尹武良，王 奔，王化祥

(天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072)

電學(xué)層析成像是一種通過(guò)在物體邊緣進(jìn)行電、磁測(cè)量而得到物體內(nèi)二維分布的層析成像方法．它包含 3個(gè)主要模態(tài)，即電容層析成像(electrical capacitance tomography，ECT)、電阻層析成像(electrical resistance tomography，ERT)及電磁層析成像(electromagnetic tomography，EMT)[1]．EMT 廣泛應(yīng)用于工業(yè)過(guò)程的可視化[2-3]及生物層析成像測(cè)量[4-6]．EMT傳感器由一組8個(gè)或16個(gè)均勻分布在物體外圍的線圈組成，通過(guò)線圈之間互感和自感的測(cè)量而進(jìn)行圖像重建．

相敏解調(diào)[7]是從接收線圈測(cè)得的電壓信號(hào)中提取幅值和相位信息的過(guò)程，是電磁層析成像技術(shù)的重要環(huán)節(jié)．?dāng)?shù)字解調(diào)是由高速 A/D轉(zhuǎn)換器對(duì)被測(cè)信號(hào)采樣，利用高性能數(shù)字信號(hào)處理器件，如 FPGA、DSP等，采用數(shù)值計(jì)算的方法提取被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息的過(guò)程．常用的解調(diào)方法有快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)解調(diào)和正交序列解調(diào)．正交序列解調(diào)[8-10]可以看作是FFT解調(diào)在數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)化，它克服了模擬電路固有的誤差和系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，滿足信號(hào)分析所要求的高性能和快速測(cè)量等[11-12]．

一般地，參考信號(hào)是預(yù)先計(jì)算好的正余弦函數(shù)值，存儲(chǔ)在處理器內(nèi)，因此，解調(diào)過(guò)程即為查表求取離散的正、余弦參考值，并同采集到的信號(hào)相乘、累加的過(guò)程．通常，電學(xué)層析成像運(yùn)用整周期的倍數(shù)采樣進(jìn)行正交序列解調(diào)，本文提出了采樣半周期的正交序列解調(diào)方法，給出了基于 Matlab的仿真結(jié)果和基于實(shí)際硬件系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并從頻域的角度給出了理論解釋．采樣半周期明顯提高了信號(hào)解調(diào)速度，改進(jìn)了圖像采集的實(shí)時(shí)性．這對(duì) EMT以及 ECT、ERT有重要的意義．

1 理論分析

1.1 正交序列解調(diào)的FFT解釋

定義同相參考信號(hào) ()r n、正交參考信號(hào) ()q n及被解調(diào)信號(hào) ()s n分別為

式中：N為整周期采樣點(diǎn)數(shù)；θ為初始相位．則同相分量為

正交分量為

具體實(shí)現(xiàn)中，參考信號(hào)是預(yù)先計(jì)算好的正、余弦函數(shù)值，因此，解調(diào)即為被解調(diào)信號(hào)與參考信號(hào)的相乘和累加的過(guò)程．

對(duì)比 FFT運(yùn)算，假設(shè)僅通過(guò)單周期的被測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行解調(diào)，即

當(dāng)k＝1時(shí)，有

可見(jiàn) (1)S 的實(shí)部、虛部分別為R和I，這與上述正交序列解調(diào)的結(jié)果相同．而與FFT解調(diào)相比，數(shù)字正交序列解調(diào)的計(jì)算量明顯降低，對(duì)于整數(shù)周期內(nèi)連續(xù)的N個(gè)采樣點(diǎn)，正交解調(diào)僅需進(jìn)行2N次實(shí)數(shù)乘法和2N次累加運(yùn)算．

通常而言，采樣周期越多，解調(diào)的精度越好，抗噪聲能力越好，而測(cè)量的實(shí)時(shí)性會(huì)下降．周期的選擇要根據(jù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求進(jìn)行調(diào)整．

1.2 正交序列解調(diào)的頻域解釋

假設(shè) s( t) = Asin(ω t+? )為被解調(diào)信號(hào)，則根據(jù)乘法解調(diào)的公式

圖1 階躍窗函數(shù)和頻域響應(yīng)Fig.1 Step function and frequency response

不難看出，將 2倍頻信號(hào)濾波去除之后，乘法器的輸出即為解調(diào)需要的結(jié)果，即被解調(diào)信號(hào)的實(shí)部和虛部．

在數(shù)字正交解調(diào)中，對(duì)于相乘后信號(hào)的整周期進(jìn)行疊加，等效于使之與階躍窗函數(shù)進(jìn)行卷積，而時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)于頻域內(nèi)的相乘；階躍窗函數(shù)在頻域中存在許多零點(diǎn)，當(dāng)階躍窗函數(shù)的長(zhǎng)度為整周期時(shí)，其中的一個(gè)零點(diǎn)正好在2倍頻處，于是可將2倍頻信號(hào)完全消除，因此信號(hào)數(shù)字正交解調(diào)后便獲得原信號(hào)的實(shí)部和虛部．

由圖1可見(jiàn)，如果采樣信號(hào)的一個(gè)整周期進(jìn)行解調(diào)，便利用了第 2個(gè)頻率過(guò)零點(diǎn)；由此可以推論，利用第 1個(gè)頻率過(guò)零點(diǎn)，便可實(shí)現(xiàn)采樣半周期對(duì)信號(hào)解調(diào)，這樣，信號(hào)解調(diào)速度至少可以提高 1倍，相應(yīng)的圖像采集數(shù)也增加1倍．圖2為利用Matlab對(duì)半周期信號(hào)解調(diào)的結(jié)果，

圖2 相位超前30°、幅值為3的半周期正弦信號(hào)Fig.2 Half-period sinusoidal signal with phase ahead 30 degree，amplitude equal to 3

利用一個(gè)周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行解調(diào)的公式為

當(dāng)k＝1時(shí)，有

對(duì)于半周期采樣解調(diào)，假設(shè)式(1)中的 N為單周期采樣數(shù)，式(2)和式(3)可轉(zhuǎn)化為可簡(jiǎn)化為

由式(9)和式(10)可得

利用半周期解調(diào)的技術(shù)，對(duì)于 8線圈系統(tǒng)，如果在100,kHz激勵(lì)頻率下，那么理論上每秒鐘最大可采集3,572幅實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)用于圖像重建．

2 仿真與實(shí)驗(yàn)

2.1 正交序列解調(diào)Matlab仿真

由圖 3和圖 4可見(jiàn)，當(dāng)采樣的點(diǎn)數(shù)任意時(shí)，A、φ的值呈現(xiàn)震蕩現(xiàn)象．值得注意的是，在Matlab仿真下，采用正交序列解調(diào)算法，采樣半個(gè)周期同樣可解調(diào)出輸入信號(hào)的相位和幅值，分別為和 1(圖中虛線所示)，圖中，當(dāng)橫軸取 2時(shí)，即采樣半周期．可見(jiàn)Matlab仿真證實(shí)了第1.2節(jié)的理論分析．

圖3 相位解調(diào)結(jié)果Fig.3 Demodulation result of phase

圖4 幅值解調(diào)結(jié)果Fig.4 Demodulation result of amplitude

2.2 正交序列解調(diào)仿真實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)采用天津大學(xué)數(shù)字電磁層析成像系統(tǒng)，如圖5和圖6所示．由DDS模塊產(chǎn)生頻率10 kHz的正弦波，A/D 轉(zhuǎn)換器的采樣頻率為 10,MHz，即每個(gè)周期采樣1,000個(gè)點(diǎn)．通過(guò)半周期解調(diào)與整周期解調(diào)結(jié)果的比較，驗(yàn)證半周期采樣解調(diào)方法的可行性．將FPGA中 IP核的參數(shù)分別設(shè)置為 500和 1,000，即MAC的累加個(gè)數(shù)為500和1,000．直接使用DDS產(chǎn)生的正弦和余弦參考序列對(duì)該正弦信號(hào)解調(diào)，這里共測(cè)量了 56次，正弦和余弦解調(diào)對(duì)比結(jié)果分別如圖 7和圖8所示，數(shù)據(jù)如表1和表2所示．

圖7和圖8中的數(shù)據(jù)1分別代表了采樣半周期時(shí)，解調(diào)信號(hào)的實(shí)部和虛部值(16位的二進(jìn)制數(shù))；數(shù)據(jù)2分別代表了采樣整周期時(shí)，解調(diào)信號(hào)的實(shí)部和虛部值．比較被解調(diào)信號(hào)的實(shí)部和虛部等同于其幅值和相位．

圖5 數(shù)字EMT系統(tǒng)Fig.5 Digital EMT system

圖6 EMT系統(tǒng)傳感器示意Fig.6 Sensor schemes of EMT system

圖7 正弦參考信號(hào)解調(diào)對(duì)比Fig.7 Comparison of sinusoidal reference signal

圖8 余弦參考信號(hào)解調(diào)對(duì)比Fig.8 Comparison of cosinusoidal reference signal

表1 采樣半周期的實(shí)部與虛部解調(diào)結(jié)果Tab.1 Real and Imaginary part demodulation results of half-period sampling

表2 采樣整周期的實(shí)部和虛部解調(diào)結(jié)果Tab.2 Real and Imaginary part demodulation results of full-period sampling

分別對(duì)表 1、表 2的 56組測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，2組數(shù)據(jù)相似度高，實(shí)部變化在 1%以內(nèi)，虛部變化在0.025%以內(nèi)．這也直觀地解釋了采樣半周期解調(diào)的可行性．從圖中還可知采樣整周期解調(diào)的振蕩幅度比半周期解調(diào)的小，因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)數(shù)增加會(huì)引起抗噪聲能力增強(qiáng)．但是在一些要求成像速度較高的應(yīng)用(比如鋼水流型檢測(cè)、高速流體成像)中，半周期解調(diào)能提高解調(diào)的速度以及后續(xù)成像的速度，是一種有潛力的方法．

2.3 成像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于第2.2節(jié)的數(shù)字EMT系統(tǒng)，在傳感器(如圖8所示)內(nèi)放置鋁棒和銅棒進(jìn)行成像實(shí)驗(yàn)，其中鋁的電導(dǎo)率為3 . 82× 107S/m，銅的電導(dǎo)率為5.80× 107S/m．本實(shí)驗(yàn)使用直徑為 12.5,mm的銅棒和鋁棒，采用靈敏度系數(shù)法進(jìn)行圖像重建．成像結(jié)果如表3所示．

表3 基于實(shí)際硬件系統(tǒng)的成像結(jié)果Tab.3 Imaging results based on real hardware system

基于半周期采樣的正交序列解調(diào)方法通過(guò)減少采樣點(diǎn)數(shù)量，提高采樣速度，改進(jìn)圖像采集的實(shí)時(shí)性．由表 3清晰可見(jiàn)，這種方法成像與整周期采樣成像沒(méi)有顯著差別，同樣能得到較好的重建圖像．這為半周期采樣解調(diào)運(yùn)用在一些要求成像速度較高的場(chǎng)合提供了依據(jù)．

3 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)數(shù)字正交序列解調(diào)，本文在進(jìn)行頻域分析的基礎(chǔ)上，從理論上解釋了正交序列解調(diào)．并且從實(shí)驗(yàn)、Matlab仿真以及理論上驗(yàn)證了采樣半周期正交序列解調(diào)的可行性和有效性．半周期采樣相比于通常的整周期倍數(shù)采樣，解調(diào)速度至少可以提高1倍，單位時(shí)間相應(yīng)重建圖像幅數(shù)也可以增加1倍．它可應(yīng)用于一些對(duì)速度要求較高的成像中(比如鋼水流型檢測(cè)、高速流體成像)，半周期采樣解調(diào)是一種有潛力的方法．

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