曲面特征恢復(fù)的三角網(wǎng)格模型孔洞修補(bǔ)算法

賀 強(qiáng)，張樹(shù)生，白曉亮

(西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，710072 西安，hqcq@mail.nwpu.edu.cn)

曲面特征恢復(fù)的三角網(wǎng)格模型孔洞修補(bǔ)算法

賀 強(qiáng)，張樹(shù)生，白曉亮

(西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，710072 西安，hqcq@mail.nwpu.edu.cn)

為了恢復(fù)三角網(wǎng)格模型中的孔洞處的真實(shí)形狀，提出一種曲面特征恢復(fù)的孔洞修補(bǔ)算法.首先對(duì)模型中檢測(cè)出的孔洞進(jìn)行三角化并細(xì)分，完成孔洞的粗修復(fù).然后利用高斯球確定孔洞的鄰域及其曲面類型，對(duì)二次曲面類型的孔洞鄰域進(jìn)行非線性最小二乘擬合以獲得曲面代數(shù)方程，對(duì)自由曲面類型的孔洞鄰域則進(jìn)行B樣條曲面擬合.最后根據(jù)孔洞鄰域的曲面方程獲得孔洞內(nèi)新增頂點(diǎn)在曲面上的精確位置，完成孔洞修復(fù).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該孔洞修補(bǔ)算法不僅能完成孔洞區(qū)域的三角形填充，還能準(zhǔn)確恢復(fù)出孔洞區(qū)域的曲面特征.

高斯球;孔洞鄰域;曲面特征;孔洞修補(bǔ)

由于物體表面的反射屬性、結(jié)構(gòu)閉塞等因素的影響，測(cè)量獲得的三角網(wǎng)格模型中不可避免地存在孔洞.孔洞不僅影響模型的外觀，而且不利于后續(xù)的幾何處理.為了獲得完整的網(wǎng)格模型，孔洞修補(bǔ)尤為關(guān)鍵.經(jīng)過(guò)大量研究，出現(xiàn)了基于網(wǎng)格和基于體數(shù)據(jù)2類具有代表性的孔洞修補(bǔ)算法.基于網(wǎng)格的修補(bǔ)算法［1－8］首先尋找網(wǎng)格模型中的孔洞，然后對(duì)孔洞進(jìn)行三角化并細(xì)分，最后對(duì)新增的網(wǎng)格頂點(diǎn)的位置進(jìn)行光順調(diào)整.基于網(wǎng)格的修補(bǔ)僅僅作用在孔洞及其鄰域，可以保持遠(yuǎn)離孔洞區(qū)域的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)不變，修補(bǔ)后孔洞區(qū)域能與周圍區(qū)域光滑融合，但這類算法對(duì)輸入的模型有一定的質(zhì)量要求且沒(méi)有或較少考慮孔洞處的曲面信息，常常丟失孔洞處的曲面特征.基于體數(shù)據(jù)的網(wǎng)格修補(bǔ)算法［9－12］首先將網(wǎng)格模型轉(zhuǎn)換為一種中間的體數(shù)據(jù)來(lái)表示，然后在體數(shù)據(jù)上進(jìn)行修補(bǔ)操作.這類算法在處理三角面片自相交和重合的情況時(shí)比基于網(wǎng)格的算法更具優(yōu)勢(shì)，并能保證修復(fù)后輸出的網(wǎng)格是封閉的，但輸出的網(wǎng)格完全改變了原有模型中的連接關(guān)系，從而導(dǎo)致模型特征的丟失并會(huì)產(chǎn)生大量的、狹長(zhǎng)的三角片.

上述算法較少或基本沒(méi)有考慮孔洞處的曲面特征，因而在對(duì)含有大量二次曲面的工業(yè)產(chǎn)品外形上的孔洞進(jìn)行修補(bǔ)時(shí)，雖然可以得到完整且光順的模型，但同時(shí)會(huì)丟失孔洞處的曲面特征.為了恢復(fù)孔洞處的真實(shí)形狀，本文提出一種曲面的特征恢復(fù)的孔洞修補(bǔ)算法.首先對(duì)模型中檢測(cè)出的孔洞進(jìn)行粗修復(fù)，然后利用高斯球確定孔洞鄰域及其曲面類型，最后根據(jù)孔洞鄰域的曲面信息對(duì)孔洞內(nèi)新增頂點(diǎn)的空間位置進(jìn)行調(diào)整，獲得精確的修復(fù)結(jié)果.

1 孔洞的粗修復(fù)

對(duì)三角網(wǎng)格模型中檢測(cè)出的孔洞，直接進(jìn)行三角化處理，并根據(jù)孔洞周圍網(wǎng)格的平均邊長(zhǎng)對(duì)孔洞區(qū)域內(nèi)新增的三角形進(jìn)行細(xì)分，這個(gè)過(guò)程稱為孔洞的粗修復(fù).

1.1 孔洞的識(shí)別

三角形網(wǎng)格模型是由一系列頂點(diǎn)和三角形構(gòu)成.2個(gè)相鄰三角形通常有1條公共邊，稱這樣的邊為網(wǎng)格的內(nèi)部邊，而網(wǎng)格模型中的邊界邊和孔洞邊通常只屬于1個(gè)三角形.根據(jù)這一性質(zhì)，對(duì)封閉的網(wǎng)格模型，如果存在某條邊僅屬于1個(gè)三角形，則此邊就是構(gòu)成孔洞多邊形的1條邊.由這樣的邊首尾相連就形成了1個(gè)孔洞.對(duì)于非封閉模型，提取出的孔洞中還包括了模型的邊界輪廓.一般而言，孔洞的邊的數(shù)量都小于邊界輪廓的邊的數(shù)量.根據(jù)這一經(jīng)驗(yàn)，對(duì)檢測(cè)出的所有孔洞按照邊數(shù)量排序，不修補(bǔ)邊數(shù)量最大的孔洞.對(duì)于特殊情況，則需要用戶交互選擇模型輪廓，并將其從孔洞集合中剔除.

1.2 孔洞的三角化和細(xì)分

對(duì)孔洞多邊形使用Delaunay方法直接三角化，完成孔洞區(qū)域的拓?fù)涮畛?對(duì)面積較大的孔洞，獲得的修復(fù)網(wǎng)格與原始孔洞周圍的網(wǎng)格的采樣密度差異較大，這不僅影響了視覺(jué)效果而且破壞了孔洞區(qū)域及其鄰域的拓?fù)湟恢滦?為了獲得與孔洞鄰域網(wǎng)格密度相近的網(wǎng)格分布，本文對(duì)新增的三角形的邊進(jìn)行細(xì)分.細(xì)分的原理是首先計(jì)算孔洞周圍(選擇孔洞周圍網(wǎng)格6～10層)三角形邊長(zhǎng)的平均值，然后檢測(cè)孔洞內(nèi)新增三角形的三邊長(zhǎng)，如果某邊邊長(zhǎng)超過(guò)平均值，則將該邊從中點(diǎn)處分裂，邊分裂過(guò)程如圖1所示.

圖1 邊分裂

圖2表示了孔洞的粗修復(fù)過(guò)程.其中圖2(a)是含有孔洞的三角網(wǎng)格模型，圖2(b)是采用Delaunay三角化的結(jié)果，圖2(c)是細(xì)分光順的結(jié)果.

圖2 孔洞的粗修復(fù)

2 孔洞鄰域及其曲面特征

為了使孔洞修補(bǔ)的結(jié)果能較好逼近孔洞處的真實(shí)曲面，利用孔洞周圍的網(wǎng)格(即確定孔洞的鄰域)尤為關(guān)鍵.物體的外形通常都由大量的二次曲面和少量的自由曲面構(gòu)成.在工業(yè)領(lǐng)域，這種情況尤為突出.鑒于高斯球［13－14］可以很好地識(shí)別二次曲面，本文利用三角網(wǎng)格模型良好的拓?fù)溥B接關(guān)系，向孔洞的周圍逐層擴(kuò)展，同時(shí)利用高斯球識(shí)別出擴(kuò)展部分的曲面類型，并將曲面類型不一致的頂點(diǎn)剔除.孔洞鄰域就是剩余的與孔洞處曲面類型一致的頂點(diǎn)的集合.

2.1 網(wǎng)格頂點(diǎn)的高斯映射

在完成孔洞的粗修復(fù)后，向孔洞周圍擴(kuò)展6～10層三角形，獲得初步的孔洞鄰域點(diǎn)集.高斯映射是將曲面上任意一點(diǎn)的單位法矢的起點(diǎn)移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)的過(guò)程.曲面上的點(diǎn)進(jìn)行高斯映射后所得的結(jié)果是單位球內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)集.這個(gè)單位球就是高斯球.由高斯映射的定義可知，網(wǎng)格頂點(diǎn)的法矢量即為其在高斯球上的坐標(biāo).

2.1.1 平面的高斯球

平面點(diǎn)的法矢量均相等，因此平面的高斯球應(yīng)該是一個(gè)點(diǎn)，但實(shí)際應(yīng)用中，由于法矢估算不準(zhǔn)確或噪聲等原因，平面網(wǎng)格在高斯映射后的點(diǎn)會(huì)聚集在一個(gè)點(diǎn)區(qū)域中，如圖3(a)所示.

2.1.2 圓柱面的高斯球

圓柱面上任意點(diǎn)的法向量都應(yīng)該與其軸線的單位矢量n垂直，因此圓柱面上任意一點(diǎn)的高斯球坐標(biāo)都在過(guò)原點(diǎn)且法向?yàn)閚的平面上，該平面可以表示為(n，0).實(shí)際應(yīng)用中，圓柱面類型的網(wǎng)格頂點(diǎn)在高斯映射后的點(diǎn)集近似地聚集在一個(gè)環(huán)狀區(qū)域而不是嚴(yán)格位于同一平面，如圖3(b)所示.該區(qū)域可以被最小二乘法擬合成一張平面(n*，d)，d近似為0.

2.1.3 圓錐面的高斯球

圓錐上任意一點(diǎn)的法矢與軸線方向n的夾角與圓錐角的1/2 α互余.因此圓錐上任意點(diǎn)的高斯球坐標(biāo)構(gòu)成平面(n，sin α).由于網(wǎng)格噪聲等原因，實(shí)際的圓錐網(wǎng)格高斯映射后的點(diǎn)集近似地聚集在一個(gè)環(huán)狀區(qū)域而不是嚴(yán)格位于同一平面，如圖3(c)所示.該區(qū)域可以被擬合成平面(n*，d).

2.1.4 球面的高斯球

球面上任意點(diǎn)的法向各不相同，因此球面上的點(diǎn)的高斯球坐標(biāo)各不相同，如圖3(d)所示.球面上各個(gè)點(diǎn)及其法矢量構(gòu)成的直線之間的交點(diǎn)理論上應(yīng)該都在球心處，而對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的球面網(wǎng)格則是在包含球心的一個(gè)點(diǎn)區(qū)域中，與平面的高斯映射類似.本文根據(jù)這個(gè)性質(zhì)來(lái)識(shí)別球面.

圖3 二次曲面的高斯球

2.2 孔洞鄰域的確定

對(duì)初步的孔洞鄰域點(diǎn)集進(jìn)行高斯映射后，利用高斯球就可以對(duì)其進(jìn)行精煉，進(jìn)而得到孔洞鄰域的曲面類型和鄰域點(diǎn)集，孔洞鄰域及其曲面類型的確定過(guò)程為:

HN為初步的孔洞鄰域點(diǎn)集，其高斯球坐標(biāo)形成的點(diǎn)集為C，建立兩者之間一一對(duì)應(yīng)的索引關(guān)系.首先利用通用點(diǎn)聚類法判斷HN是否為平面，該過(guò)程為:計(jì)算C的中心點(diǎn)Pc，然后計(jì)算C中每一個(gè)點(diǎn)與Pc的距離，如果該距離小于給定的閾值，則保留該點(diǎn)，否則拋棄該點(diǎn).完成上述操作后，減小閾值，遞歸調(diào)用上述過(guò)程，直至C中的所有點(diǎn)到Pc的距離都小于給定的全局閾值或迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的上限.此時(shí)若C中點(diǎn)的數(shù)量與HN中點(diǎn)的數(shù)量之比大于設(shè)定的有效點(diǎn)集率，則HN是1個(gè)平面區(qū)域.

如果平面判定失敗，則依次進(jìn)行圓柱面、圓錐面的判定.此時(shí)需要判斷C是否處于一塊有效的平面區(qū)域，利用通用平面聚類法完成平面區(qū)域的判定.該過(guò)程為:對(duì)C中的點(diǎn)行最小二乘平面擬合，得到一個(gè)中心平面Pp.計(jì)算C中的點(diǎn)到平面Pp的距離，如果該距離小于給定的閾值，則保留該點(diǎn)，反之刪除該點(diǎn).完成上述操作后，減小閾值，遞歸調(diào)用上述過(guò)程，直至C中的所有點(diǎn)到Pp的距離都小于給定的全局閾值或迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的上限.根據(jù)C中剩下的點(diǎn)，利用建立的索引關(guān)系，就可以得到HN中與孔洞區(qū)域曲面類型一致的頂點(diǎn)集合，即孔洞的鄰域.

以上曲面判定都失敗后，還需對(duì)HN進(jìn)行球面的判定.利用HN中的頂點(diǎn)和C中的法矢量確定的直線的交點(diǎn)來(lái)判定球面.若是球面類型的網(wǎng)格，這些直線會(huì)相交于球心附近，形成一個(gè)點(diǎn)區(qū)域，對(duì)該點(diǎn)區(qū)域進(jìn)行通用點(diǎn)集聚類即可確定孔洞的鄰域.

若以上曲面類型的判定都失敗，本文將這樣的孔洞鄰域歸為自由曲面類型.孔洞鄰域則為擴(kuò)展部分的所有頂點(diǎn).

2.3 孔洞鄰域的曲面擬合

對(duì)平面孔洞，無(wú)需擬合平面(因?yàn)槿腔蠹?xì)分新增的頂點(diǎn)還是在平面上).對(duì)球面、圓柱面、圓錐面孔洞，則根據(jù)孔洞的鄰域，使用非線性最小二乘擬合獲得孔洞鄰域的代數(shù)方程.該方程作為孔洞內(nèi)新增頂點(diǎn)位置調(diào)整的依據(jù);若孔洞鄰域是自由曲面類型，本文采用文獻(xiàn)［15］中的雙三次B樣條曲面擬合算法來(lái)確定孔洞鄰域的潛在曲面.

球面的代數(shù)方為

式中:r為半徑;(x0，y0，z0)為球心，是待求的參數(shù).

圓柱面的代數(shù)方程為

式中:(x0，y0，z0)為待求的圓柱軸線上任意一點(diǎn);(nx，ny，nz)為待求的圓柱的軸線方向;r為待求的截面圓的半徑.

圓錐面的代數(shù)方程為

式中:α為待求的圓錐角的1/2;(x0，y0，z0)為待求的圓錐的頂點(diǎn);(nx，ny，nz)為待求軸線方向.

本文采用 Levenberg-Marquardt［16］算法求解曲面方程中的待求參數(shù).設(shè):F(x)為二次曲面的代數(shù)方程;x={x1，x2，…，xn}為待求參數(shù)組成的向量.對(duì)曲面方程中待求參數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)得

設(shè)xk為第k次迭代獲得的待求參數(shù)向量.該求解過(guò)程為

式中:δ為x中參數(shù)的偏差;J為m×n階雅可比矩陣;m為孔洞鄰域點(diǎn)的數(shù)量;μ＞0為用戶設(shè)定的參數(shù)，初始設(shè)為 10－6.

上述過(guò)程首先需要設(shè)定待求參數(shù)即x0的初始估計(jì)值.對(duì)球面擬合，球心的初值設(shè)為孔洞鄰域內(nèi)任意2點(diǎn)和其法矢量構(gòu)成的直線的交點(diǎn)，半徑初值為其中1點(diǎn)到該交點(diǎn)的距離.對(duì)圓柱面擬合，利用任意2點(diǎn)及其法矢量，根據(jù)法矢量與軸線垂直的性質(zhì)就可估算軸線，其中一點(diǎn)到軸線的距離即為半徑.對(duì)圓錐面擬合，選擇不在同一平面的3點(diǎn)及其法矢量，利用法矢量與軸線的夾角為圓錐角的1/2這個(gè)性質(zhì)就可計(jì)算半徑、軸線方向、圓錐角、圓錐頂點(diǎn).

3 孔洞內(nèi)新增頂點(diǎn)的位置調(diào)整

由孔洞粗修復(fù)產(chǎn)生的新增頂點(diǎn)，如果孔洞鄰域曲面類型是平面，則無(wú)需進(jìn)一步處理，修補(bǔ)完成.若是球面、圓柱面和錐面中的任何一種，則需要利用過(guò)程2中獲得的代數(shù)方程計(jì)算新增頂點(diǎn)在曲面上的真實(shí)空間位置.對(duì)新增頂點(diǎn)pi=(xi，yi，zi)，其法矢量n=(nx，ny，nz)，得到過(guò)該點(diǎn)且方向?yàn)榉ㄊ噶康闹本€方程為

式(6)與孔洞鄰域曲面代數(shù)方程聯(lián)立求解就得到孔洞內(nèi)的新增點(diǎn)的空間坐標(biāo).若孔洞鄰域是自由曲面類型，本文采用文獻(xiàn)［15］的網(wǎng)格參數(shù)化算法對(duì)粗修復(fù)的網(wǎng)格進(jìn)行參數(shù)化，獲得孔洞處填充的頂點(diǎn)的參數(shù)值，再將參數(shù)值帶入由孔洞鄰域擬合得到的B樣條曲面方程中就獲得了孔洞處新增頂點(diǎn)的空間位置.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在VS2005的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了算法，在主頻1.8 G，內(nèi)存512 M的PC機(jī)上運(yùn)行程序，且采用VTK(Visualization Toolkit一個(gè)面向?qū)ο蟮目梢暬悗?kù))顯示孔洞模型及其修補(bǔ)結(jié)果.為了更好地說(shuō)明孔洞修補(bǔ)過(guò)程，本文以圖4的球面孔洞為例詳述其修補(bǔ)過(guò)程.圖4(a)是原始的球面孔洞模型，其真實(shí)球心坐標(biāo)為(0，0，0)，半徑為 8 mm.圖4(b)是孔洞粗修復(fù)的結(jié)果即完成了孔洞多邊形的三角化和細(xì)分.對(duì)孔洞鄰域進(jìn)行擬合得到的球心為(－0.000 422，0.000 116，－0.000 208)，半徑為7.999 997 mm，與真實(shí)情況的差異非常小，因此利用擬合的結(jié)果能精確恢復(fù)孔洞處的曲面特征，如圖4(c)所示.圖5是圓錐面孔洞的修復(fù)，圖6是自由曲面孔洞的修復(fù)，圖7是多種曲面類型孔洞的修復(fù).從多種曲面類型孔洞的修補(bǔ)實(shí)驗(yàn)可知，除了平面類型的孔洞，孔洞粗修復(fù)后產(chǎn)生的新頂點(diǎn)都偏離了其在曲面上的真實(shí)位置，而采用本文算法處理后，能精確地恢復(fù)孔洞處的曲面特征.

圖4 球面孔洞及其修復(fù)

圖5 圓錐面孔洞及其修復(fù)

圖6 自由曲面孔洞及其修復(fù)

圖7 機(jī)械零件模型中的孔洞及其修復(fù)

5 結(jié)論

1)通過(guò)提取孔洞多邊形，孔洞三角化和細(xì)分完成了孔洞區(qū)域的拓?fù)涮畛?

2)利用高斯映射確定了孔洞鄰域及其曲面類型，并利用非線性最小二乘擬合得到相關(guān)的曲面參數(shù).

3)利用孔洞鄰域的曲面信息，完成了孔洞區(qū)域曲面特征恢復(fù)的修補(bǔ)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了算法的有效性.

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A hole repairing algorithm based on surface feature recovery in triangular mesh model

HE Qiang，ZHANG Shu-sheng，BAI Xiao-liang

(The Key Laboratory of Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology，Ministry of Education China，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi’an，China，hqcq@mail.nwpu.edu.cn)

In order to recover original shape of the holes in triangular meshes，a hole-repairing algorithm based on surface feature was proposed.First，the hole triangulation and subdivision were performed as coarse filling.Then，gauss ball was used to determine the hole neighbors and their surface types.Quadric surface equations were fixed by non linear least square.The hole neighbors of freeform were fitted by B spline surfaces.Finally，accurate positions of vertexes were acquired according to surface equations of the hole neighbors and the holerepairing was completed.The experimental results show that the presented hole repairing algorithm can not only fill the holes but also recover surface feature in the hole regions.

gauss ball;hole-neighbor;surface feature;hole-repairing

TP391

A

0367－6234(2011)11－0120－05

2010－01－10.

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2007AA04Z137);

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60573177).

賀 強(qiáng)(1985—)，男，博士研究生;

張樹(shù)生(1956—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 張 紅)