鐘艷春，楊慶俊，包 鋼

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

氣動隔振系統(tǒng)承載力大、有效行程大、隔振效果優(yōu)異，廣泛應用在儀器平臺、光學平臺、精密加工與檢測、艦船動力設(shè)備隔振、車輛懸掛等的振動隔離［1－4］。由于非線性微分動力系統(tǒng)的復雜性，空氣彈簧的彈性恢復力非線性對隔振系統(tǒng)特性的影響沒有同時得到適當?shù)难芯浚^大多數(shù)的設(shè)計、研究都以隔振系統(tǒng)工作在微幅振動的條件下進行線性化，氣動被動隔振系統(tǒng)常被簡化為由空氣彈簧的彈性、阻尼器的阻尼以及被隔載荷的質(zhì)量形成的彈簧－阻尼－質(zhì)量系統(tǒng)，大振幅條件下空氣彈簧非線性的影響則簡化為彈簧剛度系數(shù)和自振頻率的變化［5－6］。在主動控制中，大多也沿用這種線性模型［7］。這樣的處理對于處于微幅振動的系統(tǒng)來說是適當?shù)?，但是對于大振動幅度的應用，線性模型不再有效。在Koyanagi等［8］的研究中指出車輛空氣懸架振動隔離具有較強的非線性，不僅使精確設(shè)計隔振特性十分困難，而且是引起車輛連續(xù)橫滾的主要原因。

近年來逐漸有學者開始了氣動隔振系統(tǒng)的非線性研究，Philips公司的 Marcel Heertjes［9］研究了氣體壓縮的非線性對傳遞率和導納的影響。陳帥，溫金鵬等［10－11］應用能量方程，運動學方程、理想氣體方程，建立了彈性織布氣囊的緩沖動力學模型。方瑞華［12］將氣體壓縮性的非線性按泰勒展開為三次多項式后，求解了其二倍頻響應，并在模型試驗中清楚地發(fā)現(xiàn)了倍頻響應和零偏。尹萬建［13］用3次多項式擬合膜式空氣彈簧的實測彈性非線性，研究汽車空氣彈簧懸架的非線性動力學行為，發(fā)現(xiàn)了倍頻、分頻等非線性現(xiàn)象，以及這些現(xiàn)象與非線性彈性多項式的系數(shù)的關(guān)系 。然而，這些研究都將氣動隔振系統(tǒng)的非線性表示成多項式的形式，這可能和實際的模型有一定差別，本文從基本的方程入手，對氣動隔振系統(tǒng)非線性特性進行了仿真與數(shù)值分析。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型建立

為了方便起見，本文選用簡單的單腔氣彈簧對其進行非線性特性分析，其物理模型簡單表示如圖1。

圖1 氣動隔振系統(tǒng)模型簡圖Fig.1 Schematic diagram of the neumatic vibration isolation system

本文將氣彈簧的機械彈簧剛度(如波紋管式氣彈簧中波紋管的縱向剛度、囊式氣彈簧橡膠及簾線形成的縱向剛度等)單獨列出，并設(shè)為k，內(nèi)阻尼系數(shù)為c(設(shè)為線性粘性阻尼力)，則載荷運動動力學方程為:

式中:p為氣腔內(nèi)壓力，p0為大氣壓力，A為氣體有效作用面積，m為載荷質(zhì)量，x為載荷振動，xb為基座振動。

設(shè)腔內(nèi)空氣為理想狀態(tài)氣體，其氣體狀態(tài)方程為:

式中:V0為氣彈簧初始容積，A2為氣彈簧容積面積，mg為氣腔內(nèi)氣體質(zhì)量，R為空氣氣體常數(shù)，T為腔內(nèi)氣體溫度。

氣體熱力學方程:

式中，hn為筒壁與腔內(nèi)氣體之間熱交換系數(shù)，Tw為筒壁溫度，Cv為空氣比熱。

筒壁熱力學方程:

式中，hw為筒壁與腔外氣體之間熱交換系數(shù)，Ta為腔外氣體溫度，mt為筒壁質(zhì)量，Ct為筒壁比熱。

2 系統(tǒng)簡諧激勵頻譜分析

以上動態(tài)方程可以看出，這是一個具有一定非線性的系統(tǒng)。根據(jù)以上各方程，利用Matlab軟件對模型進行了仿真分析，仿真結(jié)果對于以后的數(shù)學分析及實驗具有很好的指導意義。各參量選取如表1所示。

表1 算例系統(tǒng)計算參數(shù)Tab.1 Parameters of example vibration isolation system

仿真模型中激勵幅度為0.025 m，初始壓力為0.3 MPa，仿真時間取1500 s，此時系統(tǒng)已處于穩(wěn)態(tài)。激勵頻率 ω'依次選 1 rad/s，10 rad/s，20 rad/s，50 rad/s，100 rad/s，300 rad/s。其響應頻譜依次如圖2(a～f)所示。

圖2 不同激勵頻率響應幅值譜Fig.2 Amplitude spectrum under different excited vibration frequency

從以上各圖中分析可以看出:單頻激勵會誘發(fā)高次諧波，且具有較高的幅度。高次諧波的幅度隨激勵頻率的變化而變化:當激勵頻率很低時，高次諧波幅度小，激勵頻率越低，高次諧波越小(如圖2a，b);當激勵頻率很高時，高次諧波幅度小，激勵頻率越高，高次諧波越小(如圖2e，f);激勵頻率為中間頻率，即系統(tǒng)線性化固有頻率附近時，高次諧波嚴重，甚至要5、6次諧波才衰減到主峰的1%以下(如圖2c，d)。

由于系統(tǒng)的非線性，導致振動中心點偏移，為了解偏移的規(guī)律性，圖3列出了在不同激勵幅值下系統(tǒng)零頻偏移隨頻率變化的曲線。激勵幅度取值范圍為:0.0025 m ～0.06 m。

從圖3中可以看出，零頻偏移隨頻率變化明顯，低頻和高頻時，零頻偏移很小，中頻段零頻偏移大;其值也隨激勵幅度變化而變化，激勵幅值越大，零頻偏移越大。圖4為不同激勵幅度下，系統(tǒng)基頻振幅隨頻率變化響應曲線。

從圖4可以看出，系統(tǒng)在低頻時，非線性特性不明顯，基頻響應跟隨激勵幅值，中頻段非線性現(xiàn)象明顯，尤其在共振頻率14 rad/s附近，基頻響應峰值很高，在高頻段系統(tǒng)隔振效果比較好，幅值衰減得很快。

不同激勵幅度下，基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值見圖5所示。

從圖5中可以看出，系統(tǒng)在低頻和高頻段，基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值接近1，在中頻段能量分布比較分散，共振頻率14 rad/s附近，激勵幅值為0.06 mm時，基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值為0.98。不同激勵幅度下，系統(tǒng)的一倍頻幅值響應曲線如圖6所示。

圖3 零頻偏移曲線Fig.3 Displacement at zero frequency

圖4 基頻幅值響應曲線Fig.4 Amplitude response at fundamental frequency

圖5 基頻能量曲線Fig.5 Energy at fundamental frequency

圖6 一倍頻幅值響應曲線Fig.6 Amplitude response at one octave

和基頻幅值響應不同，在低頻時，系統(tǒng)一倍頻響應小。在系統(tǒng)線性化固有頻率14 rad/s附近，激勵幅值為0.06 mm 時，共振峰達到 0.01 m。

不同激勵幅度下，一倍頻能量占系統(tǒng)總能量的比值見圖7所示。

一倍頻能量占系統(tǒng)總能量在系統(tǒng)線性化固有頻率14 rad/s附近達到最大值，激勵幅值為0.06 mm時，比值為0.005，并且隨激勵幅值的增大而變大。

圖7 一倍頻能量曲線Fig.7 Energy at one octave

3 數(shù)值計算

假設(shè)基座的運動為:

對載荷響應的頻譜分析表明，穩(wěn)態(tài)解中除激勵頻率成分外，還包含有零頻分量，即偏移、包含有1/2分頻、包含倍頻、包含3/2、5/2等頻率成分。以該仿真結(jié)果為指引，假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量p、x、Tw和T均包含零頻分量和1/2分頻及其各次倍數(shù)分量，即:

將式(5)～式(7)代入方程(1)，得:

該方程為線性方程，令對應項系數(shù)相等，可得:

特別地，當i=0時有:

當i=2時有:

將式(5)～式(8)代入方程(2)，得:

為方便起見，將V0合并到XB0中并仍記為XB0，將－A0合并到 XA2中并仍記為XA2。將左邊交叉相乘，將以上各項中的系數(shù)合并，并令其等于方程右端對應項系數(shù)，則:

特別地，當i=j=0時有:

k=0的左端與k=1、2、3等相比少一項，這是因為此時第二項與第三項屬于重復計算，只應保留一項。

記:

則方程(15)、(16)、(17)可化為:

將式(5)～式(9)代入方程(3)，得:

為書寫簡便起見，將方程中左端的ωA0cosωt合并到中，方程左端交叉相乘，將各項中的系數(shù)合并，并令其等于方程右端對應項系數(shù)，則:

特別地，當i=j=1時有:

則方程(20)、(21)、(22)可化為:

將式(6)～式(9)代入方程(4)，得:

令對應項系數(shù)相等，得:

方程(25)可化為:

以上公式求解可用迭代法，通過計算機編程進行計算，其計算步聚按圖8的流程進行。

4 算例分析

為了驗證本迭代計算方法的可行性，下面對該方法進行算例分析。本算例源自某型車輛隔振，氣動隔振器具有大行程，大功率重量比，無污染等優(yōu)點，在豪華客車、載貨汽車和高級轎車上得到越來越廣泛的應用。本文所選參數(shù)為單個隔振器按比例所得，其值見表1所示。

必須說明的是，本迭代法中迭代結(jié)果與初始假設(shè)解中的項數(shù)有關(guān)，所取項數(shù)越多其解越精確，這與諧波平衡法的基本思想是一致的。該項數(shù)的取值與頻率有關(guān)，從上面的仿真結(jié)果可知，在中頻段，即系統(tǒng)線性化固有頻率附近時，其非線性特性比較明顯，亦即其倍/分頻項比較多，所以在中頻段時所取的項數(shù)要多些，其結(jié)果才會更精確;反之在低頻和高頻段時，系統(tǒng)表現(xiàn)出來的倍/分頻分量相對要少，為了使計算簡便，初始假設(shè)解中的項數(shù)可以相應取得少些。本算例中激勵幅值取為0.025 m，激勵頻率取為20 rad/s，處于中頻段比較靠近系統(tǒng)線性化固有頻率，在其激勵下，系統(tǒng)非線性現(xiàn)象比較明顯，具有很好的典型性。初始假設(shè)解中的項數(shù)取10，用本迭代法進行了迭代，其迭代所得系數(shù)結(jié)果見表2所示。

圖8 求解迭代流程Fig.8 Iteration flow chart

表2 系數(shù)計算結(jié)果Tab.2 Calculations of coefficients

從表2中可以看出，迭代系數(shù)中，相對偶數(shù)項系數(shù)來說基數(shù)項系數(shù)很小，即系統(tǒng)倍頻現(xiàn)象明顯，而分頻現(xiàn)象微弱，從仿真曲線圖2(c)中可以看出，響應頻譜中出現(xiàn)了 20 rad/s，40 rad/s，60 rad/s，80 rad/s，100 rad/s，120 rad/s等頻率，即其倍頻現(xiàn)象很明顯，和數(shù)值計算結(jié)果吻合性好。該數(shù)值計算結(jié)果和文獻［12］實驗所得結(jié)果也是一致的，文獻［12］試驗證明了空氣懸架非線性振動系統(tǒng)的輸出頻率不但是異頻輸出，即不同于激勵頻率，而且輸出頻率基本都是激勵頻率的整數(shù)倍，即有很明顯的倍頻現(xiàn)象。從表2還可以看出倍數(shù)越高，系數(shù)越小，這和圖5所得基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值接近1吻合。

圖9 仿真與數(shù)值計算結(jié)果誤差曲線Fig.9 Error curve of the simulation and numerical calculation results

將表2所得系數(shù)代入式(6)中，即可得振動幅值隨時間變化曲線，圖9是數(shù)值計算與仿真結(jié)果的誤差曲線，圖中仿真時間從1497 s～1500 s，此時間段系統(tǒng)已完全處于穩(wěn)定狀態(tài)。從圖中可以看出，二者吻合性很好，誤差很小，基本重合。

5 結(jié)論

本文建立了氣動隔振系統(tǒng)的非線性模型，在此基礎(chǔ)上對模型進行了仿真分析及數(shù)值計算。研究的主要結(jié)論有:

(1)系統(tǒng)具有很強的非線性特性，在單頻簡諧激勵作用下，系統(tǒng)會出現(xiàn)明顯的倍頻、分頻、零偏現(xiàn)象;

(2)系統(tǒng)在線性化固有頻率附近，倍/分頻、零偏現(xiàn)象明顯，其值隨激勵幅值的增大而增大;

(3)在諧波平衡法的基礎(chǔ)上，提出了一種可行的非線性數(shù)值解法，仿真與數(shù)值計算結(jié)果吻合性好，從而驗證了該數(shù)值計算方法的有效性。

［1］Tomonori Kato，Kenji Kawashima，Koichi Sawamoto，et al.Active control of a pneumatic isolation table using model following control and a pressure differentiator［J］.Precision Engineering，2007，31(3):269－275.

［2］Chen Ping-chang，Shih Ming-chang.Modeling and robust active control of a pneumatic vibration isolator［J］.Journal of Vibration and Control，2007，13(11):1553 －1571.

［3］Lee Jeung-hoon， Kim Kwang-joon. A method of transmissibility design for dual-chamber pneumatic vibration isolator［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，323(1):67－92.

［4］徐 偉，何 琳，呂志強，等.船舶主機氣囊隔振系統(tǒng)動態(tài)特性分析［J］.振動與沖擊，2007，26(7):122－124.

［5］方瑞華，解躍青，雷雨成.空氣懸架理論及其關(guān)鍵技術(shù)［J］.同濟大學學報，2003，31(9):1072－1076.

［6］潘世榮，張 軍，胡水華.膜式空氣彈簧在汽車座椅上的應用［J］.武漢汽車工業(yè)大學學報，1996，18(3):21－25.

［7］楊啟耀，周孔亢，張文娜，等.半主動空氣懸架Fuzzy-PID控制［J］.農(nóng)業(yè)機械學報，2008，39(9):24－29.

［8］Koyanagi Shiro.Development of the air spring with variable nozzle［J］.Quarterly Report of RTRI(Railway Technical Research Institute)，1990，31(3):122 －127.

［9］Marcel Heertjes，Nathen van de Wouw.Nonlinear dynamics and control of a pneumatic vibration isolator［J］.Journal of Vibration and acoustics.2006，128(4):439 －448.

［10］溫金鵬，李 斌，譚德偉，等.考慮織布彈性的軟著陸氣囊緩沖特性研究［J］.振動與沖擊.2010，29(2):79 －83.

［11］陳 帥，李 斌，溫金鵬，等.軟著陸氣囊緩沖特性與參數(shù)設(shè)置的理論研究［J］.振動與沖擊.2009，28(4):25 －28.

［12］方瑞華.汽車空氣懸架非線性振動理論和試驗［J］.農(nóng)業(yè)機械學報，2007，38(7):13 －15.

［13］尹萬建.汽車空氣彈簧懸架系統(tǒng)的非線性動力學行為研究［D］.北京:北京交通大學，2007.