一種提高多目標(biāo)進(jìn)化算法搜索魯棒最優(yōu)解效率的方法

蔡自興，朱云飛，羅 彪，鄭金華

(1. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙，410083；2. 湘潭大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖南 湘潭，411105)

多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEAs, Multi-objective evolutionary algorithms)是一種模擬生物進(jìn)化、解決多目標(biāo)優(yōu)化問題(MOPs, Multi-objective optimization problems)的全局搜索算法。目前，出現(xiàn)了比較多的MOEAs，如：Deb等[1]提出的NSGA-II與Zitzler等[2]提出的SPEA-II。由于MOEAs通用性強且不依賴于函數(shù)模型，適用于處理復(fù)雜的 MOPs，因而被廣泛地應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、智能控制、模式識別、圖像處理、機(jī)器人路徑規(guī)劃等眾多方面。無論是在科研領(lǐng)域，還是在工程領(lǐng)域，關(guān)于MOEAs的研究引起了廣泛關(guān)注[3]。目前，絕大多數(shù)關(guān)于MOEAs的研究主要集中在如何保持 Pareto最優(yōu)解的分布性以及如何提高算法收斂性。這些MOEAs都是為了得到理論上的全局最優(yōu)解。然而，在實際應(yīng)用中，由于環(huán)境總存在不穩(wěn)定因素且容易受到噪聲的影響，如果得到的Pareto最優(yōu)解對這些干擾十分敏感，那么在實踐中就失去了意義。因此，在工程應(yīng)用中，只有魯棒性較好的解才具有實際意義。例如：(1) 在車間調(diào)度[4]中，一種調(diào)度方案應(yīng)該具備容忍一定偏差的能力，如出現(xiàn)機(jī)器故障時，調(diào)度方案仍能繼續(xù)使用；(2) 在電流設(shè)計[5]中，電流應(yīng)該能夠在一定范圍內(nèi)正常工作，如溫度變化時，電流能適應(yīng)環(huán)境的變化，而不產(chǎn)生很大的波動；(3) 在制造業(yè)[6]中，很難根據(jù)規(guī)格制造出十分精確的產(chǎn)品，因此，在設(shè)計時應(yīng)該允許一定的制造偏差。魯棒最優(yōu)解作為進(jìn)化計算研究的一個重要方面[7-8]，在實踐中具有很重要的現(xiàn)實意義，但是，到目前為止，關(guān)于進(jìn)化算法搜索魯棒最優(yōu)解的研究結(jié)果還很少。相關(guān)的工作集中在2個方面：

(1) 單目標(biāo)魯棒最優(yōu)解。Branke等[9]提出了適應(yīng)度估計(Fitness Estimation)方法；Tsutsui等[10]提出了一種數(shù)學(xué)模型，利用模式定理來獲得單目標(biāo)的魯棒最優(yōu)解；Jin等[11]將單目標(biāo)魯棒優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個兩目標(biāo)優(yōu)化問題來進(jìn)行求解；Lim等[12]提出了一種反向多目標(biāo)魯棒進(jìn)化優(yōu)化設(shè)計方法(IMORE, Inverse multiobjective robust evolutionary design optimization)等。

(2) 多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解。Deb等[13]將處理單目標(biāo)魯棒最優(yōu)解的方法延伸到多目標(biāo)領(lǐng)域，提出了2種類型的多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解；Goha等[14]通過對已有的魯棒測試函數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)這些測試函數(shù)很難真實的評價MOEAs搜索能力，因此，他們提出了新的構(gòu)造魯棒連續(xù)測試函數(shù)的方法。Barrico等[15-16]提出了2種基于魯棒度(Degree of Robustness)的魯棒性分析方法，并進(jìn)一步將魯棒分析的方法用于分布電網(wǎng)中的無功補償器規(guī)劃的電容器布置優(yōu)化問題；Luo等[17]提出了一種求解多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解的新方法。Avigad 等[18]為了提高多目標(biāo)最優(yōu)解的魯棒性，提出使用自適應(yīng)控制的方法減少退化現(xiàn)象。Soares等[19]結(jié)合區(qū)間分析，提出了一種混和的區(qū)間魯棒多目標(biāo)進(jìn)化算法(IRMOEA)。

隨著MOEAs在解決工程優(yōu)化問題上的應(yīng)用，解的魯棒性是一個必須考慮的問題，但MOEAs搜索魯棒最優(yōu)解存在效果不理想、效率低的缺陷。MOEAs搜索魯棒最優(yōu)解時，通常用有效目標(biāo)函數(shù)(Effective objective function)代替原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，個體有效目標(biāo)函數(shù)用蒙特卡羅積分(Monte Carlo integral)來近似。蒙特卡羅積分需在個體的鄰域內(nèi)進(jìn)行抽樣，用樣本目標(biāo)函數(shù)的平均值來近似估計有效目標(biāo)函數(shù)。目前，在計算有效目標(biāo)函數(shù)時，多采用隨機(jī)抽樣(RS,Random sampling)，但是，RS不僅精度不高，造成解集的效果不好，而且效率也較低。為此，本文作者在計算個體有效目標(biāo)函數(shù)時采用拉丁超立方體抽樣(LHS, Latin hypercube sampling)以提高精度，進(jìn)而提高魯棒最優(yōu)解的求解效果；同時提出一種自適應(yīng)的抽樣技術(shù)，減少不必要的抽樣及其目標(biāo)計算和時間消耗，從而達(dá)到提高算法效率的目的。

1 多目標(biāo)魯棒優(yōu)化問題及其魯棒最優(yōu)解

1.1 多目標(biāo)魯棒優(yōu)化問題

一般地，MROPs可描述如下：

式中：X=(x1, x2, …, xn)為決策向量；Ω為可行解空間；δ= (, … ,δn)為干擾向量；n為決策變量的維數(shù)。可見：MROPs是在決策向量中存在干擾的情況下，在可行解空間中尋找使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的解向量。正是因為MROPs中干擾向量的存在，使得求解MROPs的難度比傳統(tǒng)MOPs要大得多。傳統(tǒng)MOPs的目的是尋找全局最優(yōu)解，而 MROPs的目的則是尋找魯棒最優(yōu)解。

1.2 有效目標(biāo)函數(shù)

使用有效目標(biāo)函數(shù)代替原目標(biāo)函數(shù)來進(jìn)行優(yōu)化是搜索魯棒最優(yōu)解中一種很常用的方法。有效目標(biāo)函數(shù)可以定義如下：

式中：Bδ為X的1個δ-超鄰域 (見定義1)。事實上，feff(X)就是在X服從均勻分布條件下f(X)的數(shù)學(xué)期望。

定義 1(δ-超鄰域 Bδ) 個體X的δ-鄰域 Bδ為一超立方體，定義如下：

式中：δ(干擾向量)為鄰域半徑；Z=(z1, z2, …, zn)。

由于在實際計算中，使用式(2)計算比較困難，常采用蒙特卡羅法近似該積分。所謂蒙特卡羅法求積分，就是對被積函數(shù)在變量區(qū)間內(nèi)進(jìn)行抽樣，然后，用樣本函數(shù)值的平均值作為函數(shù)積分的近似估計值。這種方法基于概率論的中心極限定理。因而，式(2)可以通過下式來近似：

式中：H為在Bδ中抽樣的樣本規(guī)模；iBδ∈X為樣本(i=1, 2, …, H)；f(Xi)為樣本Xi對應(yīng)的函數(shù)值。

圖1 原函數(shù)f(x)及有效目標(biāo)函數(shù)f eff(X)曲線Fig.1 Curves of f(X) and f eff(X)

用進(jìn)化算法優(yōu)化 f(X)和優(yōu)化 feff(X)是有很大區(qū)別的，前者得到全局最優(yōu)解，后者得到魯棒最優(yōu)解，如圖1所示。從圖1可以看出：原目標(biāo)函數(shù)f(X)的全局最優(yōu)解為C點，同時存在2個局部最優(yōu)點A與B；對于feff(X)，C已經(jīng)不是全局最優(yōu)解，A為全局最優(yōu)解，B為局部最優(yōu)解。這說明解A魯棒性比B與C的好。同時也可以看出，魯棒性較好的解不一定是全局的最優(yōu)解，也可能是局部最優(yōu)解。

1.3 多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解

多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解(下文簡稱“魯棒最優(yōu)解”)，由Deb等[13]提出，其定義如下。

定義 2(多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解) 如果1個解 X*是下式所表示的多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解，那么，稱X*為多目標(biāo)魯棒最優(yōu)解。

式中：Xj為X的鄰域Bδ中第j樣本個體。

在以下討論中：(1) 無干擾向量δ時，用PF表示Pareto前沿(Pareto front)，用PFtrue表示真實Pareto前沿(True PF)；(2) 存在干擾向量δ時，用RPF表示魯棒 Pareto前沿(Robust PF)，用 RPFtrue表示真實魯棒Pareto 前沿(True RPF)。

2 使用 LHS提高 MOEAs搜索魯棒最優(yōu)解的效果

用MOEAs求解魯棒最優(yōu)解的性能主要應(yīng)體現(xiàn)在2個方面：一是求解魯棒最優(yōu)解的效果，即 MOEAs能否較好地搜索到魯棒最優(yōu)解；二是求解魯棒最優(yōu)解的效率。求解效果和求解效率往往是1對矛盾。

由上可知：MOEAs通過優(yōu)化有效目標(biāo)函數(shù)來搜索魯棒最優(yōu)解，那么，能否較精確地得到個體的有效目標(biāo)函數(shù)值，是MOEAs搜索魯棒最優(yōu)解的關(guān)鍵。然而，已有的方法使用 RS計算有效目標(biāo)函數(shù)，造成精度低、MOEAs搜索魯棒最優(yōu)解的效果差、效率低等缺陷。為此，將LHS應(yīng)用于個體的鄰域抽樣，以提高計算有效目標(biāo)函數(shù)的精度，進(jìn)而提高M(jìn)OEAs搜索魯棒最優(yōu)解的效果。

2.1 用LHS計算有效目標(biāo)函數(shù)

LHS是Mckay等[20]提出來的1種分層抽樣方法，LHS可以有效提高蒙特卡羅積分的精度。下面將其應(yīng)用于有效目標(biāo)函數(shù)的計算。

設(shè)一個體為：X=(x1, x2, …, xn) (i=1, 2, …, n; n為變量的維數(shù))；干擾向量為： δ = ( δ1, δ2, … ,δn)，則Bδ鄰域為一超立方體：

利用LHS在該超立方體內(nèi)產(chǎn)生H個樣本，再計算有效目標(biāo)函數(shù)，步驟如算法1所示。

算法1 LHS計算個體的有效目標(biāo)函數(shù)。

Step 1 確定樣本規(guī)模H；

Step 2 將每一維變量xi的定義域區(qū)間[ , ]l ui ix x 劃分成H個相等的小區(qū)間：

這樣，就將原來的1個超方體劃分成Hn個小超立方體。

Step 3 產(chǎn)生1個Hn×的拉丁矩陣A，A的每一列都是數(shù)列{1, 2, …, H}的1個隨機(jī)全排列。

Step 4 A的每一行對應(yīng)1個被選中的小超立方體，在每一個被選中的小超立方體內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生1個樣本，這樣就選出了H個樣本。

Step 5 對選出的H個樣本個體，在各維目標(biāo)上計算目標(biāo)值fi(Xj), (i=1, …, r; j=1, …, H)。

Step 6 根據(jù)式(5)計算出個體X在各維目標(biāo)上的有效目標(biāo)函數(shù)(X)(i=1, …, r)。

下面用1個例子來說明使用LHS在個體鄰域內(nèi)產(chǎn)生H個樣本個體的過程。對于變量的維數(shù)n=2的立方體；若樣本規(guī)模H=10；LHS的結(jié)果如圖2所示。對應(yīng)拉丁矩陣A為：

圖2 LHS抽樣示例Fig.2 Example of latin hypercube sampling

2.2 LHS與RS效果比較

為比較本文所采用方法(LHS)與已有方法(RS)計算有效目標(biāo)函數(shù)的效果，從實例與理論2個方面予以分析。

圖3 RS抽樣示例Fig.3 Example of random sampling

圖3 所示為采用RS得到的一個樣本分布。從圖3可以看出：RS得到的樣本分布很不均勻，有些區(qū)域的個體比較密集，另一些區(qū)域則沒有個體。當(dāng)然，RS也可能得到好一些的樣本分布，但由于其隨機(jī)性，從統(tǒng)計的角度講，RS產(chǎn)生分布不均勻的樣本的概率遠(yuǎn)大于分布較均勻的樣本。圖2所示為采用LHS得到的一個樣本分布，與圖3比較，LHS所得到的樣本分布比較均勻。這是因為：LHS從方法上可以確保在每一行和每一列有且僅有1個樣本個體，即保證每次都得到比較均勻的樣本分布。正是由于LHS抽樣的均勻性，被廣泛地稱為“充滿空間的設(shè)計”(Space filling design)。

下面用1個簡單的例子來說明LHS與RS的效果。

由定義1得Bδ：

取樣本規(guī)模H=10，根據(jù)式(3)，采用 LHS和RS計算有效目標(biāo)函數(shù)值，所求估計值分別為：

顯然，使用LHS得到的有效目標(biāo)函數(shù)值比RS更接近于真實值，即LHS近似精度明顯比RS的高。

理論上，將LHS和RS應(yīng)用于蒙特卡羅積分，即本文中有效目標(biāo)函數(shù)的計算，其樣本均方差[21]分別為：

2.3 MROPs測試問題

為了測試本文所提出的方法的性能，采用由Deb等[13]提出的MROPs測試函數(shù)。

(1) 魯棒測試函數(shù)一(RTP1: Robustness test problem 1)。

(2) 魯棒測試函數(shù)二(RTP2: Robustness test problem 2)。

RTP2的目標(biāo)函數(shù)、PFtrue表達(dá)式、RPFtrue的表達(dá)式均與RTP1的相同，只是α和β的取值不相同，在RTP2中：α=1, β=1。

如圖4和圖5所示，分別為RTP1和RTP2的PFtrue和RPFtrue。其中，RPFtrue的4條曲線，分別對應(yīng)δ的不同取值。圖5中，粗實線為RPFtrue，細(xì)虛線為補充線。由圖4和圖5可見：原始PFtrue與RPFtrue并不重合，說明在多目標(biāo)優(yōu)化中，理論上的Pareto最優(yōu)解并不一定具有很好的魯棒性。

2.4 實驗仿真

為比較LHS與RS的效果，采用2.3節(jié)中的MROPs測試函數(shù)，進(jìn)行對比實驗。

圖4 RTP1的PFtrue與不同δ取值的RPFtrueFig.4 Theoretical PFtrue and RPFtrue of RTP1 with different δ

圖5 RTP2的PFtrue與不同δ取值的RPFtrueFig.5 Theoretical PFtrue and RPFtrue of RTP2 with different δ

實驗中所使用的 MOEA為 Deb等[1]提出的NSGA-II，采用錦標(biāo)賽選擇、模擬二進(jìn)制交叉(SBX)和多項式變異。種群大小為100，進(jìn)化代數(shù)為10 000，樣本規(guī)模H為50。機(jī)器配置為：Intel(R) Pentium(R) D CPU 3.00 GHz，1.00 G內(nèi)存；操作系統(tǒng)為Microsoft Windows XP。

對RTP1，δ分別取0.007，0.008，0.009和0.010，得到的RPF如圖6(a)~(d)所示。對于RTP2，δ分別取0.004，0.005，0.006和 0.007，得到的 RPF 如圖 7(a)~(d)所示。從圖6和圖7可以看出：LHS得到的RPF基本與RPFTrue重合，而RS得到的RPF與RPFTrue存在比較大的偏差?？梢姡琇HS比RS具有更好地搜索魯棒最優(yōu)解的效果。

3 使用自適應(yīng)抽樣技術(shù)提高 MOEAs的效率

使用LHS計算個體的有效目標(biāo)函數(shù)，在很大程度上提高了MOEAs搜索魯棒最優(yōu)解的效果，但是，效率并沒有得到提高。要提高M(jìn)OEAs的求解效率，就必須減少目標(biāo)函數(shù)的計算工作量，采取有效方法減少樣本數(shù)。為此，本文提出自適應(yīng)抽樣技術(shù)，在計算過程中自適應(yīng)地調(diào)整樣本規(guī)模。

3.1 自適應(yīng)抽樣技術(shù)

已有方法(RS)和第 2節(jié)所討論的方法(LHS)均采用固定樣本規(guī)模。事實上，在MOEAs中，對種群中不同的個體采取相同的樣本規(guī)模是不合理的。例如，當(dāng)樣本規(guī)模H=50時，對某些個體，如果10個樣本的平均值已經(jīng)很接近真實的有效目標(biāo)函數(shù)值，那么，對后面40個樣本的計算就是多余的。

圖6 使用RS和LHS優(yōu)化RTP1在不同δ時的RPFFig.6 RPFs of RTP1 with different δ using RS and LHS respectively

圖7 使用RS和LHS優(yōu)化RTP2在不同δ時的RPFFig.7 RPFs of RTP2 with different δ using RS and LHS respectively

自適應(yīng)拉丁超立方體抽樣(ALHS, Adaptive LHS)的基本思路是：首先采用一個較小的樣本規(guī)模，在迭代過程中，樣本規(guī)模根據(jù)前兩次迭代的平均目標(biāo)函數(shù)值的相似程度來確定，當(dāng)2次迭代結(jié)果之差的絕對值小于某個預(yù)先給定的精度，或終止條件滿足時，結(jié)束抽樣，并將最后一次迭代結(jié)果作為個體有效目標(biāo)函數(shù)的估計值。

為描述方便，先設(shè)定相關(guān)參數(shù)說明。

(2)iζ為第i維目標(biāo)的近似精度(i=1, 2, …, r)。

(3) Sk為第k次迭代的樣本規(guī)模；Sk的計算式為：

S1為初始樣本規(guī)模。

S為到第k代為止，各次迭代樣本規(guī)模的總和。計算式為：

(4)Smax為S的上限。

Step 1 初始化參數(shù)：S1，Smax，λ和ζi，，S=0；

Step 2 k=1，以Sk為樣本規(guī)模，使用LHS進(jìn)行抽樣，根據(jù)式(11)計算；

Step 4 k=k+1；根據(jù)式(12)計算Sk；以Sk為樣本規(guī)模，使用LHS進(jìn)行抽樣，根據(jù)式(11)計算；

Step 5 使用式(13)計算 S；使用式(15)計算 Sumi；

Step 6 若 S≥Smax成立，則，結(jié)束抽樣；否則，轉(zhuǎn)Step 3；

說明：參數(shù) S1，Smax，系數(shù) λ和 ζi是需要決策者預(yù)先給定的。(1) 對于S1，應(yīng)滿足：S1≤Smax，這里選取S1=Smax/5；(2) λ用于調(diào)節(jié)每次迭代的樣本規(guī)模，在本文中，取經(jīng)驗值λ=4；(3) 對于ζi，由決策者根據(jù)精度要求設(shè)定。

3.2 ALHS效率分析

令E(f(X))為f(X)的數(shù)學(xué)期望，feff(X)為f(X)的有效目標(biāo)函數(shù)(式(2))，用蒙特卡羅法對 feff(X)的近似估計量設(shè)為E?(式(3))。則有：

即E?概率收斂于E( f (X))。

設(shè)X為一個體，M和H (M＜H)為在X的鄰域內(nèi)的樣本規(guī)模，和分別為 E(f (X))的 2個估計量。若＜ε (ε為一很小的正實數(shù))，這就說明與相差很小，即和近似相等。

因此，ALHS是逐步的、動態(tài)的、自適應(yīng)的增大樣本規(guī)模，當(dāng)滿足精度要求時，就停止抽樣。這樣就可以減少那些對計算有效目標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)“不大”的樣本以及其目標(biāo)值計算，進(jìn)而達(dá)到提高算法效率的目的。

設(shè)MOEA進(jìn)化G代，種群規(guī)模為P，H為固定樣本規(guī)模，,ijM 為第i代種群中第j個個體采用ALHS實際產(chǎn)生的樣本數(shù)，則ALHS可以減少的總樣本規(guī)模(即總目標(biāo)函數(shù)計算次數(shù))為：

3.3 實驗仿真

為了驗證ALHS求解魯棒最優(yōu)解的效果和效率，采用2.3節(jié)的2個測試函數(shù)，實驗環(huán)境、參數(shù)設(shè)置和MOEA算法與2.4節(jié)中的相同。在ALHS中，新增參數(shù)為：S1=10；Smax=50；ζi=0.000 05 (i=1, 2, …, r)。

將 RS，LHS和 ALHS 3種不同抽樣技術(shù)與NSGA-II結(jié)合，分別獨立運行算法20次，目標(biāo)函數(shù)計算次數(shù)(N)和CPU時間(T)的平均值如表1所示。

從表1可以看出：ALHS對目標(biāo)函數(shù)的計算次數(shù)為RS的0.4倍左右，CPU時間為RS的0.5~0.7倍?？梢姡篈LHS比RS具有更高的搜索魯棒最優(yōu)解的效率。值得說明是：LHS的效率均比RS和ALHS低，這主要是因為LHS具有最好的求解效果(精度高)，從而在一定程度上影響了它的求解效率。

ALHS也具有比較好的求解效果，如圖8和圖9所示。從圖8和圖9可以看出：ALHS得到的RPF比RS的更接近RPFTrue，但求解效果比LHS略差?？傮w來說，ALHS既具有比較高的求解效率，同時也具有較好的求解效果。

表1 有效目標(biāo)函數(shù)計算次數(shù)與CPU時間Table1 Times of effective objectives computation and CPU time

圖8 使用RS和ALHS優(yōu)化RTP1在不同δ時的RPFFig.8 RPFs of RTP1 with different δ using RS and ALHS respectively

圖9 使用RS和ALHS優(yōu)化RTP2在不同δ時的RPFFig.9 RPFs of RTP2 with different δ using RS and ALHS respectively

4 結(jié)論

(1) 采用LHS計算有效目標(biāo)函數(shù)，通過實例說明和理論分析，LHS具有比RS更好的估計有效目標(biāo)函數(shù)的精度。同時，采用2個MROPs測試函數(shù)，與RS進(jìn)行對比實驗，表明LHS具有比RS更好的求解效果。

(2) 提出了一種自適應(yīng)抽樣技術(shù)，在優(yōu)化過程中自適應(yīng)地調(diào)整樣本規(guī)模，有效地減少了計算樣本目標(biāo)函數(shù)的次數(shù)和CPU時間。通過2個MROPs測試函數(shù)與RS和LHS的對比實驗，表明ALHS比RS和LHS具有更好的求解效率，同時也具有比較好的求解效果。

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