二重積分中值點(diǎn)漸近性的討論

郭 輝，譚 艷

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

討論積分中值定理中值點(diǎn)的漸近性的文獻(xiàn)很多，文獻(xiàn)［1］最早討論第一中值定理，文獻(xiàn)［2］討論積分第二中值定理的中值點(diǎn)漸近性，文獻(xiàn)［3］總結(jié)了積分第一、二中值定理的中值點(diǎn)的漸近性，并得出了一些比文獻(xiàn)［1］更強(qiáng)的結(jié)果.文獻(xiàn)［4］討論了最簡單的二重積分中值定理中值點(diǎn)的漸近性.

這些文獻(xiàn)中，沒有人討論含兩個函數(shù)的二重積分中值定理中值點(diǎn)的漸近性.此處就這方面進(jìn)行了研究，定義二重積分中值定理的正則中值點(diǎn)（ζx，ηy）并討論它的漸近性.

1 積分中值點(diǎn)的漸近性

1.1 一元積分中值點(diǎn)的漸近性

積分第一中值定理中值點(diǎn)的漸近線在文獻(xiàn)［2］［3］［5］［6］［7］中已經(jīng)給予了討論，在這里先歸納一元函數(shù)第一積分中值定理中值點(diǎn)ζ漸近性的一些結(jié)論.

特別地，得到積分第一中值定理中值點(diǎn)ζ的漸近性的一個簡單推論.

2 二元積分第二中值定理中值點(diǎn)的漸近性

在文獻(xiàn)［2］［3］［8］中都對一元函數(shù)積分第二中值定理中值點(diǎn)的漸近性進(jìn)行了討論，而文獻(xiàn)［4］［9］在文獻(xiàn)［2］［3］［8］的基礎(chǔ)上對二重積分中值定理中值點(diǎn)的漸近性進(jìn)行了討論，并得到二重積分正則中值點(diǎn)（ζx，ηy）的定義如下:

定義 1［4］設(shè)函數(shù)f（x，y）在區(qū)域Dxy={（u，v）|a≤u≤x，b≤v≤y}上連續(xù)，函數(shù)g（x，y）在Dxy連續(xù)且不變號，則至少存在一點(diǎn)（ζx，ηy）∈Dxy，使得:

則稱（ζx，ηy）為正則中值點(diǎn).

由洛必達(dá)法可知:

又因?yàn)楹瘮?shù)f（u，v），g（u，v）在矩形區(qū)域Dxy={（u，v）|a≤u≤x，b≤v≤y}上都連續(xù)，所以式子（1）中的積分和極限可以交換次序，即:

另一方面，對于任一確定點(diǎn)y（y≠b），x→a時，同理可得:

3 結(jié)論

對二重積分中值定理中值點(diǎn)的漸近性進(jìn)行了討論.通過比較，二重積分中值定理中值點(diǎn)漸近性的一些結(jié)論完全可以由一元函數(shù)中值點(diǎn)漸近性推廣得到.此處二元函數(shù)中值點(diǎn)漸近性的一些簡單結(jié)論是否可以推廣到多元函數(shù)中值點(diǎn)漸近性的討論，有待進(jìn)一步研究，但其方法很具有參考意義.

［1］BERNARD JACOBSON.On the Mean Value Theorem for Integrals［J］.Amer Math Monthly，1982，89:300-301

［2］鄭權(quán).關(guān)于第二積分中值定理的中值點(diǎn)ξ的漸近性質(zhì)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2005（6）:113-115

［3］鄭權(quán).積分第一、二中值定理的中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)的一般性定理［J］.數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識，2005，35（5）:240-243

［4］蔡文康.二重積分中值定理中值點(diǎn)的漸近性［J］.上海電力學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（1）:90-92

［5］邵品琮.關(guān)于積分第一中值定理［J］.曲阜師范學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1979，2（5）:12-15

［6］劉一鳴.關(guān)于積分第一中值定理的證明［J］.曲阜師范學(xué)報(bào)，1980，2（6）:56-58

［7］王成偉，張曉燕.第一積分中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性［J］.北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（4）:23-24

［8］唐金菊.積分第二中值定理中的漸進(jìn)性［J］.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院報(bào)，2001，2（3）:38-40

［9］楊彩萍.二重積分中值定理中間點(diǎn)的進(jìn)一步討論［J］.中國民航學(xué)報(bào)，2000（1）:57-61