閔永生，羅景青，吳世龍

（解放軍電子工程學(xué)院電子對抗信息處理重點(diǎn)實(shí)驗室，安徽 合肥 230037）

0 引言

目前，對于星載基站的研究越來越多。由于受衛(wèi)星體積的限制，一般的星載基站都會采用小間距的陣列，而對于陣元間距小的陣列，其互耦問題一直是一個重要的研究方向。一般的解決互耦問題的方法都是先對互耦系數(shù)進(jìn)行測量，再通過互耦系數(shù)的測量值來對DOA估計算法進(jìn)行修正［1］。但互耦的測量精度往往不能滿足實(shí)際的工程應(yīng)用，當(dāng)用有誤差的互耦測量值對互耦效應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償時，會使陣列參數(shù)估計性能更加惡化。所以在實(shí)際工作中還要常常對互耦測量值進(jìn)行不斷地校正。

現(xiàn)有的種種陣列互耦校正技術(shù)［2－3］中，互耦矩陣的建模大多沒有采用特殊的矩陣結(jié)構(gòu)，而且由于互耦矩陣的自由度較大，通常的校正算法的參數(shù)空間維數(shù)很大，帶來了龐大的運(yùn)算量。文獻(xiàn)［4］利用了均勻線陣特殊的矩陣結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了均勻線陣的互耦自校正，但沒能解決均勻圓陣的互耦問題。本文在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，基于均勻圓陣提出了一種互耦條件下方位估計與互耦自校正算法。

1 陣列結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)模型

1.1 陣列結(jié)構(gòu)

L元均勻圓陣［5］，這里定義的均勻圓陣是指陣元均勻分布在圓周上的二維稀布陣，如圖1所示，均勻圓陣的半徑為r。

陣元在圓陣上的方位角為：

陣元位置為：

假設(shè)入射信號為窄帶遠(yuǎn)場信號，方位角和俯仰角分別為θ、β，均勻圓陣的陣元數(shù)目為L，入射信號的波長為λ，則第k個陣元相對于參考陣元相位差為：

即導(dǎo)向矢量表示為：

相應(yīng)地，陣列流型矩陣可以表示為：

圖1 均勻圓陣結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Str ucture of circular array

1.2 互耦條件下的陣列數(shù)據(jù)模型

陣列導(dǎo)向矢量建模時，通常假設(shè)各個陣元相對于其他陣元獨(dú)立工作。然而陣元間的互耦效應(yīng)在陣列天線的實(shí)際工作中常常是不可避免的，特別是陣元間距較小的陣列，陣元間的互耦效應(yīng)更加明顯。陣元存在互耦時，陣列導(dǎo)向矢量可修正為a～（θ，β）＝Za（θ，β），那么相應(yīng)地，陣列流型矩陣可表示為：

式（6）中，矩陣Z為反映陣元互耦效應(yīng)的互耦矩陣。通常情況下，陣元間的互耦效應(yīng)與陣元間距成反比；間距相同的陣元對應(yīng)的互耦系數(shù)相同。而對于均勻圓陣，它的互耦矩陣又具有特殊矩陣結(jié)構(gòu)。

對于均勻圓陣，可以用一個帶狀循環(huán)矩陣進(jìn)行建模［6］，如果陣列的互耦自由度為p，則循環(huán)矩陣的循環(huán)矢量可以定義為：

式（7）中，c（k）（k＝0，1，2，…，p－1）為陣元間互耦系數(shù)，c（0）表示陣元的自耦，其值為1。相應(yīng)地對于自由度為3的5元均勻圓陣，其互耦矩陣可表示為：

存在互耦時，利用陣元間的互阻抗的概念進(jìn)行研究，那么陣列最后的接收數(shù)據(jù)可以寫成：

對應(yīng)地，陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為：

式（10）中，Rs＝ E ［s（t）sH（t）］為信源的協(xié)方差矩陣，I為單位矩陣，σ2為噪聲功率。

由子空間理論知識可知互耦存在時的MUSIC算法為：

2 算法描述

2.1 算法原理

對于互耦存在時的陣列導(dǎo)向矢量a～（θ，β），可以對其進(jìn)行矩陣分解，使之成為兩個矩陣的乘積，一個矩陣只含有方位信息，一個矩陣只含有互耦信息，如式（12）所示：

式（12）中，z＝ ［c（0） c（1） … c（p－1）］T表示互耦矩陣中的非零元素，即互耦系數(shù)向量；L×p的矩陣T［a（θ，β）］可以根據(jù)均勻圓陣互耦矩陣的帶狀循環(huán)特性可以表示為

這就實(shí)現(xiàn)了方位信息和互耦信息的解耦合。

由子空間原理有，當(dāng) （θ，β）＝ （θ1，β1），（θ2，β2），…，（θN，βN）時：

但是我們注意到，由于互耦的影響，用式（16）來估計信號到達(dá)方向進(jìn)行搜索時，維數(shù)由不存在互耦時的二維變?yōu)镹＋2p－2維，計算量太大，不利于工程實(shí)現(xiàn)。

但如將式（13）代入式（16），則有新的代價函數(shù)

設(shè)C（θ，β）＝TH［a（θ，β）T［a（θ，β）］。由于互耦系數(shù)不全為0，即z≠0，則式（17）成立的充要條件是矩陣C（θ，β）為奇異矩陣，可以看出C（θ，β）與互耦信息無關(guān)。一般情況下，rank C（θ，β［］）＝p，即C（θ，β）是滿秩的，當(dāng)且僅當(dāng)（θ，β）為信號真實(shí)方向時C（θ，β）才是奇異陣?；诖嗽?，我們可以得到一種信號到達(dá)方向與互耦矩陣聯(lián)合估計方法

或

式（19）中，λmin· 為求矩陣最小特征值的算子，det · 為求矩陣行列式的算子。

再利用估計出的方位角和俯仰角得到互耦系數(shù)：

式（20）中，emin· 為求矩陣最小特征值對應(yīng)特征矢量的算子。

由以上分析可以看出，本算法的原理可以概括為：對互耦存在時的陣列導(dǎo)向矢量進(jìn)行矩陣分解，使之成為方位信息矩陣T［a（θ，β）］與互耦信息矢量z的乘積，方位信息矩陣T［a（θ，β）］可以根據(jù)均勻圓陣互耦矩陣的特性重構(gòu)，而互耦信息矢量z由p（p為互耦自由度）個未知的互耦系數(shù)組成。再根據(jù)子空間原理，構(gòu)造新的代價函數(shù)，可以準(zhǔn)確估計出信號的方位信息，再根據(jù)估計出的方位信息可以對互耦信息進(jìn)行估計，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)互耦自校正。

2.2 算法步驟

根據(jù)以上的分析過程，現(xiàn)將基于均勻圓陣信號到達(dá)方向與互耦系數(shù)聯(lián)合估計方法總結(jié)如下：

3）根據(jù)式（13）、式（14）、式（15）計算重構(gòu)矩陣T［a（θ，β）］。

4）構(gòu)造空間譜估計器

或

5）根據(jù)式（20）得到互耦系數(shù)的估計值z^。

通過上述分析，可以看出提出的自校正算法利用了均勻圓陣互耦矩陣的帶狀循環(huán)特性，對互耦存在時的陣列導(dǎo)向矢量a～（θ，β）進(jìn)行重構(gòu)，將耦合的方位俯仰參數(shù)（θ，β）和互耦系數(shù)矢量z“去耦”，根據(jù)重構(gòu)出的矩陣構(gòu)造新的代價函數(shù)，新的代價函數(shù)在（θ，β）為信號真實(shí)方向時才滿足條件，因此可以得到新的譜估計器，對譜估計器進(jìn)行搜索就可以得到方位信息，然后根據(jù)估計出的方位就可以估計出陣列的互耦信息。另外，當(dāng)均勻圓陣的互耦自由度p取1時，該算法就退化為一般二維MUSIC算法。

3 仿真實(shí)驗

下面用仿真實(shí)驗驗證本文提出的均勻圓陣互耦條件下的魯棒DOA估計及互耦系數(shù)估計算法的有效性。設(shè)均勻圓陣如圖1所示，均勻圓陣半徑為0.3λ，陣元數(shù)目為5，互耦自由度為3，互耦系數(shù)矢量z＝［1，0.782 1＋0.258 3i，－0.457 6＋0.246 9i］，這里的互耦系數(shù)是隨機(jī)選取的。

3.1 仿真1——互耦對均勻圓陣估計性能的影響

快拍數(shù)為100，信噪比為10 d B，兩個獨(dú)立源方位角分別為45°、60°，俯仰角分別為60°、30°。圖2（a）給出互耦未知的MUSIC譜，圖2（b）給出了互耦已知的MUSIC譜，圖2（c）為本文算法計算出的譜。

圖2 二維MUSIC譜Fig.2 2-D MUSIC spectr u m

圖2 （a）表明互耦未知的情況下MUSIC的估計性能很差，基本失效。圖2（c）表明本文提出的算法在互耦信息未知的條件下也可以準(zhǔn)確地估計出信源DOA。

3.2 仿真2——算法的估計性能分析

本實(shí)驗中獨(dú)立信號源的方位角和俯仰角為45°、60°。圖3（a）給出了方位角均方誤差和信噪比的關(guān)系曲線，快拍數(shù)為200；圖3（b）給出了方位角均方誤差和快拍數(shù)的關(guān)系曲線，信噪比為5。

圖3 方位角均方誤差曲線Fig.3 Mean square err or cur ve of azi muth

圖3 說明了本文提出的算法在隨著信噪比和快拍數(shù)越來越大，估計性能越來越高，并趨于互耦已知情況下的估計性能。當(dāng)快拍數(shù)大于300時，具有較高的估計精度。

3.3 仿真3——互耦系數(shù)的估計性能分析

表1給出了快拍數(shù)為100時，不同信噪比情況下互耦系數(shù)的估計結(jié)果。由于互耦系數(shù)矢量第一個元素為1，所以未考慮此值的估計情況。

表1 不同信噪比情況下互耦系數(shù)的估計結(jié)果Tab.1 Esti mates of coupling coefficient under different SNR

表1說明了當(dāng)信噪比越來越大時，互耦系數(shù)的估計值越接近真實(shí)值，而且當(dāng)信噪比大于5 d B時，均勻圓陣的互耦系數(shù)估計精度較高。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于均勻圓陣的方位估計與互耦自校正算法。算法利用了均勻圓陣特殊的互耦特性，實(shí)現(xiàn)了對信號方位信息和陣列互耦信息的解耦合，將耦合的二維角與互耦系數(shù)聯(lián)合估計問題轉(zhuǎn)化為級聯(lián)估計問題，避免了高維參數(shù)的非線性搜索。試驗表明：提出的算法在互耦信息未知的條件能準(zhǔn)確估計出信號的方位，同時還能估計出陣列的互耦信息，具有精度高，運(yùn)算小的特點(diǎn)。研究成果對均勻圓陣的方位估計具有一定的理論意義和實(shí)際價值。

［1］Yeh C，Leou M，Ucci D R.Bearing esti mation with mutual coupling present［J］.IEEE Tran.on Antennas and propagation，1989，37（10）：1332-1335.

［2］Fabrizio Sellone，Alberto Serra.An iterative algorit h m f or theco mpensation of Toeplitz mutual coupling in unif or m and lineararrays［C］／／Digital Signal Processing Wor kshop，12th-Signal Processing Eeucation Workshop，4th.Teton National Par k：WY，2006：438-443.

［3］Min Lin，Luxi Yang.Blind calibration and DOA esti mation withunif or m circular arrays in the presence of mutual coupling［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2006，5：315-318.

［4］王布宏，王永良，陳輝，等.均勻線陣互耦條件下魯棒DOA估計及互耦自校正［J］.中國科學(xué)E輯.科技科學(xué)，2004，34（2）：229-240.WANG Buhong，WANG Yongliang，CHEN Hui，CHEN Xu.DOA estimation and self-calibration algorith m for circular array in the presence of mutual coupling［J］.Science China.technologic，2004，34（2）：229-240.

［5］羅景青.陣列信號處理基本理論與應(yīng)用［M］.北京：解放軍出版社，2007：131-135.

［6］Friedlander B，Weiss A J.Direction finding in presence of mut ual coupling［J］.IEEE Trans on Antennas and propagation，1991，39（3）：273-284.