重力對(duì)具有表面層的半空間中Rayleigh波的影響

壽 旋，夏唐代

(1.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027)2.浙江大學(xué) 巖土工程研究所，杭州 310027)

Rayleigh波是由非均勻的平面P波和平面SV波干涉疊加而成的一種面波，由Rayleigh在1887年首先發(fā)現(xiàn)，Rayleigh波在地震學(xué)，地球物理學(xué)和巖土工程等領(lǐng)域有著重要的價(jià)值，并且取得了廣泛的研究成果［1－4］，特別是在勘察領(lǐng)域，由于表面波探測(cè)法具有效率高、無破損和費(fèi)用低等優(yōu)點(diǎn)且避免了室內(nèi)試驗(yàn)由于取樣導(dǎo)致的試樣應(yīng)力釋放和擾動(dòng)等缺點(diǎn)，因而在工程物探和地球物探等方面得到了廣泛的應(yīng)用，但是在這些研究和應(yīng)用中一般忽略了重力的影響，然而在實(shí)際應(yīng)用表面波法進(jìn)行原位測(cè)試時(shí)重力的影響是不可避免的，因此研究重力對(duì)Rayleigh波的影響具有很大的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

Bromwich［5］最先研究了重力對(duì)Rayleigh波的影響，在研究中Bromwich把重力作為一種體力，并假設(shè)介質(zhì)為不可壓縮。LOVE［6］研究了重力對(duì)表面波的影響，也把重力作為一種體力，并且通過簡化分析指出了當(dāng)波長足夠大時(shí)重力對(duì)Rayleigh波速存在較為明顯的影響。Biot［7］利用應(yīng)力增量理論研究了重力對(duì) Rayleigh波的影響，De 和 Sengupta［8，9］，Datta［10］利用 Biot的基本方程和假設(shè)也進(jìn)行了相應(yīng)的研究。Dey和Sengupta［11］得到了橫觀各向同性介質(zhì)在重力影響下Rayleigh波的波速方程，這些研究中介質(zhì)都是單層且均勻的。關(guān)于重力對(duì)具有表面層的半空間中Rayleigh波的影響則至今未見研究報(bào)道，由于地殼一般為非均質(zhì)的，因此研究重力對(duì)分層介質(zhì)中Rayleigh波的影響具有重要意義，也更加符合實(shí)際情況。

本文從Biot的基本方程出發(fā)得出了重力影響下具有表面層的半空間介質(zhì)中Rayleigh波的彌散方程，然后通過數(shù)值計(jì)算的方法分析了泊松比和層的厚度對(duì)考慮了重力作用的Rayleigh波的影響。

1 基本方程

考慮M、M'兩種均勻各向同性彈性固體介質(zhì)，其中M'為半無限空間，而M為位于M'上方厚度為H的層狀介質(zhì)，兩者在交界面處位移和應(yīng)力連續(xù)。具體模型如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系及幾何尺寸示意圖Fig.1 Coordinate system and schematics

本文只考慮沿x1方向傳播的Rayleigh波，為平面波，因此非零位移分量為 u1和 u2，且 u1，u3僅由x1，x3以及時(shí)間t決定。平面應(yīng)變問題的運(yùn)動(dòng)微分方程為［7］:

式中g(shù)為重力加速度，ρ為介質(zhì)的密度。

引入勢(shì)函數(shù)φ和ψ，它們與位移分量u1，u2之間的關(guān)系為:

把式(2)，式(3)代入式(1)得:

式中:

2 方程的求解

2.1 表面層中的勢(shì)函數(shù)解

由于φ，ψ為表面波的勢(shì)函數(shù)，因此方程(4)的解可以表示為如下形式:

把式(5)代入式(4)可得:

上式系數(shù)間有如下關(guān)系:

±η1，±η2為如下方程的根:

2.2 半空間中的勢(shì)函數(shù)解

這里約定帶上標(biāo)“'”的量為M'中的量，由于M'介質(zhì)為半空間，因此φ'，ψ'在x3→∞時(shí)必須趨向于無窮小，與表面層中的解類似φ'，ψ'可分別寫成如下形式:

式中:η'1，η'2為如下方程的正實(shí)數(shù)根:

2.3 邊界條件及彌散方程

(1)x3=－H處為自由表面，因此:

s13=s33=0，x3= －H 時(shí)。

(2)x3=0處兩側(cè)應(yīng)力與位移連續(xù)，因此

u1=u'1，u2=u'2，x3=0 時(shí)。

s13=s'13，s33=s'33，x3=0 時(shí)。

由邊界條件結(jié)合式(6)、式(9)可得:

式中:

要使式(11)中 A1，B1，C1，D1，B'1，D'1有非零解下式必須成立

式(13)即為在重力影響下具有表面層的半空間中Rayleigh波的彌散方程，顯然Rayleigh波的波速除了受到介質(zhì)本身物理參數(shù)和幾何參數(shù)的影響外還受到了重力的影響。

特別的，當(dāng)忽略重力的影響，即g→0，則可以得到:

與此同時(shí)，α1→0，α2→∞，α'1→0，α'2→∞

因此:

由式(14)，式(15)可知式(13)將轉(zhuǎn)化為與Ewing等人得到的方程［1］完全等價(jià)的形式。

3 數(shù)值計(jì)算

由于式(13)所對(duì)應(yīng)的方程是一個(gè)超越方程，因此一般情況下不能得到Rayleigh波波速關(guān)于頻率的解析表達(dá)式，但是在給定了適當(dāng)?shù)奈锢韰?shù)以及幾何參數(shù)之后，利用數(shù)值方法可以得到Rayleigh波在重力影響下的彌散曲線，以及各參數(shù)的影響。本文數(shù)值計(jì)算時(shí)采用了MATLAB軟件。

3.1 泊松比的影響

設(shè)介質(zhì)M及M'的物理、幾何參數(shù)如下式所示:

式中μ，μ'分別為介質(zhì)M及M'的泊松比。

圖2 μ=μ'=0.2時(shí)的彌散曲線對(duì)比圖Fig.2 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.2

圖3 μ=μ'=0.33時(shí)的彌散曲線Fig.3 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.33

圖4 μ=μ'=0.46時(shí)的彌散曲線Fig.4 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.46

圖2為泊松比等于0.2時(shí)，考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖，由圖中可知當(dāng)泊松比為0.2時(shí)重力使Rayleigh波的波速在同波長條件下比忽略重力時(shí)小，變化趨勢(shì)為在波長較小時(shí)這種影響也較小，隨著波長的增大重力的影響也逐漸增大。圖3為泊松比等于0.33時(shí)考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖，由圖中可以看出此時(shí)重力對(duì)Rayleigh波彌散曲線影響很小。圖4為泊松比等于0.46時(shí)，考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖，由圖可知當(dāng)泊松比為0.46時(shí)在重力影響下同波長的Rayleigh波波速比忽略重力時(shí)大，與泊松比為0.2時(shí)類似，其影響也隨波長的增大而增大。由計(jì)算可得當(dāng)泊松比為0.2，波長為6000 m時(shí)，考慮了重力影響的Rayleigh波波速比忽略重力影響時(shí)減小了2.4%，而當(dāng)泊松比為0.46，波長為6000 m時(shí)，考慮了重力影響的Rayleigh波波速比忽略重力影響時(shí)增加了1.7%，因此在地球物探，地震工程等大尺度領(lǐng)域忽略重力對(duì)Rayleigh波波速的影響將產(chǎn)生較大誤差，而對(duì)于工程物探等方面由于一般探測(cè)深度較小重力的影響可以忽略。綜上所述泊松比對(duì)重力作用下Rayleigh波彌散曲線有重要影響，即泊松比不同時(shí)重力對(duì)Rayleigh波波速的影響結(jié)果也不同。

3.2 表面層厚度的影響

設(shè)介質(zhì)M及M'的物理、幾何參數(shù)如下式所示:

圖5，圖6分別為表面層厚度H為50 m和100 m時(shí)的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖，結(jié)合圖2可知，H由10 m增大到50 m及100 m時(shí)在重力影響下的Rayleigh波彌散曲線發(fā)生了明顯變化，且在同波長的條件下重力對(duì)彌散曲線的影響也隨H的增大而變得更加明顯。圖7為無量綱化后H為10 m，50 m和100 m時(shí)的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖，由圖中可以看出忽略重力的情況下這三條彌散曲線完全重合，而在考慮重力的影響后彌散曲線并不重合，并且在波長層厚比相同的情況下，層厚較大者波速較小，即受重力影響較大，這主要是由于相同波長層厚比時(shí)層厚大的所對(duì)應(yīng)的波長也大?？梢?，表面層的厚度對(duì)重力影響下的Rayleigh波彌散曲線有明顯影響，并且變化規(guī)律與不考慮重力時(shí)有明顯不同。

圖5 H=50 m時(shí)的彌散曲線Fig.5 Comparison chart of dispersion curves for H=50 m

圖6 H=100 m時(shí)的彌散曲線Fig.6 Comparison chart of dispersion curves forH=100 m

圖7 H=10 m，50 m，100 m 時(shí)Fig.7 Comp的ari無son量 c綱ha化rt 彌of 散no曲ndi線mensionalized dispersion curves for H=10 m，50 m，100 m respectively

4 結(jié)論

本文研究了重力影響下具有表面層的半空間中的Rayleigh波的影響，得到了在此情況下的Rayleigh波彌散方程，并且通過數(shù)值方法得到了不同情況下的彌散曲線，通過分析得到了如下結(jié)論:

(1)當(dāng)忽略重力影響時(shí)文中所得出的Rayleigh波彌散方程將與經(jīng)典情況下的方程一致;

(2)泊松比對(duì)重力作用下Rayleigh波彌散曲線有重要影響，泊松比較小時(shí)重力使Rayleigh波的波速減小，泊松比較大時(shí)重力使Rayleigh波的波速增大;

(3)重力對(duì)Rayleigh波波速的影響隨波長的增大而增大，地球物探，地震工程等大尺度領(lǐng)域忽略重力對(duì)Rayleigh波波速的影響將產(chǎn)生較大誤差，而對(duì)于工程物探等方面重力的影響可以忽略;

(4)無量綱化后不同表面層厚度所對(duì)應(yīng)的彌散曲線互不重合，這與不考慮重力時(shí)有明顯不同。

以上研究內(nèi)容初步揭示了重力對(duì)Rayleigh波彌散曲線的影響規(guī)律，對(duì)面波法的應(yīng)用具有重要的理論和參考價(jià)值。

［1］Ewing M，Jardetzky W，Press F.Elastic Waves in LayeredMedia［M］.McGraw-Hill，New York，1957.

［2］夏唐代，張忠苗，吳世明.Rayleigh面波法原理的數(shù)值模擬［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，1996，30(3):277 －284.

［3］夏唐代，顏可珍.飽和土層中瑞利波的傳播特性［J］.水力學(xué)報(bào)，2004，11:81－84.

［4］周新民，夏唐代.半空間準(zhǔn)飽和土中瑞利波的傳播特性研究［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2007，29(5):750－754.

［5］Bromwhich T J I’A.On the influence of gravity on elastic waves，and，in particular，on the vibrations of an elastic globe［J］.Proc.Lond.Math.Soc，1898，30:98 －120.

［6］Love A E.Some Problems of Geodynamics［M］.Dover，New York，1957.

［7］Biot M A.Mechanics of Incremental Deformation［M］.Wiley，New York，1965.

［8］De S N，Sengupta P R.Influence of gravity on wave propagation in an elastic layer［J］.J.Acoust.Soc.Am，1974，55:5 －13.

［9］De S N.Surface waves in the influence of gravity［J］.Gerlands Beitr，Geophysik，1976，85:4 － 15.

［10］Datta B K.Some observation on interaction of Rayleigh waves in an elastic solid medium with the gravity field［J］.Rev.Roumaine Sci.Tech.Ser.Mec.Appl，1986，31:369 －374.

［11］Dey S K，Sengupta P R.Effect of anisotropy on surface wave under the influence of gravity［J］.Acta Geophys.Polonica XXIV，1978，4 －16.