楊 平，余 潔，孫宇貞

(上海電力學院電力與自動化工程學院，上海 200090)

在控制器的設(shè)計方法中，除了常規(guī)的頻域法、根軌跡法和狀態(tài)反饋極點配置法以外，還有一種標準函數(shù)設(shè)計法［1］.運用該設(shè)計方法時，一旦選定具有最優(yōu)性能的標準傳遞函數(shù)，并推導出含有已知的受控過程模型參數(shù)和待求的控制器參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，則控制器參數(shù)就可通過簡單的代數(shù)運算算出，既不需要復雜的最優(yōu)化算法，也不需要大量的整定試驗.正是由于這種方法的獨特思路和設(shè)計的簡捷性，近30年來吸引了不少學者對其進行擴展研究，并且取得了大量成果［2-10］.在應用標準函數(shù)設(shè)計法時，常用的閉環(huán)系統(tǒng)標準傳遞函數(shù)主要有兩種:ITAE標準傳遞函數(shù)［11］和Butterworth標準傳遞函數(shù)［12］.我國的學者在應用這兩種標準傳遞函數(shù)中發(fā)現(xiàn)了一些不足，并對其進行了一些完善，包括對ITAE標準傳遞函數(shù)的改進研究［13-16］和對 Butterworth標準傳遞函數(shù)的改進研究［17］.在形式上，所改變的是標準函數(shù)的多個系數(shù)數(shù)值.在實質(zhì)上的改變有:積分時間域的縮短，重新優(yōu)化計算，優(yōu)化方法選用遺傳算法，其中最主要的是減少了超調(diào)量.在應用標準傳遞函數(shù)法設(shè)計控制器的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，除了上述兩種標準傳遞函數(shù)外，更好用的標準傳遞函數(shù)是多容慣性標準傳遞函數(shù).

1 常用的閉環(huán)系統(tǒng)標準傳遞函數(shù)

1.1 ITAE標準傳遞函數(shù)

ITAE標準傳遞函數(shù)是使系統(tǒng)ITAE指標最小的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù).根據(jù)文獻［13］，1型系統(tǒng)的ITAE標準傳遞函數(shù)為:

其1至8階函數(shù)的各系數(shù)值見表1.

2型系統(tǒng)的ITAE標準傳遞函數(shù)為:

其2至6階函數(shù)的各系數(shù)值見表2.

表1 1型系統(tǒng)的ITAE標準傳遞函數(shù)1至8階的系數(shù)值

表2 2型系統(tǒng)的ITAE標準傳遞函數(shù)2至6階的系數(shù)值

在應用這些標準傳遞函數(shù)之前，先要設(shè)定閉環(huán)系統(tǒng)的自然振蕩頻率ωn，這個參數(shù)決定了閉環(huán)系統(tǒng)的快速性能(即閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性帶寬).確定ωn時，既要追求快速理想性能，又要顧及實際的物理約束，因此需要經(jīng)過數(shù)次的試湊.

1.2 Butterworth標準傳遞函數(shù)

Butterworth標準傳遞函數(shù)是通過將系統(tǒng)極點均勻地配置在根平面中以原點為中心、以ωn為半徑的左半平面圓周上形成的.根據(jù)文獻［1］，1型系統(tǒng)的Butterworth標準傳遞函數(shù)也如式(1)所示，但其1至6階函數(shù)的各系數(shù)值如表3所示.

表3 1型系統(tǒng)的Butterworth標準傳遞函數(shù)1至6階的系數(shù)值

同樣，在應用這種標準傳遞函數(shù)之前，先要設(shè)定閉環(huán)系統(tǒng)的自然振蕩頻率ωn.

2 多容慣性標準傳遞函數(shù)

2.1 多容慣性標準傳遞函數(shù)的建立

多容慣性標準傳遞函數(shù)為:

式中:T——慣性單元的慣性時間;

γi——多項式展開函數(shù)的系數(shù)，i=0，1，2，…，n－1.

式中的系數(shù)λi(i=1，2，…，n－1)可根據(jù)代數(shù)學中的二項式定理推算得到，如表4所示.

由表4可以看出，多容慣性標準傳遞函數(shù)的系數(shù)值就是著名的楊輝三角形數(shù)陣中不含1的內(nèi)核部分，推算過程非常簡單.例如，n=4時的系數(shù)值6可由n=3時的系數(shù)3+3得出，n=5時的系數(shù)值10可由n=4時的系數(shù)4+6得出，以此類推.

表4 多容慣性標準傳遞函數(shù)中的系數(shù)λi

當系數(shù) λi(i=1，2，…，n－1)由表4得出后，則系數(shù) γi(i=1，2，…，n －1)可由式(5)求得.

2.2 多容慣性標準傳遞函數(shù)的優(yōu)勢

與ITAE標準傳遞函數(shù)和Butterworth標準傳遞函數(shù)相比，多容慣性標準傳遞函數(shù)有3點優(yōu)勢:建立容易、無超調(diào)量和更便于工程應用.

通過多容慣性標準傳遞函數(shù)系數(shù)的建立過程，表明該函數(shù)的建立遠比其他兩種標準傳遞函數(shù)簡單，而且可以輕松地推算出任意高階的標準傳遞函數(shù).

多容慣性標準傳遞函數(shù)所定制的系統(tǒng)只有負實數(shù)特征根，自然能實現(xiàn)零超調(diào).而為了將ITAE標準傳遞函數(shù)的超調(diào)量壓低至5%以下，許多科研人員進行了大量研究.Butterworth標準傳遞函數(shù)的建立雖比ITAE標準傳遞函數(shù)要容易，但它所定制的系統(tǒng)的超調(diào)量遠大于ITAE標準傳遞函數(shù)，這也是Butterworth標準傳遞函數(shù)在工程中應用較少的原因之一.

應用ITAE標準傳遞函數(shù)和Butterworth標準傳遞函數(shù)時，必須先確定系統(tǒng)的自然振蕩頻率ωn.而應用多容慣性標準傳遞函數(shù)時，必須先確定慣性單元的慣性時間T.

在理論上，T和ωn只是互為倒數(shù)的參數(shù)，并無本質(zhì)差別.但在工程應用上，慣性時間T的物理意義更直觀，更容易讓工程技術(shù)人員掌握.假如，一階慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間ts為慣性時間T的3倍，即ts=3T;n階慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間ts將為ts=3nT;那么，只要確定了期望的控制系統(tǒng)調(diào)整時間ts，就可輕松算得慣性單元的慣性時間 T，即 T=ts/3n.

假設(shè) ωn=T=1，n=6，通過圖 1所示的Simulink試驗系統(tǒng)(選擇標幺系統(tǒng)，輸出量無量綱)進行階躍響應試驗，可得到圖2所示的結(jié)果.

圖1 Simulink試驗系統(tǒng)

圖2 4種標準傳遞的階躍響應曲線

由圖2可知，當多容慣性標準傳遞函數(shù)的慣性時間T=1時，ITAE標準傳遞函數(shù)的階躍響應最好，而多容慣性標準傳遞函數(shù)的響應最差.但若將多容慣性標準傳遞函數(shù)的慣性時間改為T=0.5，則多容慣性標準傳遞函數(shù)的響應就成為最好的.由此可見，通過慣性時間T的選擇，可以得到期望的理想響應.當然，這個理想響應能否實現(xiàn)，還取決于實際的物理約束條件.

3 結(jié)論

(1)在多容慣性標準傳遞函數(shù)的建立過程中，利用了代數(shù)二項式定理和楊輝三角形數(shù)陣，因此該函數(shù)具有了建立簡便、易于推廣到高階系統(tǒng)的特點.

(2)多容慣性標準傳遞函數(shù)所固有的無超調(diào)性能使其在動態(tài)特性上遠比ITAE標準傳遞函數(shù)和Butterworth標準傳遞函數(shù)優(yōu)越.

(3)應用多容慣性標準傳遞函數(shù)所需整定的是慣性單元的慣性時間T，它比ITAE標準傳遞函數(shù)和Butterworth標準傳遞函數(shù)所用的自然振蕩頻率ωn更易被工程師掌握和應用.

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