圓弧滑動法中總應力法和有效應力法適用性辨析

沈 揚,張朋舉,閆 俊

(1.河海大學巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室,江蘇南京 210098;2.河海大學巖土工程科學研究所,江蘇南京 210098)

圓弧滑動法是最常用的邊坡穩(wěn)定極限分析方法,因其方法簡單,通過極限平衡法就能直接得出安全系數(shù),且在確定強度指標及選取合適的安全系數(shù)方面積累了不少經(jīng)驗,由此被工程界廣泛選用[1-2].而其在考慮靜水和滲流條件時有總應力法和有效應力法2種計算方法.

圖1為1個靜水條件下的土坡及切取的全部浸沒于水中的單一土條i受力情況分析.總應力法下,土坡安全系數(shù)表達式為

式中:c′i,φ′i— —土條 i的有效黏聚力和內(nèi)摩擦角;αi,li,l′i,Wi——土條 i的底部坡角、底部長度、頂部長度 、土條質(zhì)量(水面以下取飽和質(zhì)量);uiup,uidown——土條 i的上、下面中點處的孔隙水壓力絕對值(即不存在超孔隙水壓力與靜孔隙水壓力之分,下文所涉及滲流情況亦同);Mtop——浸沒在水中部分各土條的坡面孔隙水壓力對O點形成的合力矩.

大多數(shù)文獻出現(xiàn)的公式一般沒有上部水壓力 uiup和Mtop,但浸沒在水中的土條上表面所受的水壓力顯然應該考慮.式(1)可以清楚地表明,只要土條完全浸沒在水中,安全系數(shù)不會隨土條所處深度的不同而變化.

而有效應力法較多采用式(2)表示.式(2)的特點是將土體的飽和重力密度改為有效重力密度,其本質(zhì)反映了土體所受浮力對土坡穩(wěn)定的影響[3].也有一些教材或文獻中提出采用土條底部水壓沿豎直方向的分力來表示浮力影響(式(3)).從力學構(gòu)成上說,靜水時式(2)與式(3)等價,但在滲流條件下式(2)不能與式(3)通用.

圖1 靜水條件下的土坡及土條受力情況示意圖Fig.1 Sketch of earth slope sub jected to hydrostatic p ressure and forces acting on slice

工程計算普遍發(fā)現(xiàn),總應力法公式在瑞典條分法中有更小的安全系數(shù),使結(jié)果偏于保守,但很少有著作對此進行深入說明.而目前一些規(guī)范在使用瑞典條分法時,更傾向于采用本文所說的總應力法,如文獻[4-5](在此需要說明,文獻[5]或其他規(guī)范中穩(wěn)定計算方法中所謂根據(jù)不同工況采用的有效應力法與總應力法與本文的概念不同,規(guī)范中是以強度指標為依據(jù)劃分的,而本文是根據(jù)受力分析對象劃分的,即以整個土條為研究對象就是總應力法,以土條中的土粒為對象就是有效應力法,所以目前各規(guī)范中真正用到瑞典條分有效應力法的很少).為了辨析這一基本而又重要的物理概念,為工程實際服務,本文以力學中最基本的靜力平衡法入手來說明總應力法和有效應力法這2種方法的適用性問題.

1 瑞典條分法中的有效應力法與總應力法之比較

1.1 總應力法求解靜水問題力學平衡剖析

圖1(a)是一部分浸沒在水中的土坡,從浸沒在水中的土坡切出一土條,若不考慮土條側(cè)面的土壓力,而僅考慮左、右側(cè)水壓力,則土條各面上所受靜水壓力及滑動面上有效壓力Ni和抗滑力Ti如圖1(b)所示,由以滑弧圓心取矩的力矩平衡,得到土條安全系數(shù)為

式中:uileft,uiright為土條左、右側(cè)面1/2高度處的孔隙水壓力絕對值,uileft,uiright與hi相乘即為土條左右側(cè)面水壓力合力.

對瑞典條分法而言,不考慮條間力(即圖1(b)中左右兩側(cè)的水壓力也不予考慮),故式(4)將簡化為式(1)形式.對比式(4)和式(1),無疑uileft-uiright＞0,因此式(1)要比式(4)求得的安全系數(shù)小.而如果不考慮坡頂面的M top,求得的安全系數(shù)更小.上述的推論方法是以整個土條為研究對象的,水壓力作用于土條整體,沒有區(qū)分土條中的水和土顆粒,故稱此法為土條分析中的總應力法.

應該說,總應力法符合瑞典條分法的基本假設,在假設的前提下是合理的,且目前應用較廣,如文獻[4-5].但由于忽略了土條側(cè)面水壓力的作用,故式(1)得到的安全系數(shù)誤差較大.

1.2 有效應力法求解靜水問題力學平衡剖析

由圖1(b)可見,式(1)較式(4)的差別即為忽略了土條側(cè)面的水壓力.而在靜水情況下,土條4個面水壓力的合力就是土條所受的浮力,此時若用浮力來表述,就可一并計算4個面上的水壓力.水壓力的合力即浮力的方向向上,大小等于土條體積乘以 γw,如此就得到式(2)表述的安全系數(shù)表達式.而根據(jù)壓力特征,圖1(b)所示土條上、下面中點M,N處之靜水壓力差ui down-ui up=γw hi,因此可將式(2)改寫為式(3)的形式,而這樣的轉(zhuǎn)化過程表明,式(3)中的孔壓并沒有真正反映該點孔壓作用的方向,只是一個相對數(shù)值.由于該法是從土顆粒所受浮力的角度來分析,公式中出現(xiàn)了有效重力密度的表達方式,因此將這種方法稱為有效應力分析法.

從式(2)、式(3)可見,豎直向上的浮力不僅會減少法向有效壓力,進而減少抗滑摩阻力的發(fā)揮,同時它也能投影到滑動面的切向上,作為一個抗滑力,使得整體的滑動力下降.因此不能認為浮力對土條滑動總是起不利作用.

所以,比較靜水條件下的總應力法和有效應力法,有效應力法考慮了土條4面水壓力的作用,所得安全系數(shù)更貼近實際.而以總應力法得出的安全系數(shù)由于只考慮土條上、下面的水壓力,更偏離實際值,且較之有效應力法得到更小的安全系數(shù).

在圖1(b)的土條分析中,左、右側(cè)水平向水壓力合力向左(且不是無黏性土,即使在各土條疊加中也不會抵消),其映射在滑動面上的法向分力方向向下,增加了有效壓力進而提高了摩阻力,而合力的切向分力又與滑動方向相反,因而增加了抗滑力.相應可推得,土條側(cè)向水壓力的合力是增加抗滑安全系數(shù)的,因此未考慮側(cè)向水壓力的總應力法表達式(1)計算的安全系數(shù)明顯低于有效應力法表達式(2)計算的安全系數(shù).

由以上分析可見,在靜水條件下,采用有效應力法進行瑞典條分法的土坡穩(wěn)定分析更為合理,也可對總應力法進行修正,直接表示為式(4)的形式,但在靜水時,仍沒有有效應力法運用便捷、直接.

1.3 滲流問題中2種方法的進一步探討

總應力法中,按原始瑞典條分法的假設,不考慮土條的側(cè)向作用力,則采用式(1),滲流力只能從土條上、下面的水壓力與靜水情況下壓力的改變來反映,側(cè)向水壓力的改變依然無法考慮.因此在有滲流時,雖然側(cè)向水壓力合力向左,式(1)卻無法體現(xiàn)其對土坡穩(wěn)定的不利作用,從而高估安全系數(shù)計算值.現(xiàn)有的堤防工程設計規(guī)范[4]所采用的方法就存在這一問題,且其對土條所受靜水壓力的簡化也不盡如人意.

用總應力法的修正式(4)雖能考慮側(cè)向水壓力的影響,但由于滲流時土條側(cè)向水壓力沿深度不一定線性分布,且土條長度hi較長,故無法如靜水條件下取土條側(cè)中點位置的壓力來計算水壓力合力,而需借助流網(wǎng),計算流網(wǎng)各網(wǎng)格的水壓力,從而疊加出側(cè)向的水壓力(該法類似有效應力法的流網(wǎng)法,但有效應力法的流網(wǎng)法是以顆粒為對象,通過流網(wǎng)計算滲流力,而總應力法是以土體為對象,借助流網(wǎng)來計算土條側(cè)邊水壓力).因此式(4)應改寫為式(5)的形式:

式中:Uiup,Uidown,Uileft,Uiright為土條上、下、左、右各面根據(jù)流網(wǎng)計算得到的水壓力合力,如圖2(b)所示.

如果選用有效應力法,土顆粒在滲流情況下將受到滲流力和浮力2個力的作用,故可采用有效重力密度,將浮力部分先行分離,而所受滲流力部分,則可由流網(wǎng)法計算.因此可在式(2)的基礎上將此時的安全系數(shù)修正為式(6)形式

圖2 滲流條件下的土坡及土條受力情況示意圖Fig.2 Sketch of earth slope sub jected to steady seepage and forces acting on slice

式中:τJili為將通過流網(wǎng)測定的滲流力再折算到滑動面上作為等效增加滑動力的表述式.

但對有效應力法計算滲流問題,筆者認為采用基于式(3)這樣的壓差變式要慎重.這是因為在滲流問題中,uiup和uidown的水頭壓差不僅是水位高低原因造成的,而且是滲流引起的,如果采用這個壓差,則將在含有浮力因素以外,又計入滲流的影響,而流網(wǎng)法已經(jīng)單獨考慮了滲流力,兩者疊加考慮就會出現(xiàn)滲流力影響的重復計入,從而造成安全系數(shù)計算偏小,且難以估計偏差程度.

1.4 全局理解水對黏性土坡穩(wěn)定的不利作用

一些工程人員總認為水對土坡穩(wěn)定是不利的,筆者以有效應力法求解滲流條件下的土坡安全系數(shù)為例,定性地分析水對土坡穩(wěn)定的不利因素,以及是否存在有利的一面,特別就本文提到浮力對于土坡穩(wěn)定的貢獻問題予以說明.無疑滲流力是水帶給土坡不穩(wěn)定性的最大因素,而強度參數(shù)在水中的軟化[6]是水增加土坡不穩(wěn)定性的次要因素.而水本身只產(chǎn)生浮力和滲流力,因此浮力對土坡是否也是一個不穩(wěn)定因素,是需要關注的重點.

關于這一問題,筆者認為首先與土坡構(gòu)形有關.對于無黏性土土坡,一般假設其為平面滑動[7],分析時,都認為靜水條件下,若不考慮強度指標的減弱,飽水與干土坡的安全系數(shù)一致,即浮力對土坡安全性沒有影響.而對于黏性土坡,由于一般假設為圓弧滑動[8-9],則每一土條與水平面的傾角不同,因此相鄰土條水壓力沿土條滑面方向的作用力不能抵消,故計算安全系數(shù)時每一土條中的水壓力都必須分別考慮.在此前提下,從靜水條件下的式(2)來看,由于浮力存在,在法向上的確減少了有效壓應力,從而減少了可以發(fā)揮的摩擦力,但同時又由于浮力在切向方向的分力與滑動方向相反,因此也增加了切向的抗滑力.因此從浮力角度,不能絕對認為水位增加就降低了安全系數(shù).

進一步從浸水時的土條安全系數(shù)表達式分析,若考慮最一般條件,即土條部分浸沒,則將單一土條的安全系數(shù)表達式(2)改寫為

式中:h1i——土條未浸沒部分高度:h2i——土條浸沒部分高度.

由于土體天然重力密度大于有效重力密度,浸水后導致重力密度下降數(shù)值提高,安全系數(shù)反而相應增加.可見單從浮力角度而言,靜水條件下,安全系數(shù)并非絕對下降,關鍵看浸水引起黏聚力c′i和內(nèi)摩擦角φ′i下降是否比重力密度下降程度更明顯.從式(7)可見,對無黏性土,c′i=0,則安全系數(shù)退化為Fs=tanφ′i/tanθi,表明無黏性土無論滑面形式如何,安全系數(shù)都與靜水條件下的水位無關(假設靜水對摩擦系數(shù)沒有影響),若滑面不是圓弧而是平面,則安全系數(shù)更退化為一個只與摩擦系數(shù)和坡角有關的常數(shù)了.

1.5 瑞典條分法下土坡穩(wěn)定分析的簡單總結(jié)

通過本文分析可知,在瑞典條分法中,可采用有效應力法和總應力法2種方法,但從誤差程度以及便捷角度分析,靜水條件下建議采用有效應力法的計算式(2)或式(3),而在滲流條件下建議采用修正的總應力法式(5)或有效應力法式(6).需說明的是,有效應力法雖然反映了條間水壓力的作用,但只是一種綜合的隱性表達,也未能考慮條間土壓力的影響,故仍廣義歸屬于瑞典條分法范疇.

2 畢肖普法中的有效應力法與總應力法之比較

2.1 畢肖普條分法較之瑞典條分法的優(yōu)勢分析

一般認為畢肖普法較之瑞典條分法在穩(wěn)定性分析時更具優(yōu)勢,畢肖普法考慮了水平條間力,但其考慮問題的方式更為巧妙.

圖3表示2個相鄰的土條,其中Xi+1與 Ei+1為切向與法向條間力,αi與αi+1為2個土條滑面與水平面的夾角.由于滑動面為曲面,相鄰2個土條滑面與水平面的夾角并非常數(shù),造成土條接觸面上一對相互作用力.當該對相互作用力分到各自滑動面上時,對滑動面所起的作用分力不同,進而在使用安全系數(shù)整體疊加分析求和時,相鄰土條的側(cè)向力在累積時不能抵消[10].如仍沿襲瑞典條分法的解題思路,從力的平衡角度直接分析問題,勢必增加包括豎向、水平條間力以及力的作用點在內(nèi)的6個未知數(shù),難以建立足夠的方程予以求解.

而畢肖普法較好地克服了這一難題.其基本思想為,既然力平衡法中相鄰土條分力不能抵消,則改為力矩平衡思路,整個滑動土體對滑弧圓心求力矩平衡,此時相鄰土條的一對側(cè)向力對滑弧圓心的力矩正好可以抵消.因此,所謂的“考慮條間力”,實際操作中因為土條間的兩兩疊加而消去了水平力,只剩下條間的豎向力.故對畢肖普法的嚴格描述應該是合理隱藏了水平向作用力,計算或忽略(對簡化畢肖普法而言)豎向作用力的圓弧條分法.同時由于土條間作用力矩的兩兩抵消,又可隱去條間力,土條上只留有重力、滑動面上的抗滑摩阻力以及土條頂面上的水壓力構(gòu)建力矩平衡,其中,抗滑摩阻力需用滑面有效壓力N′求解.而N′是通過土條在豎直方向上建立平衡方程計算得到(表示為豎向條間力,重力,土條上、下面水壓力向上合力的函數(shù)),從而再次避開水平力(也可以建立水平平衡方程,但要考慮水平力,而對水平力的忽略顯然沒有豎向力忽略的誤差范圍小).因此畢肖普法安全系數(shù)公式為

圖3 畢肖普法中相鄰土條受力情況示意圖Fig.3 Sketch of forces on interface between tw o neighboring slices in Bishop's method

其中

式中,Xi+1,Xi為土條i兩側(cè)所受切向力.

2.2 畢肖普法中靜水條件下總應力和有效應力法求解安全系數(shù)差異分析

式(8)出現(xiàn)的(ui down-ui up)bi與式(3)中(ui down-ui up)bi含義不同.如前所述,N的求解是通過豎向力平衡,畢肖普法中(-ui up)bi就是垂直作用滑面的孔隙水壓力在豎直方向上的分力,并非瑞典條分法中土條4個面所受水壓力的合力(浮力).因此式(8)所表示的就是總應力法的土坡穩(wěn)定分析得到的安全系數(shù).同時,對比瑞典條分法中的式(1),式(8)并未忽略土條的水平向作用力(包括水壓力和土壓力,只是通過力矩平衡兩兩抵消),因此求得的安全系數(shù)更加準確.而從有效應力法來看,水對土條作用力的合力即浮力必然向上,也能建立與Ni在豎直方向上的平衡,而此時合力矩的平衡將包括土條飽和重力、土條所受浮力以及滑動面上抗滑力三者產(chǎn)生力矩的合力矩,再根據(jù) Ni=Ni=(+ΔXi-F浮-)/mi以及F浮=γw hibi,可得到有效應力法下的畢肖普法安全系數(shù)表達式為

而本文所述,uidown-uiup=γiwhi.式(8)和式(9)比較:前者巧妙利用了滑面上孔壓作用力過滑弧圓心而不產(chǎn)生力矩的思路,但保留了土條頂面水壓力所產(chǎn)生的力矩;而后者則根據(jù)浮力的思想,綜合考慮土條各面上的水壓力合力作用,雖每一土條水壓力合力均產(chǎn)生一個力矩,但計算并不繁瑣,也不用單獨測算土條頂面上的水壓力,因此2種分析方法出發(fā)思路不同,但計算結(jié)果上應該是等價的,且顯然有效應力法求解更為便利.

而一般的文獻中,沒有考慮M top,提出的公式為

無疑較之式(8),式(10)計算的安全系數(shù)明顯偏小,也不會和有效應力法的安全系數(shù)式(9)等價.

2.3 畢肖普法中滲流條件下總應力和有效應力法求解應用分析

在滲流情況下,總應力法仍沿用式(8)不變,且由于該式并不需要水平力不存在的假設前提,因此式(8)在滲流條件下亦是精確解.而對有效應力法而言,若將浮力和滲流力分別考慮,需在式(9)利用土體的有效重力密度考慮浮力影響的基礎上,再用流網(wǎng)法計算滲流力.總應力法和有效應力法計算得到的安全系數(shù)應完全一致,但計算過程總應力法明顯便捷.即任何的滑弧分析法,只要考慮了條間力,特別是考慮了條間水平力的情況,總應力法與有效應力法在計算土坡安全系數(shù)值上是基本等價的,而總應力法在計算便捷程度上反而更勝一籌.

3 結(jié) 語

本文通過物理上的嚴格分析,明晰了有效應力法和總應力分析法在圓弧滑動法應用中的注意點和缺點.瑞典條分法中,2種應力分析法均可采用.但從誤差程度以及便捷角度分析,靜水條件下建議采用以浮力形式來綜合考慮土條各側(cè)面上水壓力合力作用的有效應力法公式;滲流條件下建議采用有效應力法公式或修正的總應力法公式.而在畢肖普法中,有效應力法和總應力法在物理意義上完全等價,但從操作便利性上而言,靜水條件下推薦有效應力法,滲流條件下則建議采用總應力法.

由于目前國內(nèi)的行業(yè)規(guī)范有關土坡穩(wěn)定圓弧滑動計算方法并不統(tǒng)一,主要采用不考慮條間作用力的瑞典條分總應力法和考慮條間水平作用力的簡化畢肖普法.其中如港口及航道護岸工程設計與施工規(guī)范[12]、水利水電工程邊坡設計規(guī)范[13]采用簡化畢肖普法計算穩(wěn)定系數(shù),未采用瑞典條分法,且前者將式(9)中mi中的Fs賦值為1,從而使安全系數(shù)計算變?yōu)轱@式;而后者完全按照式(9)迭代計算安全系數(shù).堤防工程設計規(guī)范[4]土坡抗滑穩(wěn)定計算則只選用瑞典條分法,而碾壓式土石壩設計規(guī)范[5]除了采用瑞典條分法、簡化畢肖普法,還給出了其他計算方法.筆者希望通過本文的分析,將各種分析方法在巖土力學基本概念層面的認識先予以明晰強調(diào),進而為各種規(guī)范計算方法的統(tǒng)一以及相關工程安全與經(jīng)濟的設計方法提供有益的借鑒.

致謝:本文成稿過程中得到劉平博士研究生的諸多修改建議,在此特表感謝.

[1]孫敏.邊坡穩(wěn)定分析中瑞典條分法的改進[J].吉林大學學報:地球科學版,2007,37(增刊1):225-227.(SUN Min.Modification of Swedish slice method in slope stability analysis[J].Journal of Jilin University:Earth Science,2007,37(Sup1):225-227.(in Chinese))

[2]林麗,鄭穎人,孔亮,等.條分法的統(tǒng)一公式及其分析[J].地下空間,2002,22(3):252-255.(LIN Li,ZHENG Ying-ren,KONG Liang,et al.Unified formula for the slice methods and its analysis[J].Underground Space,2002,22(3):252-255.(in Chinese))

[3]毛昶熙,段祥寶,吳良驥.再論滲透力及其應用[J].長江科學院院報,2009,26(增刊1):1-5.(MAO Chang-xi,DUAN Xiangbao,WU Liang-ji.Discussion again on seepage force and its application[J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,2009,26(Sup1):1-5.(in Chinese))

[4]GB50286—98 堤防工程設計規(guī)范[S].

[5]SL274—2001 碾壓式土石壩設計規(guī)范[S].

[6]毛昶熙,段祥寶.關于滲流的力及其應用[J].巖土力學,2009,30(6):1569-1574.(MAO Chang-xi,DUAN Xiang-bao.On seepage forces and its application[J].Rocks and Soil Mechanics,2009,30(6):1569-1574.(in Chinese))

[7]鄭穎人,唐曉松.庫水作用下的邊(滑)坡穩(wěn)定性分析[J].巖土工程學報,2007,29(8):1115-1121.(ZHENG Ying-ren,TANG Xiao-song.Stability analysis of slopes under drawdow ncondition of reservoirs[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2007,29(8):1115-1121.(in Chinese))

[8]盧廷浩.土力學[M].2版.南京:河海大學出版社,2005:235-244.

[9]尤明慶.均質(zhì)土坡的圓弧滑動分析[J].巖土力學,2009,29(8):2025-2032.(YOU Ming-qing.Analysis of homogeneous soil slope slipping in circu lar arc[J].Rocks and Soil Mechanics,2009,29(8):2025-2032.(in Chinese))

[10]BISHOP A W.The use of the slip circle in the stability analysis of slopes[J].Geotechnique,1955,5(1):7-17.

[11]殷宗澤.土工原理[M].南京:河海大學出版社,2007:411-413.

[12]JTJ300—2000 港口及航道護岸工程設計與施工規(guī)范[S].

[13]SL386—2007 水利水電工程邊坡設計規(guī)范[S].