胡文靜， 劉志珍， 厲志輝

(山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061)

0 引言

用Duffing振子的臨界相變檢測微弱信號(hào)是當(dāng)前微弱信號(hào)檢測領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，該方法即有重要的理論意義，也有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。例如目前很多研究嘗試將其用在金屬檢測、振動(dòng)測量、勘探地震學(xué)等領(lǐng)域，近年來很多理論研究都表明Duffing振子檢測噪聲背景下微弱正弦信號(hào)從精確度和信號(hào)識(shí)別能力上要好于一些傳統(tǒng)的檢測方法。相關(guān)研究文獻(xiàn)也越來越多［1－4］，但這些文獻(xiàn)大多局限于 Matlab仿真，尚未深入研究Duffing振子的電路實(shí)現(xiàn)問題，即使個(gè)別的EWB仿真電路也僅適用于很低頻率(ω=1 rad/s左右)的情況，而且也未見其對(duì)噪聲背景下電路檢測微弱信號(hào)的能力有深入研究，從而限制了其真正的應(yīng)用［5－6］。本文在分析當(dāng)前存在問題的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的電子線路，適當(dāng)調(diào)整該電路參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)從低頻到高頻的微弱正弦信號(hào)檢測。通過進(jìn)行Multisim仿真，對(duì)該電路在較高頻率ω=106rad/s(159155 Hz)下臨界閾值、檢測微弱信號(hào)的性能及抗噪聲能力進(jìn)行了進(jìn)一步的深入研究。電路中的器件均采用實(shí)際器件且對(duì)應(yīng)具體型號(hào)，為使Duffing振子檢測微弱信號(hào)走向?qū)嵱锰峁┮罁?jù)。

1 Duffing振子及其電路實(shí)現(xiàn)

1.1 Duffing混沌系統(tǒng)檢測微弱信號(hào)的原理

本文研究在混沌弱信號(hào)檢測中常用的Homes型的Duffing方程，其狀態(tài)方程為

式中:n(t)為白噪聲;ω為待測信號(hào)的頻率。該系統(tǒng)主要檢測依據(jù)是:噪聲背景中的微弱正弦信號(hào)會(huì)使該系統(tǒng)由混沌態(tài)向大尺度周期態(tài)躍變。根據(jù)異宿軌道Minikev方法判定，以上方程只是在頻率較低的情況下，其Poincare映射中穩(wěn)定不變流形與不穩(wěn)定不變流形才會(huì)相交，出現(xiàn)橫截同宿點(diǎn)，進(jìn)而可能出現(xiàn)混沌解。為了檢測較高頻率的信號(hào)，可從原方程出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間尺度變換得到一個(gè)新的動(dòng)力學(xué)方程［6］為

該系統(tǒng)在較高頻率時(shí)仍具有從混沌到大尺度周期態(tài)的臨界相變，在新的相空間(x－y)中，x，y的相速度提高了ω倍，因此可改變方程中的ω來適應(yīng)外界不同頻率的信號(hào)檢測。為了方便電路實(shí)現(xiàn)，將式(2)寫成積分形式為

式中C1和C2為積分常數(shù)，當(dāng)n(t)=0，如果x(0)=0，y(0)=0，則 C1和C2均為0。要用電路實(shí)現(xiàn)式(3)少不了積分環(huán)節(jié)，在電路實(shí)現(xiàn)時(shí)，如果對(duì)式(3)先乘以ω，后積分，由于 ω較大，例如本文中采用ω=106rad/s，電路的直流偏置電源只有－15 V和+15 V，電路就會(huì)瞬間飽和。因此這里巧妙地采用先積分后乘以ω的方式設(shè)計(jì)電路，從而避免了該問題，使電路實(shí)現(xiàn)高頻信號(hào)檢測成為可能，這也是本文的創(chuàng)新之處，在當(dāng)前研究混沌微弱信號(hào)檢測的文獻(xiàn)中沒有見到。目前已有的Duffing振子EWB仿真電路，多是根據(jù)式(1)設(shè)計(jì)的，電路只適用于頻率很低的情況，即使調(diào)整電路參數(shù)，可測信號(hào)的頻率范圍也很有限，且都是采用虛擬器件［5］，沒有采用具體型號(hào)的實(shí)際器件。

1.2 Duffing混沌電路的設(shè)計(jì)

式(3)可通過正弦電壓源、模擬運(yùn)算放大器、模擬乘法器、電阻、電容及熱噪聲模塊實(shí)現(xiàn)。

為了方便說明，能較清晰的看出式(3)各量之間的運(yùn)算關(guān)系，首先給出電路的運(yùn)算框圖，如圖1所示。圖1中R1C1是由運(yùn)算放大器組成的差動(dòng)反相積分器的時(shí)間常數(shù)，R8C2是反相積分器的時(shí)間常數(shù)，R1C1和R8C2均和下面圖3中的電路元件相對(duì)應(yīng)。

一般情況下由運(yùn)放組成的積分器如圖2所示［7］。其輸入和輸出電壓滿足

輸出電壓Uo正比于輸入電壓Ui的積分，其比例系數(shù)為－1/(RC)。所以運(yùn)算框圖1中的R1C1，R8C2均是考慮該比例系數(shù)引入的。

圖1 Duffing電路的運(yùn)算框圖Fig.1 Operational black digram of the Dufffing circuit

圖2 模擬積分器Fig.2 Analog intergrator

圖3是設(shè)計(jì)的Duffing振子電路，電路中的元器件均采用實(shí)際器件，運(yùn)算放大器采用3554 AM，并對(duì)其進(jìn)行了Multisim仿真。該電路的優(yōu)點(diǎn)是只要對(duì)R1C1，R8C2做合適的調(diào)整，該電路即可檢測低頻信號(hào)也可檢測較高頻率的信號(hào)。拓寬了Duffing電路的檢測范圍。例如本文中 ω取106rad/s(f=159155 Hz)，則反相放大器1的放大倍數(shù)為

考慮到運(yùn)算放大器的性能，單級(jí)運(yùn)算放大器的閉環(huán)放大倍數(shù)以小于100為宜，不妨取K1=100，則R1C1=K1/ω =100/1000000=10－4。

然后根據(jù)差動(dòng)積分器的設(shè)計(jì)方法［8－10］，選取合適的R1和C1，這里取

同樣，反相放大器2的放大倍數(shù)K2取10，則R8C2=K2/ω =10/1000000=10－5，然后選取合適的R8和 C2，這里取R8=1 kΩ;C2=10 nF。

如果ω取其它值，調(diào)整方法同上，這樣通過適當(dāng)調(diào)整R1C1，R8C2，就可以適應(yīng)不同頻率的檢測。另外圖3中其它電路元件分別取R1=R2=R3=R4=R6=R8=R10=1 kΩ，R7=100 kΩ;R11=10 kΩ;R12=20 kΩ;R13=R14=10 kΩ;R5=R9=10 kΩ，R5和R9是為了解決積分漂移而引入的直流負(fù)反饋電阻。直流偏置電源V2=V4=V6=V8=V10=－15 V;V3=V5=V7=V9=V11=15 V。

圖3中的運(yùn)算放大器在Multisim器件庫中選取3554 AM，其原因簡述如下:其開環(huán)增益A=100000，輸入失調(diào)和電流分別為Vos=0.0005 V和Ios=4×10－12A，較高的開環(huán)增益和微小的輸入失調(diào)量可有效減少計(jì)算誤差和積分漂移。為了使波形不失真，輸出電壓U0的上升斜率必小于運(yùn)放的最大擺率。其擺率為1.2×109V/s，可保證波形不失真。

另外，Multisim器件庫中只有虛擬乘法器，如圖3中的A1～A4所示。實(shí)際應(yīng)用中乘法器的選取主要考慮到頻率和擺率，可選取AD734BQ。

圖3 Duffing混沌電路圖Fig.3 Duffing chaotic circuit

2 電路仿真及性能分析

2.1 基于初值敏感性檢測的性能

用Multisim仿真軟件對(duì)圖3電路進(jìn)行了仿真，Multisim是集設(shè)計(jì)與仿真于一體的虛擬“電子工作臺(tái)”。其作用很接近實(shí)際的電子試驗(yàn)臺(tái)?？捎闷湓O(shè)計(jì)、測試、調(diào)試電路和進(jìn)行各種仿真分析。這里設(shè)定仿真系統(tǒng)絕對(duì)誤差限10－12;相對(duì)誤差限0.001，電源頻率選取f=159155 Hz，Multisim中電源電壓為有效值，為方便起見，r取有效值［11－12］。根據(jù)電路圖3并結(jié)合運(yùn)算框圖1不難知道:結(jié)點(diǎn)①的電壓u1為方程(2)中的x，結(jié)點(diǎn)②的電壓u2為方程中的y，將示波器的A通道連接到結(jié)點(diǎn)①，B通道連接到結(jié)點(diǎn)②，就可以觀察到x、y的時(shí)序圖或x－y在二維相平面上的軌跡圖。如果電路的輸入信號(hào)源V1為正弦量

r從0到1取不同數(shù)值時(shí)的時(shí)序圖和相軌道圖與Matlab仿真結(jié)果類似:歷經(jīng)同宿軌跡、混沌軌跡、臨界混沌狀態(tài)、大尺度周期狀態(tài)。特別地，當(dāng)電源的有效值r=0.52556171 V時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為臨界混沌態(tài)，如圖4(a)所示，如果信號(hào)的有效值增加0.00000001 V變?yōu)閞=0.52556172 V時(shí)，電路就由混沌態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)，如圖4(b)所示;可見Duffing電路仍具有對(duì)初始條件的極端敏感性，具備在高頻下檢測微弱正弦信號(hào)的前提條件。實(shí)驗(yàn)中還發(fā)現(xiàn)Duffing電路也有不同于Matlab仿真結(jié)果的獨(dú)特之處，其獨(dú)特之處及主要原因分析如下:

圖4 Dufffing電路的狀態(tài)Fig.4 States of the circuit

1)由混沌態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)臨界閾值和Matlab數(shù)值仿真略有不同，分析其原因主要有兩點(diǎn):

①所采用的數(shù)值解法不同。一般情況下，Matlab采用變步長ode45數(shù)值算法，即變步長4、5階Rung-Kutta-Felhberg方法［13－14］，它是 Matlab 中最常用的求解微分方程的命令;而Multisim中主要采用兩種改良的牛頓拉夫遜算法(Newton-Raphson Algorithm):Gmin Stepping算法和 Source Stepping算法［11－12］，由于混沌系統(tǒng)的初值敏感性，算法不同結(jié)果也不同。

②Duffing方程的Matlab仿真是嚴(yán)格的純數(shù)值仿真，而Duffing電路不是嚴(yán)格的Duffing方程。由于在Multisim仿真電路中采用了實(shí)際型號(hào)的真實(shí)器件，特別是運(yùn)算放大器并非理想，其輸入失調(diào)電壓Vos，輸入失調(diào)電流Ios，輸入偏置電流Ibs對(duì)電路從混沌態(tài)到大尺度周期態(tài)的閾值電壓都有影響，電路的臨界閾值 (幅值)為0.74325649 V，比Matlab求得的臨界閾值0.73111185 V略大［15］，分析其原因主要是因?yàn)檫\(yùn)算放大器的開環(huán)放大倍數(shù)不是∞，造成運(yùn)算放大器的閉環(huán)增益要比設(shè)計(jì)值略小，使得電源需要稍大一點(diǎn)的幅值才能使電路進(jìn)入大尺度周期態(tài)。

2)電路具有過渡過程:電路初始響應(yīng)階段有過渡過程，電壓u1的初始響應(yīng)如圖5所示。圖5中過渡過程很短，大約持續(xù)50 μs，類似于周期狀態(tài)，該過程在相圖中表現(xiàn)如圖4(a)所示。相圖外圍的“環(huán)”即是過渡過程。隨著r的增大“環(huán)”逐漸增大，當(dāng)電路處于混沌臨界態(tài)時(shí)，其最明顯且最大。這在當(dāng)前已有的研究資料中也沒有見到。

圖5 電壓u1的初始響應(yīng)Fig.5 The initial response of u1

2.2 Duffing電路檢測微弱信號(hào)性能的研究

首先調(diào)整Duffing電路使其處于混沌臨界狀態(tài)，確定臨界閾值，然后對(duì)不同精確度臨界閾值引入不同功率的熱噪聲并確定信噪比。這里采用Multisim器件庫中現(xiàn)成的熱噪聲模塊作為輸入噪聲，在一般檢測系統(tǒng)的工作頻率范圍內(nèi)可認(rèn)為電熱噪聲是高斯白噪聲，其均值為零。熱噪聲模塊V12中有3個(gè)參數(shù)可設(shè)定，即帶寬B、電阻值R和溫度T，求信噪比時(shí)要計(jì)算噪聲功率即方差σ2，σ2可由B、R和T求得，其計(jì)算方法如下［16－17］。

根據(jù)奈奎斯特給出的熱噪聲的功率譜密度函數(shù)為

算出熱噪聲模塊的等效輸出功率為

其中:k為波爾茲曼常數(shù)，k=1.38×10－23J/K;T為電阻的熱力學(xué)溫度，單位為K;R為電阻的阻值，單位為Ω;B為系統(tǒng)的等效噪聲帶寬，單位為Hz;

上式中的等效噪聲帶寬B可由系統(tǒng)的幅頻特性近似確定，在工程允許的范圍內(nèi)B可近似用3 dB帶寬來替代［17］。用Multisim對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行交流仿真可得系統(tǒng)的幅頻特性，如圖6所示，其縱坐標(biāo)單位為dB。由圖6可確定3 dB帶寬大約為200kHz，因此不妨設(shè)定熱噪聲模塊中的帶寬B為200kHz，另外熱噪聲模塊中的電阻溫度一般取默認(rèn)值為27℃，其熱力學(xué)溫度為

由式(4)可見，如果熱噪聲模塊中B和T一定，調(diào)整R的數(shù)值就可得到不同功率的熱噪聲，然后據(jù)式(4)求出噪聲功率后，確定信噪比，結(jié)果如表1所示。表1中臨界閾值從0.5255開始，小數(shù)點(diǎn)后每增加一位有效位數(shù)，確定一次信噪比。例如，當(dāng)r=0.5255 V時(shí)系統(tǒng)為混沌態(tài)，r=0.5256 V時(shí)系統(tǒng)處于大尺度周期態(tài)，設(shè)定r=0.5255 V為臨界閾值，當(dāng)被檢測信號(hào)的有效值最小為A=0.5256－0.5255=10－4V時(shí)，系統(tǒng)由混沌躍變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)。然后加入熱噪聲模塊(圖3中的thermal noise)，逐漸增加熱噪聲功率σ2，仿真實(shí)驗(yàn)表明只要噪聲的功率σ2不超過3.312×10－9，其對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和相變均無影響，這時(shí)最小信噪比［3］可確定為

以此類推，可求得不同檢測精確度時(shí)，Duffing電路的信噪比。

圖6 Duffing電路的幅頻特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristic

表1 不同檢測精確度時(shí)，Duffing電路的信噪比Table 1 When the detection accuracy is changed，the SNR of the Duffing circuit

為了避免噪聲的隨機(jī)性給系統(tǒng)狀態(tài)和相變帶來誤差，表中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均是多次(大于10次)仿真后的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的現(xiàn)象:隨著檢測精確度的增加，信噪比在不斷降低，如表1所示。這在以往的研究資料中沒有見到。該現(xiàn)象可解釋為:由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性，信號(hào)越微弱，電路對(duì)信號(hào)越敏感，其相應(yīng)的抗噪聲能力就越強(qiáng)。其更為深入的混沌學(xué)理論證明有待進(jìn)一步研究。

3 結(jié)語

本文討論了較高頻率下Duffing電路的實(shí)現(xiàn)問題，改進(jìn)了以往Duffing混沌電路只適合低頻率檢測的不足，該電路在運(yùn)算放大器性能足夠好的情況下，通過適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)從低頻到高頻的寬頻帶檢測。通過對(duì)該電路的Multisim仿真，研究了Duffing電路在較高頻率下的特性，仿真結(jié)果表明:在較高頻率下，系統(tǒng)仍具有對(duì)初始值的敏感性和從混沌到大尺度周期態(tài)的臨界相變，可用于較高頻率下的微弱信號(hào)檢測。通過加入熱噪聲模塊，對(duì)Duffing電路的抗噪聲能力進(jìn)行了進(jìn)一步的深入研究，研究和理論分析表明:Duffing電路可用于一定噪聲強(qiáng)度下的微弱正弦信號(hào)檢測。并發(fā)現(xiàn)隨著檢測精確度的增加，信噪比越來越低的新現(xiàn)象。

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