楊海鳴 楊 帆

（深圳地鐵集團(tuán)有限公司1） 深圳 518026）（同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所2） 上海 200092）

近來(lái)被譽(yù)為分析信號(hào)的數(shù)學(xué)顯微鏡的小波變換［1］，以其在信號(hào)處理方面的強(qiáng)大功能，正被逐步引入到結(jié)構(gòu)健康診斷中.利用模態(tài)測(cè)試識(shí)別模態(tài)參數(shù)是進(jìn)行結(jié)構(gòu)健康診斷的有效方法，而將小波變換應(yīng)用到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)［2］上（例如模態(tài)振型），對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷檢測(cè)，為結(jié)構(gòu)健康診斷開(kāi)拓了一個(gè)新的研究領(lǐng)域.由于Fourier變換缺乏空間局部性［3－4］，因此由函數(shù)的Fourier變換只能確定其奇異性的整體性質(zhì)而難以確定其奇異性的空間分布情況.也就是說(shuō)當(dāng)函數(shù)有許多奇點(diǎn)時(shí)，用Fourier變換難以確定各奇點(diǎn)的位置及各奇點(diǎn)奇異性的強(qiáng)弱.

1 信號(hào)奇異性與小波模極大值的關(guān)系

小波變換除了可以寫(xiě)成的內(nèi)積形式以外，還可以寫(xiě)成卷積形式［5－6］，它們?cè)诒举|(zhì)上是一樣的.下面列出卷積形式：

設(shè)h（t）是函數(shù)f（t）和g（t）的卷積，則根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)有

若將函數(shù)f（t）看做是信號(hào)，g（t）看做是濾波器，那么，信號(hào)的導(dǎo)數(shù)與濾波器的卷積結(jié)果可看成是濾波器的導(dǎo)數(shù)與信號(hào)的卷積.例如，如果選g（t）為高斯函數(shù)，則利用其導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)造Morlet小波和Maar小波，因此，小波變換的突變點(diǎn)和極值點(diǎn)與信號(hào)f（t）的突變點(diǎn)和極值點(diǎn)具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用小波變換可以檢測(cè)突變信號(hào).具體過(guò)程如下.

設(shè)θ（t）是一個(gè)起平滑作用的低通平滑函數(shù)，且滿足條件為

通常θ（t）取為高斯函數(shù)，即

假設(shè)θ（t）是二次可導(dǎo)的，并且定義為

則函數(shù)ψ（1）（t），ψ（2）（t）滿足小波的容許條件，即

因此，可用為小波母函數(shù).

由于階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是脈沖函數(shù)，脈沖函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零.如果信號(hào)中存在階躍型奇異點(diǎn)，當(dāng)小波函數(shù)可看做某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，就會(huì)在該點(diǎn)產(chǎn)生小波變換模的局部極值點(diǎn).當(dāng)小波函數(shù)可看做某一平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換模的過(guò)零點(diǎn)，這就是采用檢測(cè)小波變換系數(shù)模的過(guò)零點(diǎn)和局部極值點(diǎn)可檢測(cè)信號(hào)的突變點(diǎn)的原理.

由上面敘述可知，要想使信號(hào)的不同類型奇異點(diǎn)經(jīng)過(guò)小波變換后得到過(guò)零點(diǎn)或是局部極值點(diǎn)需要針對(duì)不同的奇異點(diǎn)類型選用不同的小波，其主要原則是看小波是光滑函數(shù)的幾階導(dǎo)數(shù).文獻(xiàn)［7－8］中介紹了一個(gè)非常有用的定理：快速衰減的小波ψ具有n階消失矩，當(dāng)且僅當(dāng)存在快速衰減函數(shù)θ使得此時(shí)的小波變換為可見(jiàn)如果小波函數(shù)是平滑函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)那么它的消失矩就是n.

2 信號(hào)奇異性指數(shù)和小波模極大值的關(guān)系

將離散母函數(shù)ψj，k（t）改寫(xiě)為

式中：s＝2j；~t在ψj，k（t）的支集內(nèi).

于是j尺度下的小波變換的?？杀硎緸榇耸椒嚼ㄌ?hào)中權(quán)是有界量，故有

因?yàn)閍＝2－j所以還有式

當(dāng)小波平移到奇異點(diǎn)時(shí)，取等號(hào).

由上式可知小波變換模極大值大小隨尺寸變化的規(guī)律：（1）若α＜0，例如在δ函數(shù)或尖峰函數(shù)的突變點(diǎn)處，隨著j值得增大（尺寸變細(xì)），將越來(lái)越大.對(duì)于白噪聲信號(hào)來(lái)說(shuō)，因?yàn)樗请S機(jī)的、且是密集地逐點(diǎn)滴類似于δ函數(shù)形的，所以其指數(shù)α＜0，其小波變換幅值也是隨j值增大而增大且是密集的；（2）若α＝0，例如在階躍函數(shù)突變點(diǎn)，不隨尺寸的改變而變化；（3）若α＞0，例如在折線突變點(diǎn)處，隨著j值增大（尺寸變細(xì)），越來(lái)越小.

檢索并保留突變點(diǎn)t0處不同層的小波變換模極大值，標(biāo)記如下.

應(yīng)該看到，在較細(xì)尺度層上作上述估計(jì)才是較準(zhǔn)確的，在多個(gè)較細(xì)尺度層上作上述估計(jì)可獲得較穩(wěn)定的結(jié)果.

3 結(jié)構(gòu)損傷分類

設(shè)w為平面結(jié)構(gòu)豎向位移，結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力可以表達(dá)為

完整結(jié)構(gòu)在任何受力狀態(tài)下，位移、轉(zhuǎn)角都是連續(xù)的；當(dāng)結(jié)構(gòu)上沒(méi)有集中力偶作用時(shí)，無(wú)論結(jié)構(gòu)完整與否，彎矩都是連續(xù)的；當(dāng)結(jié)構(gòu)上沒(méi)有集中荷載作用時(shí)，無(wú)論結(jié)構(gòu)完整與否，剪力也應(yīng)該是連續(xù)的，但是由于這種受力狀態(tài)（結(jié)構(gòu)上不受集中荷載）在工程中非常少見(jiàn)，不具備普遍性，所以可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)中的剪力本身是不連續(xù)的.取結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)x＝a，有如下連續(xù)性表達(dá)式

如果信號(hào)產(chǎn)生了損傷，那么其位移信號(hào)將會(huì)在損傷點(diǎn)產(chǎn)生奇異性，針對(duì)對(duì)位移信號(hào)奇異性的幾種分類，下面指出其對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷類型：

1）如果位移信號(hào)在a點(diǎn)不連續(xù)，即w（a＋）≠w（a－）.對(duì)于2種不連續(xù)情況，如果位移發(fā)生了階變型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點(diǎn)錯(cuò)動(dòng).如果位移發(fā)生了尖峰型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點(diǎn)起拱.

2）如果位移信號(hào)一階導(dǎo)數(shù)在a點(diǎn)不連續(xù)，這相當(dāng)于轉(zhuǎn)角信號(hào)不連續(xù)，此時(shí)即對(duì)于2種不連續(xù)情況，如果位移信號(hào)一階導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了階變型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點(diǎn)發(fā)生整體轉(zhuǎn)動(dòng).如果位移信號(hào)一階導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了尖峰型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點(diǎn)結(jié)構(gòu)在a點(diǎn)發(fā)生局部轉(zhuǎn)動(dòng).

綜上，可以將結(jié)構(gòu)的損傷形式歸結(jié)為4類：起拱、錯(cuò)動(dòng)、局部剛度衰減及整體剛度衰減.由階變型和尖峰型的導(dǎo)數(shù)關(guān)系可知，高階的尖峰型突變實(shí)際上是降一階的階變型突變，所以與結(jié)構(gòu)損傷類型相對(duì)應(yīng)的位移信號(hào)奇異性為：位移發(fā)生了突變和階變、位移的二階導(dǎo)數(shù)發(fā)生突變和階變.

4 實(shí)例分析及討論

利用懸臂梁縱向位移信號(hào)和縱向位移差信號(hào)對(duì)4種損傷類型進(jìn)行奇異性檢測(cè)，主要比較兩種方法在形成模極值點(diǎn)、模峰值點(diǎn)、以及奇異點(diǎn)最終定位上的效果，同時(shí)研究模極值點(diǎn)分布規(guī)律以便對(duì)奇異點(diǎn)定位作輔助判斷.對(duì)于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)其第一階振型和位移十分相似，可以用振型信號(hào)代替位移信號(hào).

基本參數(shù) 模擬一懸臂梁，其基本數(shù)據(jù)為：梁長(zhǎng)5 m，寬0.4 m，高0.4 m，材料密度ρ＝7 800 kg／m3，泊松比υ＝0.2，梁完好時(shí)彈性模量E＝2×1011Pa.將梁身劃分為100個(gè)單元，101個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)50號(hào)單元以后的所有單元彈性模量加以修改，分別改為E＝2×1010Pa和E＝1×1011Pa，得到一階振型圖如圖1、圖2所示.

圖1 52號(hào)節(jié)點(diǎn)剛度強(qiáng)突變

圖2 52號(hào)節(jié)點(diǎn)剛度弱突變

本文采用gaus3小波.對(duì)圖1示信號(hào)作小波變換，并提取其模極大值，畫(huà)出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見(jiàn)圖3.

圖3 圖1所示信號(hào)模極大值分布（尺度a為1～8）

利用guas3小波，對(duì)圖1所示信號(hào)和無(wú)損信號(hào)之差作小波變換（尺度a從1～8），并提取其模極大值，畫(huà)出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見(jiàn)圖4.

圖4 圖1所示信號(hào)差模極大值分布（尺度a為1～8）

利用gaus3小波對(duì)圖2所示信號(hào)作小波變換，并提取其模極大值，畫(huà)出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見(jiàn)圖5.

圖5 圖2所示信號(hào)模極大值分布（尺度a為1～8）

利用guas3小波，對(duì)圖2所示信號(hào)和無(wú)損信號(hào)之差作小波變換（尺度a從1～8），并提取其模極大值，畫(huà)出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見(jiàn)圖6.

圖6 圖2所示信號(hào)差模極大值分布（尺度a為1～8）

從圖3～6可見(jiàn)利用模極大值分布圖來(lái)辨別奇異點(diǎn)，從圖中可以看出在尺度8以內(nèi)，51號(hào)節(jié)點(diǎn)處能夠形成一條不偏移的模極大值線（豎線）.因?yàn)槭?0號(hào)單元損傷所以損傷點(diǎn)出現(xiàn)在51節(jié)點(diǎn)是非常精確的.模極大值分布是確定損傷位置的最佳方法.

5 結(jié) 論

1）為方便計(jì)算，選用的比較簡(jiǎn)單的小波，而所選小波的不同肯定會(huì)引起合成地震動(dòng)的時(shí)頻特性的不同，如何針對(duì)不同的工程要求，選擇最佳的小波是基于小波的地震動(dòng)合成研究中的一個(gè)非常重要的課題.

2）本文提到了信號(hào)降解方法，并得出結(jié)論有損信號(hào)和無(wú)損信號(hào)差是對(duì)梁結(jié)構(gòu)的一種有效的降解方法，但這種方法是特定的，針對(duì)不同的結(jié)構(gòu)，不同的奇異性類型尋找新的降解方法將是小波探傷研究中的另一個(gè)重要課題.

3）利用小波模極大值的分布可以更加清晰的判定損傷位置.

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