鄭秀清，何 坤，周激流

(1. 四川大學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院 成都 6100065; 2. 四川師范大學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院 成都 610066)

從圖像邊緣形成的光學(xué)機(jī)理來看，邊緣表現(xiàn)為灰度突變[1]。根據(jù)該特性而提出的邊緣檢測方法很多，總結(jié)起來歸為3類。1) 基于微分的邊緣檢測方法，如Prewitt方法、Laplace方法等[2-5]，該類方法運算簡單，對階躍邊緣能夠準(zhǔn)確定位，但對其他邊緣定位存在偏移[6]，易受噪聲影響。為克服噪聲對邊緣檢測的影響，常常先采用Gauss函數(shù)對圖像進(jìn)行平滑處理，但平滑處理在降低噪聲的同時，也模糊了邊緣，造成邊緣定位不準(zhǔn)確[7-10]。2) 基于像素灰度分布的邊緣檢測方法[11-13]。該類算法存在兩個不足：一是根據(jù)鄰域像素分析概率密度函數(shù)，由于鄰域像素個數(shù)是有限的，利用有限樣本點估計的概率密度誤差較大；二是圖像一般均受到噪聲的污染，并沒有考慮噪聲對密度估計的影響。3) 基于像素聚類的邊緣檢測方法。最早通過像素聚類的邊緣檢測是SUSAN算子，該算法運用中心像素與鄰域像素之間的關(guān)系計算USAN值作為邊緣點的度量[14]，對方波邊緣定位準(zhǔn)確；對灰度圖像運用設(shè)定閾值計算USAN值，不同的閾值計算的USAN值不同，得到不同的檢測結(jié)果。

本文根據(jù)圖像邊緣形成的光學(xué)機(jī)理，將邊緣分為階躍、斜坡、方波和三角形邊緣類型，為了克服噪聲對邊緣檢測的影響，常對圖像進(jìn)行平滑處理，平滑處理將階躍轉(zhuǎn)化為斜坡邊緣；方波轉(zhuǎn)化為三角形邊緣。本文通過分析斜坡邊緣和三角形邊緣與左右鄰域均值和邊緣像素之間的關(guān)系，設(shè)計了邊緣點的幅度響應(yīng)函數(shù)，提出了圖像局部方向均值的邊緣檢測方法。

1 邊緣分類及其特性

邊緣在圖像中表現(xiàn)為圖像灰度的急劇變化。引起圖像灰度不連續(xù)性的物理過程可能是幾何方面的，也可能是光學(xué)方面的。幾何方面的，如深度的不連續(xù)性，表面取向，顏色和紋理的不同；而光學(xué)方面的，如表面反射，非目標(biāo)物體產(chǎn)生的陰影以及內(nèi)部倒影等。如圖1給出了4類邊緣圖像。

斜坡邊緣兩側(cè)鄰域像素的均值不同，且圖像像素值位于兩側(cè)均值之間。設(shè)圖1b所示的斜坡邊緣的數(shù)學(xué)模型為：

圖1 邊緣類型

傳統(tǒng)邊緣檢測是在局部區(qū)域上針對“像素點”的運算，比較點x0鄰域(加權(quán))均值的差值ΔE(x0)，如果差值較大，x0點位于邊緣上。從式(2)可知：當(dāng)半徑R<1/2k時，使得ΔE(x0)取得最大(為kR)，檢測為邊緣點x0滿足：

此時，傳統(tǒng)算法檢測出的邊緣大于1個像素，當(dāng)半徑R≥1/2k時，才能對邊緣進(jìn)行準(zhǔn)確定位。對斜坡邊緣定位時，鄰域半徑R越大定位越準(zhǔn)確。對圖像而言，鄰域半徑R取值較大，只能檢測出大尺度的邊緣，而忽略小尺度邊緣。本文運用鄰域均值的差值結(jié)合中心像素f(x0)與左右兩側(cè)鄰域均值之間的關(guān)系，設(shè)計斜坡邊緣的幅度響應(yīng)為：

三角形邊緣兩側(cè)鄰域均值幾乎相同，邊緣上的像素值大于或小于兩側(cè)均值。設(shè)圖1d所示的三角形邊緣的數(shù)學(xué)模型為：

左右兩側(cè)鄰域均值差的絕對值為：

但是x0不是三角形邊緣的真正邊緣點。三角形邊緣的真正邊緣點滿足：

2 方向均值

本文根據(jù)斜坡邊緣和三角形邊緣的特性對圖像的像素點進(jìn)行分類，設(shè)有圖像f(x,y)，取以(i,j)像素點為中心、R為半徑的圓形鄰域，并沿θ方向?qū)A形鄰域內(nèi)的像素點分割成兩個半圓，分別標(biāo)記為D1區(qū)(圖2中的實心圓表示)和D2區(qū)(圖2中的空心圓表示)。

本文根據(jù)圖像像素鄰域之間的空間關(guān)系[15]，以高斯函數(shù)作為像素的權(quán)重系數(shù)p(x,y)，用統(tǒng)計理論分別計算D1區(qū)和D2區(qū)內(nèi)像素樣本加權(quán)均值[16]為：

根據(jù)最大方向的鄰域均值和中心像素之間的關(guān)系，判斷中心像素是否位于斜坡邊緣上。如果是，運用式(5)計算邊緣的幅度響應(yīng)并將最大方向α(i,j)作為邊緣方向；反之，根據(jù)最小方向的鄰域均值和中心像素之間的關(guān)系，判斷中心像素是否位于三角形邊緣上，如果是，運用式(12)計算邊緣的幅度響應(yīng)并將最小方向β(i,j)作為邊緣方向[17]。

圖2 像素鄰域

3 邊緣細(xì)化及連接

本文邊緣幅度響應(yīng)與圓形鄰域有關(guān)，檢測出的邊緣寬度與鄰域半徑有關(guān)。半徑較大，則選取鄰域較大，檢測出大尺度的邊緣，對噪聲和紋理的抑制能力較強(qiáng)；半徑較小，檢測出小尺度的邊緣，對噪聲和紋理的抑制能力較弱[18]。為了抑制噪聲對邊緣檢測的影響，對圖3所示的階躍邊緣進(jìn)行高斯平滑處理，得到斜坡邊緣，運用本文方法分析的邊緣幅度響應(yīng)如圖4所示，垂直于邊緣方向的鄰域像素(圖4中白色圈內(nèi)過粗直線的像素)的幅度響應(yīng)分布如圖5所示。從圖5可知，邊緣兩側(cè)的像素幅度響應(yīng)分布為拋物線形狀[19]。

圖3 原始圖像

圖4 邊緣幅度

圖5 局部幅度分布

4 實驗結(jié)果及邊緣評價

4.1 邊緣評價

為了抑制噪聲對邊緣檢測的影響，常常對圖像進(jìn)行預(yù)處理，本文利用方差為1σ的高斯函數(shù)對圖像進(jìn)行去噪處理；利用方差為2σ的高斯函數(shù)確定鄰域的半徑大??；利用邊緣先驗信息，結(jié)合漏檢概率p1和誤檢概率p2設(shè)計邊緣檢測置信度α：

式中，Number(?)表示運用(?)方法檢測到的邊緣像素點個數(shù)。

圖6 Canny算子

圖7 方波邊緣

圖8 SUSAN算子

對于圖3所示的階躍型邊緣，采用Canny算子檢測的邊緣作為標(biāo)準(zhǔn)邊緣，如圖6所示。對于圖7所示的方波邊緣，采用SUSAN算子檢測的邊緣作為標(biāo)準(zhǔn)邊緣，如圖8所示。運用評價函數(shù)分析的平滑窗口尺寸與圓形鄰域尺寸之間的關(guān)系，如表1所示。從表1可知，當(dāng)平滑窗口尺寸與圓形鄰域尺寸之比等于0.5時，其漏檢概率和誤檢概率最小。

表1 邊緣評價與平滑窗口尺寸和鄰域尺寸之比的關(guān)系

4.2 方向個數(shù)對邊緣檢測的影響

為了分析離散方向個數(shù)對邊緣檢測結(jié)果的影響，對圖9a所示的“Lena”圖像選用高斯函數(shù)的方差σ2=1進(jìn)行邊緣檢測，檢測結(jié)果如圖9所示。從圖9可以看出，當(dāng)方向個數(shù)較小時，檢測出的邊緣光滑性較差，且存在漏檢，隨著方向個數(shù)增大，檢測出的邊緣光滑性較好，但是系統(tǒng)運算時間增大，方向數(shù)為8、16時檢測出的邊緣光滑性從視覺上變化。本文選擇方向數(shù)為8。Canny算子[20]檢測的結(jié)果如圖9f所示。

圖9 方向個數(shù)對邊緣檢測的影響

4.3 與傳統(tǒng)算法的對比

對圖10a所示的“peppers”圖像，本文選用高斯函數(shù)，方差σ2=1，方向數(shù)為8進(jìn)行邊緣檢測，檢測結(jié)果如圖10b所示。Canny算子的檢測結(jié)果如圖10c所示。從圖10中可以看出，本文算法提取的邊緣明顯優(yōu)于Canny算子，視覺效果更加清晰，也更能反映原圖的信息。

圖10 不同算法的檢測效果

圖11 噪聲對算法的影響

對該圖像分別加入高斯白噪聲，本文算法和Canny算子的檢測結(jié)果如圖11所示。從圖11可以看出，本文方法抑制噪聲的能力明顯優(yōu)于Canny算子，對噪聲有良好的魯棒性。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)圖像邊緣形成的光學(xué)機(jī)理，將邊緣進(jìn)行分類。分析了斜坡邊緣和三角形邊緣左右鄰域均值和邊緣像素之間的關(guān)系，設(shè)計了斜坡邊緣和三角形邊緣的幅度響應(yīng)函數(shù)。以圖像像素點為中心，按不同方向?qū)⑧徲蛳袼胤指畛蓛蓚€半圓，計算出兩個半圓內(nèi)像素樣本均值的差值，以及均值差值最大和最小的方向，根據(jù)最大和最小值方向的鄰域均值和中心像素之間的關(guān)系，判斷該像素點的邊緣類型；分析像素點的邊緣幅度響應(yīng)和方向，利用邊緣幅度響應(yīng)的分布規(guī)律進(jìn)行細(xì)化，并結(jié)合邊緣的方向信息進(jìn)行邊緣連接；運用邊緣先驗信息，結(jié)合漏檢概率和誤檢概率設(shè)計邊緣檢測評價函數(shù)，運用評價函數(shù)討論平滑尺寸與鄰域半徑之間的關(guān)系。實驗結(jié)果表明，本文算法能在一定程度上抑制噪聲對邊緣檢測的影響。

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