733000 甘肅省武威第十三中學(xué) 張曉輝

鐘面上的數(shù)學(xué)問(wèn)題

733000 甘肅省武威第十三中學(xué) 張曉輝

鐘面行程問(wèn)題是研究鐘面上的時(shí)針和分針關(guān)系的問(wèn)題.在鐘面上每針都沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，但因速度不同總是分針追趕時(shí)針，或是分針超越時(shí)針的局面，因此常見(jiàn)的鐘面問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題或相遇問(wèn)題來(lái)解決.

1 時(shí)針與分針的重合問(wèn)題——可轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題解決

鐘面上除了12點(diǎn)到1點(diǎn)這一時(shí)段里分針一開(kāi)始就領(lǐng)先時(shí)針跑在前面不會(huì)與時(shí)針重合外，其它時(shí)段，分針總能在某一時(shí)刻追上時(shí)針并與時(shí)針正好重合.這樣，就形成了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：時(shí)針與分針究竟在幾時(shí)幾分重合?

我們就可以將此題理解成跑得快的分針在后面追跑得慢的時(shí)針，這樣，時(shí)針與分針的重合問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了追擊問(wèn)題.

問(wèn)題1 3時(shí)多少分時(shí)，時(shí)針與分針重合?

分析 這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，3時(shí)分針指著12，時(shí)針指著3，分針與時(shí)針相距5×3=15小格(90°).分針每分鐘走 1 小格(6°)，時(shí)針每分鐘走小格(0.5°).要使分針與時(shí)針重合，分針要比時(shí)針多走15小格(90°).根據(jù)追及問(wèn)題中的速度差×追及時(shí)間=路程差列式即可.

圖1

解 設(shè)分針到x分時(shí)，時(shí)針與分針重合.

根據(jù)題意，得

問(wèn)題2 一晝夜時(shí)針和分針能重合多少次?

解析 如果我們把零點(diǎn)看作是重合的，那么12點(diǎn)、24點(diǎn)就不算重合，否則就重復(fù)計(jì)數(shù)了.這樣答案就很清楚了：從1點(diǎn)開(kāi)始的每一整點(diǎn)開(kāi)始，到下一整點(diǎn)，都是分針追趕時(shí)針，并且在一定的時(shí)刻一定會(huì)相遇.24小時(shí)內(nèi)，時(shí)針和分針重合22次，既不是24次，也不是23次.你可以轉(zhuǎn)動(dòng)一只手表來(lái)檢驗(yàn)一下.

方法總結(jié)

2 時(shí)針與分針的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題——可轉(zhuǎn)化為相遇問(wèn)題解決

時(shí)針與分針正好處在某一數(shù)字的兩邊，并且與這一數(shù)字所在軸線形成的夾角相等，我們就說(shuō)：此時(shí)時(shí)針與分針關(guān)于某一數(shù)字對(duì)稱(chēng).

顯然，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中時(shí)針與分針的位置關(guān)系與重合問(wèn)題不完全相同，重合問(wèn)題中分針追到了時(shí)針，而對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中分針并沒(méi)有追到時(shí)針.如果仍用重合問(wèn)題的解題思路，本題無(wú)法解決.怎么辦?認(rèn)真觀察鐘面，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，分針與時(shí)針關(guān)于某一數(shù)字對(duì)稱(chēng)的情形，都是分針從數(shù)字12出發(fā)，追到快接近這個(gè)數(shù)字的時(shí)候，此時(shí)，分針離表示整點(diǎn)的數(shù)字有多遠(yuǎn)，時(shí)針就正好離開(kāi)這個(gè)數(shù)字有多遠(yuǎn)，如果時(shí)針倒過(guò)來(lái)行走相同時(shí)間，就正好與分針在分針現(xiàn)在所在的這一位置相遇.這樣，時(shí)針與分針的重合問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了相遇問(wèn)題.

問(wèn)題3 5點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“5”字的距離相等，并且在“5”的兩邊?

分析 假設(shè)5點(diǎn)以后，時(shí)針以相反的方向行走，時(shí)針和分針相遇的時(shí)刻就是本題所求的時(shí)刻.這就變成了相遇問(wèn)題，兩針?biāo)芯嚯x和是25小格(150°).

圖2

解 設(shè)經(jīng)過(guò)x分時(shí)，時(shí)針和分針離“5”字的距離相等，并且在“5”的兩邊.

根據(jù)題意，得

方法總結(jié)

3 時(shí)針與分針的夾角問(wèn)題——分多種情況綜合考慮

鐘面上時(shí)針與分針不停地走動(dòng)，它們之間的關(guān)系也在不停地在變化，就會(huì)出現(xiàn)重合，銳角，直角，鈍角，平角等情況.于是，就出現(xiàn)了下列幾種求角度的趣題：

3.1 求某一時(shí)刻時(shí)針與分針夾角的度數(shù)

問(wèn)題4 9時(shí)35分，時(shí)針與分針的夾角是多少度?

圖3

分析 我們可以將9時(shí)作為初始位置，9時(shí)35分時(shí)，分針指向7，分針經(jīng)過(guò)了35小格，時(shí)針走了35分鐘，走了×35格，分針走的格數(shù)加上時(shí)針與分針的夾角的格數(shù)，正好等于9對(duì)應(yīng)的格數(shù)加上時(shí)針35分鐘走的格數(shù).

解 設(shè)9時(shí)35分，時(shí)針與分針的夾角是x度.

答：9時(shí)35分，時(shí)針與分針的夾角是77.5°.

方法總結(jié)

一般地，時(shí)針與分針在某一時(shí)刻m時(shí)n分的夾角x，

3.2 求時(shí)針與分針何時(shí)成直角

問(wèn)題5 在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在什么時(shí)刻相互垂直?

圖4

分析 7點(diǎn)時(shí)分針指向12，時(shí)針指向7，分針在時(shí)針后面5×7=35(格).時(shí)針與分針垂直，即時(shí)針與分針相差15格，在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間，有兩種情況：

(1)分針在時(shí)針后面15格.從7點(diǎn)開(kāi)始，分針要比時(shí)針多走35-15=20(格).

解 設(shè)從7點(diǎn)開(kāi)始，經(jīng)過(guò) x分，時(shí)針與分針相互垂直.

根據(jù)題意，得

(2)分針在時(shí)針前面15格.從7點(diǎn)開(kāi)始，分針要比時(shí)針多走35+15=50(格).

根據(jù)題意，得

問(wèn)題6 時(shí)針與分針在11點(diǎn)幾分時(shí)相互垂直?

分析 11點(diǎn)時(shí)，時(shí)針在分針前11×5=55格，時(shí)針與分針要相互垂直，分針須在時(shí)針后15格或45格.從11點(diǎn)開(kāi)始，分針要比時(shí)針多走55-15=40(格)，或55-45=10(格).

解 設(shè)時(shí)針和分針在11點(diǎn)x分時(shí)相互垂直.

根據(jù)題意，得

方法總結(jié)

一般地，時(shí)針與分針在m時(shí)x分成直角(m是整數(shù)).

3.3 求時(shí)針與分針何時(shí)成平角

問(wèn)題7 在3點(diǎn)與4點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候反向成一直線?

分析 3點(diǎn)時(shí)分針指向12，時(shí)針指向3，分針在時(shí)針后面5×3=15(格).時(shí)針與分針?lè)聪虺梢恢本€，即時(shí)針與分針成180°角.從3點(diǎn)開(kāi)始，分針要比時(shí)針多走15+30=45(格).

圖5

解 設(shè)從7點(diǎn)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)x分，時(shí)針與分針?lè)聪虺梢恢本€.

根據(jù)題意，得

問(wèn)題8 時(shí)針和分針在10點(diǎn)幾分反向成一直線?

分析 10點(diǎn)時(shí)，時(shí)針在分針前50格，時(shí)針和分針?lè)聪?，時(shí)針須在分針前30格.從10點(diǎn)開(kāi)始，分針要比時(shí)針多走50-30=20小格.

解 設(shè)10點(diǎn)x分時(shí)針和分針?lè)聪颍?/p>

根據(jù)題意，得

方法總結(jié)

一般地，時(shí)針與分針在m時(shí)x分在一條直線上，若6點(diǎn)以前：x-x=5m+30(0≤m＜6，m為整數(shù))，若6點(diǎn)以后為整數(shù)).

20110715)