垢、防垢機(jī)理的定量研究提供了一定的前提和理論依據(jù)。

文中使用了帶約束條件的電感表達(dá)式，因此得出的部分結(jié)論存在一定的局限性，雖然目前也有不受線圈長度與半徑比限制的解析式，但一般含有連帶勒讓德函數(shù)，不適合帶入平均功率的解析式來研究線圈尺寸與平均功率的關(guān)系。文中進(jìn)行的所有計(jì)算都是在溶液電導(dǎo)率不變的前提下進(jìn)行的，但在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)，溶液的電導(dǎo)率會(huì)隨著處理過程緩慢的變化。因此，在后續(xù)工作中將從以上兩個(gè)方面進(jìn)一步完善平均功率與激磁線圈尺寸參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

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