時(shí)頻二維逼近及在故障分量提取中的應(yīng)用

劉小峰，柏 林，趙 玲

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中通常包含了多種故障特征分量以及各種干擾噪聲，他們相互作用、相互干擾，且它們大多數(shù)都是非平穩(wěn)信號(hào)，給正確故障診斷帶來了很大的困難［1］。如果能將故障信號(hào)中的特征分量提取出來作進(jìn)一步分析，將為機(jī)械故障準(zhǔn)確診斷提供更有力的判斷依據(jù)。常用的非平穩(wěn)信號(hào)提取方法是，在往往將故障信號(hào)變換到時(shí)頻空間，使得在該空間中的各故障信號(hào)相互獨(dú)立，相互分離，再采用時(shí)頻濾波的方法最大限度地提取出分量時(shí)頻區(qū)域進(jìn)行重構(gòu)，以達(dá)到分量提取的目的。這種時(shí)頻濾波的提取方法較一維的線性濾波算法具有更好的自適應(yīng)性和較強(qiáng)的魯棒性，更適用于非平穩(wěn)非線性時(shí)變信號(hào)的分析處理，但不適合時(shí)頻重疊的分量提取，并且必須滿足時(shí)頻唯一重構(gòu)的條件［2］。另外一種非平穩(wěn)信號(hào)處理方法是基于基函數(shù)的信號(hào)分解法，常用復(fù)雜噪聲中的于非平穩(wěn)信號(hào)提純。這種時(shí)域一維逼近方法是將信號(hào)投影到預(yù)先選取的若干個(gè)向量上，根據(jù)待分析信號(hào)在基信號(hào)投影距離最短化原則來確定擴(kuò)展系數(shù)和基函數(shù)參數(shù)，也就是在時(shí)域內(nèi)用很少的正交基向量來有效地逼近某一類信號(hào)。這種時(shí)域一維逼近方法對于一致正則的信號(hào)提取是十分精確的，而對于有不同類型的時(shí)頻結(jié)構(gòu)的復(fù)雜信號(hào)不能產(chǎn)生很好的逼近效果［3］－［4］

本文結(jié)合時(shí)頻濾波和時(shí)域一維逼近方法的原理與優(yōu)點(diǎn)綜合，發(fā)展了一種時(shí)頻二維逼近的故障分量提取方法。該方法根據(jù)信號(hào)分量的具體特征設(shè)計(jì)相應(yīng)的信號(hào)模型，并從信號(hào)時(shí)頻域出發(fā)，在時(shí)頻重排的基礎(chǔ)上采用曲面擬合方法來確定基函數(shù)簇各個(gè)參數(shù)值，再采用各個(gè)擬合出的基函數(shù)的線性組合重構(gòu)出所需提取的信號(hào)分量。文章最后列舉了仿真信號(hào)分析實(shí)例和軸承故障診斷實(shí)例對該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用本文所提出的方法只需少量的擬合步驟即可精確地提取出所需的信號(hào)分量，對故障信號(hào)特征起到了準(zhǔn)確定位的作用。

1 時(shí)頻重排

時(shí)頻二維逼近方法是采用信號(hào)模型的時(shí)頻函數(shù)對被分析信號(hào)的時(shí)頻分布進(jìn)行二次曲面擬合，因此，選擇能夠真實(shí)反映被分析信號(hào)時(shí)頻特征的時(shí)頻變換方法是確保分量精確提取的首要條件。目前的時(shí)頻分析方法主要有短時(shí)傅里葉變換(STFT)、Gabor變換、以Wigner變換(WVD)的二次時(shí)頻分布，這幾種時(shí)頻分布都不可避免地存在著時(shí)頻分辨率不夠理想或交叉項(xiàng)干擾的問題［5，6］。重排時(shí)頻分布可以兼顧時(shí)頻聚集性和交叉項(xiàng)的抑制且計(jì)算也相對簡單。這種方法的基本原理是代表信號(hào)局部能量分布的非線性卷積的值由卷積核的幾何中心重排到其質(zhì)量中心，以提高時(shí)頻譜圖的時(shí)頻聚集性［7］。

重排變換過程可以表述為:對原始信號(hào)z(t)首先進(jìn)行STFT變換:

將信號(hào)z(t)的STFT的幅進(jìn)行平方運(yùn)算得到STFT譜圖，即:

可以將譜圖看作是信號(hào)的WVD和分析窗η(t)的WVD的二維卷積:

這個(gè)分布減小了信號(hào)WVD分布的交叉項(xiàng)，但卻以降低時(shí)頻分辨率為代價(jià)。重排方法就是將譜圖在任一點(diǎn)(t，f)處計(jì)算得到的譜圖移動(dòng)到另外一點(diǎn)(t^，f^)，這個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)(t，f)附近信號(hào)能量的重心，即:

2 時(shí)頻二維逼近

前面我們討論了，時(shí)頻重排是建立在STFT的基礎(chǔ)上的，它具有能量集中、時(shí)頻域分辨率高的特點(diǎn)，可以使信號(hào)特征在時(shí)頻面上得以真實(shí)呈現(xiàn)。如果用一組基函數(shù)時(shí)頻分布曲面來擬和原始信號(hào)的時(shí)頻曲面，由于基函數(shù)與其時(shí)頻分布的對應(yīng)的關(guān)系，也就相當(dāng)于用基函數(shù)的線性疊加來逼近原始信號(hào)。在擬和的過程中，基函數(shù)的特征參數(shù)能夠隨著被分析信號(hào)的局部時(shí)頻特征自動(dòng)調(diào)節(jié)，以達(dá)到最佳匹配效果。

對于這種信號(hào)分量的模型逼近方法，基函數(shù)的選取舉足輕重，一般應(yīng)遵循以下兩個(gè)原則，首先，基函數(shù)應(yīng)能夠描述被分析信號(hào)的局部特征，也就是要盡量選擇與被分析信號(hào)結(jié)構(gòu)相似的基函數(shù);其次，基函數(shù)應(yīng)具有良好的時(shí)頻分辨能力。對于機(jī)械系統(tǒng)而言，可以從信號(hào)產(chǎn)生機(jī)理出發(fā)，以系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為基礎(chǔ)對分量模型進(jìn)行初步設(shè)計(jì)，然后再輔以模擬仿真試驗(yàn)對模型進(jìn)行校正。對首先信號(hào)產(chǎn)生機(jī)理研究，對信號(hào)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，對于機(jī)械系統(tǒng)另一方面也可以增加模型參數(shù)。在模型參數(shù)選擇時(shí)還應(yīng)注意，增加分量的模型參數(shù)，雖然會(huì)提高了基函數(shù)對具有非線性時(shí)頻關(guān)系信號(hào)的匹配能力，但另一方面也增加了模型參數(shù)計(jì)算的復(fù)雜度。而設(shè)計(jì)的分量模型參數(shù)太少，就會(huì)增強(qiáng)了卻不同分量之間相似度，削弱不同分量之間的差異度，不利于分量的精確提取。

假設(shè)設(shè)計(jì)出的模型函數(shù)為 hqk，pk，fk，uk(t)，簡寫為hk(t)。其中，t為模型函數(shù)的自變量，qk，pk，uk，fk是模型函數(shù)hk(t)的待定參數(shù)?；跁r(shí)頻二維逼近方法的信號(hào)分量提取方法的步驟可簡述如下:

(1)根據(jù)式(1)－式(5)，選定分析窗函數(shù)η(t)，并計(jì)算被分析信號(hào)zk=0(t)(k表示迭代次數(shù))的STFT重排時(shí)頻譜，表示為(t，f);

(2)根據(jù)所需提取的分量特征設(shè)計(jì)相應(yīng)的信號(hào)模型，表示為hk(t)，并計(jì)算其Wigner－Ville時(shí)頻分布，表示為 Whk(t，f);

(3)用Whk對zk=0(t)的重排時(shí)頻譜RSPηz=0(t，f)用最小二乘法進(jìn)行曲面擬合，即，

非線性最小二乘法的意義就是要適當(dāng)確定hk的參數(shù) qk，pk，uk，fk，使根據(jù) Whk算出的能量值與逼近信號(hào)能量值之間的殘差平方和Δ為最小。其求解方法是計(jì)算Δ 對各個(gè)系數(shù) qk，pk，uk，fk的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為 0，即?Δ/?αi(αi=qk，pk，uk，fk)，可得到 4 個(gè)聯(lián)立方程:

由于可以把Δ看成自變量為qk，pk，uk，fk的一個(gè)4元函數(shù)，所以問題就歸結(jié)為求方程組(7)的解，而(7)為非線性方程組不便直接求出各參數(shù)的精確解，因此這里采用了經(jīng)典的高斯－牛頓法來進(jìn)行參數(shù)求解。具體做法是在初始值 αi0處將 fj(α1，α2，α3，α4)展開泰勒級(jí)數(shù)，并取其一階近似:

這里 fj=1，2，3，4表示第 j個(gè)方程，αi=1，2，3，4，5代表第 i個(gè)參數(shù)，α1，0，α2，0，α3，0，α4，0是 qk，pk，uk，fk的初始值。只要:

我們得到:

可寫成迭代形式:

每次的迭代值 α1，m比上次迭代值 α1，m－1要更逼近估計(jì)參數(shù) α1，迭代過程直到為容許誤差)，結(jié)束，從而獲得α1的非線性最小二乘估計(jì)。按照上述方法，依次可求得α2，α3，α4的估計(jì)值，也就是確定了hk的各項(xiàng)參數(shù)。

(4)從逼近信號(hào)中減去步驟(3)求得的分量，即，zk+1(t)=zk(t)－h(huán)k(t)，每次擬合時(shí)，總是先擬合出殘余信號(hào)zk(t)中與模型函數(shù)時(shí)頻分布最相近的時(shí)頻區(qū)域，也就是提取出與能夠用信號(hào)模型表達(dá)出的信號(hào)分量;

(5)重復(fù)上述步驟n次后，設(shè)第n次擬合出的信號(hào)分量為hn(t)，殘余信號(hào)為zn+1(t)，定義第n次擬合出信號(hào)分量與重構(gòu)信號(hào)之間的能量比作為擬合分量信號(hào)能量下降的一個(gè)測度:

隨著擬合次數(shù)的增多，當(dāng)大部分信號(hào)分量已經(jīng)提取出來，擬合出分量的能量就會(huì)越小，則SNRk越小，重構(gòu)精度越高。因此，可以以此來控制分解迭代次數(shù)k。設(shè)定門限值P，當(dāng)SNRk小于P時(shí)分解停止。

因?yàn)榍鏀M合時(shí)采用的是具有較高時(shí)頻聚集性的信號(hào)模型基函數(shù)，所以在擬和時(shí)總是先擬和出與基函數(shù)時(shí)頻特征相似且能量集中的信號(hào)分量，然后才輪到時(shí)頻特征相差較大或時(shí)頻能量較分散的其它信號(hào)分量或噪聲。本文正是利用這種分量被擬和出的先后關(guān)系，進(jìn)行信號(hào)分離的。經(jīng)過前幾步擬合信號(hào)的大部分有用成分已經(jīng)被提取出，隨著分解次數(shù)的增加，殘余信號(hào)中與模型相匹配的成分越來越少，提取的信號(hào)成分的能量就越來越少。當(dāng)殘余能量變化趨于平緩，可以認(rèn)為這時(shí)的殘余信號(hào)主要由干擾信號(hào)組成。設(shè)定這時(shí)的SNRk的為門限值P，以此來控制分解迭代次數(shù)k。

(6)選擇擬合出的基函數(shù)及其擴(kuò)展系數(shù)的線性組合重構(gòu)出所需要提取的信號(hào)。

3 方法性能分析

傳統(tǒng)的信號(hào)時(shí)頻分解法都是將信號(hào)分割成短時(shí)間內(nèi)頻率線性變化的基函數(shù)，如短時(shí)傅里葉變換是將信號(hào)在短時(shí)間內(nèi)將信號(hào)分解成諧波分量、小波變換選擇的基函數(shù)是小波函數(shù)、自適應(yīng)分解選擇的基函數(shù)是高斯調(diào)頻小波，而本文提出的時(shí)頻二維逼近方法采用的基函數(shù)是信號(hào)分量的隨時(shí)間變化的統(tǒng)一模型。因此，對于同一個(gè)分量而言，時(shí)頻逼近方法在模型設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)那闆r，只需分解迭代一次就可以完成，而上述傳統(tǒng)方法則需要將其分割成若干個(gè)時(shí)間段，分別進(jìn)行逼近，很顯然，前者需要的分解迭代次數(shù)明顯要少于后者。另外，時(shí)頻二維逼近方法是從信號(hào)的時(shí)域特征和頻域特征對同時(shí)信號(hào)進(jìn)行逼近，而傳統(tǒng)方法是在時(shí)域內(nèi)對信號(hào)特征進(jìn)行逼近，因此前者分解重構(gòu)的信號(hào)分量的失真度更小。

傳統(tǒng)時(shí)頻分解方法是將信號(hào)分解成短時(shí)間的的基函數(shù)，如果噪聲在某段時(shí)間內(nèi)的時(shí)頻特性與信號(hào)分量相似，那么在時(shí)頻譜內(nèi)就很容易將其看作有用信號(hào)分量。本文提出的時(shí)頻逼近方法是對信號(hào)分量進(jìn)行建模，而非將其作短時(shí)間的分割處理，因此只要噪聲與信號(hào)分量的時(shí)頻特征有所不同，不管是有色噪聲還是白噪聲，其分解迭代受到噪聲干擾不大。

傳統(tǒng)的基于時(shí)頻濾波的信號(hào)提取方法大都是建立在時(shí)頻加窗的基礎(chǔ)上，采用時(shí)頻加窗方法提取出信號(hào)分量的時(shí)頻區(qū)域，再進(jìn)行時(shí)頻信號(hào)到時(shí)域信號(hào)的反變換。這種方法必須要滿足信號(hào)分量的時(shí)頻區(qū)域是不能交疊的，否則時(shí)頻加窗無法進(jìn)行，而且還應(yīng)滿足時(shí)頻信號(hào)到時(shí)域信號(hào)的唯一重構(gòu)的條件。本文提出的時(shí)頻逼近方法在進(jìn)行信號(hào)提取時(shí)只用到了信號(hào)的具體的時(shí)頻分布函數(shù)和信號(hào)模型，而與其時(shí)頻分布到底是何種特征，信號(hào)分量的時(shí)頻區(qū)域是否交疊無關(guān)，只與信號(hào)的時(shí)頻分布質(zhì)量和分量模型的設(shè)計(jì)質(zhì)量有關(guān)。

4 仿真信號(hào)分析

為說明基于時(shí)頻信號(hào)逼近的自適應(yīng)時(shí)頻分布的有效性，我們構(gòu)造如式(13)的多頻信號(hào)。該信號(hào)由兩個(gè)瞬態(tài)沖擊信號(hào)組成，一個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)及一個(gè)二次調(diào)頻信號(hào)。

n(t)為標(biāo)準(zhǔn)偏差為2的白噪聲。仿真信號(hào)的采樣頻率為2000Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1000。假設(shè)我們需要提取的是仿真信號(hào)中的兩個(gè)瞬態(tài)沖擊信號(hào)，圖1(a)為仿真信號(hào)的時(shí)域波形，從圖1(a)中可以看到，瞬態(tài)沖擊信號(hào)幾乎完全淹沒在其他信號(hào)分量及噪聲中，無法分辨。

圖1 仿真信號(hào)及其頻譜Fig.1 The simulation signal x(t)

從仿真信號(hào)的頻譜圖［圖1(b)］中，可以看到，各個(gè)分量的帶相互重疊，無法用常規(guī)濾波方法提取出瞬態(tài)沖擊分量?；跁r(shí)頻濾波的分量提取方法通常要將信號(hào)分量所在的時(shí)頻區(qū)域提取出來，然后進(jìn)行時(shí)頻重構(gòu)，這種方法必須滿足信號(hào)時(shí)頻區(qū)域能夠提取，并且時(shí)頻信號(hào)滿足唯一重構(gòu)的條件。從圖2(a)的仿真信號(hào)Gabor變換時(shí)頻分布可以看出，由于噪聲干擾太大，信號(hào)分量時(shí)頻區(qū)域無法提取。圖2(b)為仿真信號(hào)的重排時(shí)頻分布，它能同時(shí)刻畫出信號(hào)的非線性和性形成分，較真實(shí)地顯現(xiàn)信號(hào)分量的頻率隨時(shí)間的演化過程，而且沖擊分量的時(shí)頻區(qū)域與其他分量與噪聲完全分離?；跁r(shí)頻重排可以提取出沖擊信號(hào)的時(shí)頻區(qū)域，但是這種重排時(shí)頻分布并不滿足時(shí)頻信號(hào)唯一重構(gòu)的條件。同樣，WVD的交叉項(xiàng)干擾嚴(yán)重，無法準(zhǔn)確反映信號(hào)的時(shí)頻特征，Chirplet自適應(yīng)分布隨無交叉干擾，但Chirplet基函數(shù)的時(shí)域逼近會(huì)產(chǎn)生太多的信號(hào)截?cái)啵鹦盘?hào)分量的嚴(yán)重失真。因此，采用傳統(tǒng)的時(shí)頻濾波方法無法提取出我們所需的信號(hào)分量。

圖2 x(t)的時(shí)頻分布比較圖Fig.2 The TF representation of x(t)

下面采用本文提出的時(shí)頻二維逼近的方法對仿真信號(hào)中的沖擊分量進(jìn)行提取，建立如式(14)中的沖擊模型，

并采用其WVD時(shí)頻分布來對圖2(b)中的重排時(shí)頻信號(hào)進(jìn)行二次逼近，擬合兩次后得到的 qk，pk，uk，f，wk參數(shù)值分別為:

將參數(shù)值帶入式(2)中進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，重構(gòu)出的沖擊分量如圖3所示，可見信號(hào)分量除了在幅值上有一定誤差外，重構(gòu)效果是十分理想的。

5 故障診斷實(shí)例分析

為了說明基于時(shí)頻二次逼近的信號(hào)分量提取方法在機(jī)械故障診斷中的適用性，下面以軸承故障信號(hào)作為該方法的應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行了具體分析。

當(dāng)滾動(dòng)軸承的某一元件表面存在局部故障時(shí)，在軸承的旋轉(zhuǎn)過程中，故障表面會(huì)周期性地撞擊滾動(dòng)軸承其它元件表面，從而會(huì)產(chǎn)生周期性的沖擊。這些沖擊會(huì)激起軸承系統(tǒng)的中、高頻固有振動(dòng)。表征軸承故障特征的低頻成分由于易受其它機(jī)械零件和結(jié)構(gòu)的影響，信噪比較低，所以通常使用包含固有振動(dòng)的中頻成分作為軸承故障診斷分析的對象。圖4是一外圈嚴(yán)重剝落的滾動(dòng)軸承振動(dòng)加速度信號(hào)的時(shí)域波形，經(jīng)計(jì)算其故障特征頻率為45.6Hz，該軸承的一階固有頻率約3000Hz左右，設(shè)置的分析頻率為5000Hz(采樣頻率12.8 kHz)。下面采用本文提出的時(shí)頻信號(hào)逼近方法對軸承信號(hào)中的沖擊成分進(jìn)行提取。機(jī)械系統(tǒng)的沖擊信號(hào)通?？杀硎緸樨?fù)指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的乘積，研究表明式(14)中hk(t)作為沖擊瞬態(tài)信號(hào)的逼近模型是非常理想的［8］。

五次逼近后得到的基函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到如圖5中的時(shí)域波形。在得到的五組基函數(shù)［h1(t)，h2(t)，h3(t)，h4(t)，h5(t)］的時(shí)間中心參數(shù) u1，u2，u3，u4，u5之間的平均時(shí)間差為0.021 s，相應(yīng)的頻率為47.5Hz 與外圈的故障頻率相近;5 組基函數(shù)的 f1，2，3，4，5的平均值為 2978Hz，接近固有頻率 3000Hz;q1，2，3，4，5的平均值約為2.28/(m·s－2)。這說明軸承外圈，在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)出現(xiàn)了故障產(chǎn)生了寬頻沖擊信號(hào)，激起了軸承的共振，使軸承振動(dòng)幅度大大增加。從提取的沖擊信號(hào)的幅值可知故障較嚴(yán)重，與事實(shí)相符?？梢娺@種時(shí)頻信二維逼近方法可以較精確地對軸承故障進(jìn)行定位，并對故障原因及故障程度提供相應(yīng)的判斷依據(jù)。

圖3 時(shí)頻二次逼近后重構(gòu)的信號(hào)分量Fig.3 The reconstructing components of simulation signal

圖4 軸承信號(hào)的時(shí)域波形Fig.4 The bearing viberation signal

圖5 提取的軸承信號(hào)沖擊分量Fig.5 The bearing Impulse components extracted

6 結(jié)論

時(shí)頻二維逼近的分量提取方法適合于分析非平穩(wěn)復(fù)雜的多分量故障信號(hào)，它摒棄了傳統(tǒng)自適應(yīng)信號(hào)分解的時(shí)域一維逼近方法，不受噪聲種類及信號(hào)時(shí)頻分布特征的影響，精確地對故障信號(hào)中的特征成分進(jìn)行快速分離。通過本文的分析，基于時(shí)頻二維逼近的故障分量提取方法主要有以下幾個(gè)特點(diǎn):

(1)時(shí)頻二維逼近的基函數(shù)分解法，對比短時(shí)傅里葉變換、小波變換、自適應(yīng)分解等這些傳統(tǒng)的基函數(shù)信號(hào)分解方法，其迭代的次數(shù)更少，信號(hào)分量的重構(gòu)失真度更小。

(2)基于時(shí)頻二次曲面擬合的信號(hào)分量提取方法，對信號(hào)的噪聲種類沒有要求，不管是有色噪聲還是白噪聲，均不影響信號(hào)分量的提取效果;而且信號(hào)分量的時(shí)頻分布特征對分量提取的效果影響不大，不管所需提取的信號(hào)分量與其他分量在時(shí)頻區(qū)域內(nèi)是否交疊，二維逼近的方法均可得到較理想分量提取效果。

(3)本文提取的時(shí)頻二維逼近的故障分量提取方法可適用于各類分量的提取，具有較強(qiáng)的適用性和廣泛性，只要能夠較準(zhǔn)確地建立信號(hào)分量的參數(shù)模型，均可達(dá)到較理想的提取效果。

(4)要指出的是，這種時(shí)頻二維逼近方法必須對所需提取的信號(hào)分量進(jìn)行統(tǒng)一的建模，設(shè)計(jì)模型的優(yōu)劣對分量提取的效果有較大的影響。關(guān)于模型的進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題還有待下一步的分析研究。

(5)被分析信號(hào)的時(shí)頻變換方法的選擇對分量的提取精度影響也較大，選擇的時(shí)頻分布要求兼顧時(shí)頻聚集性與抗交叉項(xiàng)干擾性。對于時(shí)變成分十分相近的信號(hào)分量，采用本文選擇的重排時(shí)頻分布仍然無法得到較好的時(shí)頻分布質(zhì)量，這時(shí)，可以嘗試用時(shí)頻分布級(jí)數(shù)進(jìn)行替換。

總而言之，本文以仿真信號(hào)和軸承故障信號(hào)為分析實(shí)例，成功應(yīng)用上述方法匹配出軸承信號(hào)中的沖擊信號(hào)，達(dá)到了正確診斷故障的目的。這種方法為特征提取、故障診斷提供了新的工具，具有較好的應(yīng)用前景。

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［2］柏 林，劉小峰，秦樹人.時(shí)頻面上基于瞬頻估計(jì)的信號(hào)提取方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(7):140－145.

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