還有更好的方法嗎?——一道習(xí)題解法的探究教學(xué)片段及思考

211900 江蘇省儀征中學(xué) 花 奎

近日，我校高三一次練習(xí)試卷上有這樣一道題：“已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則

在上講評(píng)課時(shí)，筆者就讓一個(gè)此題做錯(cuò)的學(xué)生A(之前已讓學(xué)生自己先訂正)講解題方法.

生A解(這里作為解法1)：

可設(shè)a，b為直角坐標(biāo)系中x，y軸正方向上的單位向量，即 a=(1，0)，b=(0，1)，設(shè) c=(x，y)，則

a-c=(1-x，-y)，b-c=(-x，1-y)

∵ (a-c)·(b-c)=0，

∴ (1-x)(-x)+(-y)(1-y)=0，即 x2+y2=x+y.

學(xué)生A的解法讓筆者驚喜，說實(shí)在的由于批改后，發(fā)現(xiàn)此題的正確率很高，也沒有多加研究.筆者本來是準(zhǔn)備用后面的解法3解決的，學(xué)生A的解法著實(shí)讓筆者眼前一亮.于是問：“解得很好!你能回答怎么想到的呢?”(筆者平時(shí)上課都喜歡讓學(xué)生反思自已的思維過程)

學(xué)生A：“我注意到a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以就聯(lián)想到x，y軸正方向上的單位向量，從而用坐標(biāo)法來求解.”

教師：“你能告訴我們又怎么想到進(jìn)一步使用基本不等式來求解的呢?”

學(xué)生A：“嗯，嗯……，我是聽學(xué)生B說的……”.(他的回答讓筆者大跌眼鏡，其他同學(xué)也哄堂大學(xué).)

教師：實(shí)是求是的精神還是值得我們學(xué)習(xí)的.請(qǐng)學(xué)生B回答.

學(xué)生 B：“老師，您講過遇到 x2+y2，x+y，xy這樣結(jié)構(gòu)的式子要聯(lián)想基本不等式，將等式轉(zhuǎn)化為不等式就可以了.

筆者非常滿意，給予了及時(shí)表?yè)P(yáng).但還想讓學(xué)生了解筆者的解法，于是又問：“還有什么解法嗎?”

學(xué)生C舉手，筆者讓他回答.

生C解(這里作為解法2)：“我用三角換元法.”

學(xué)生C的回答也出乎筆者的意料，不免感嘆學(xué)生的思維靈活.筆者也同樣讓他反思自己的思維：“筆者想中有兩個(gè)變量，就想消元.您說過直接消元有困難時(shí)，可以考慮三角換元法”.

又是筆者以前說的思想和方法，不免有點(diǎn)興奮.

于是又問：“剛才兩位同學(xué)是用代數(shù)的方法解決的，我們是否還可以從形來解決呢?”

由于筆者的提示，指向很明確.不一會(huì)，學(xué)生D就說了他的解法.

這正是筆者課前準(zhǔn)備的方法，正是千呼萬喚始出來.同時(shí)，也慶幸沒有直接說來，否則就沒有前兩個(gè)學(xué)生的精彩了，至此，可以說本題已大功告成(有代數(shù)方法又有幾何的方法).準(zhǔn)備評(píng)講其它的試題……

意想不到的事情發(fā)生了，只聽見“咚”的一聲.只見學(xué)生E將頭重重地砸在課桌上，又將筆死勁往桌上一摔，說：“煩死了!……”.(其它同學(xué)都將目光轉(zhuǎn)向他，又轉(zhuǎn)向筆者，開始竊竊私語，教室此時(shí)有點(diǎn)亂)

筆者很惱火，學(xué)生E太過分了，故意擾亂課堂秩序，很想教訓(xùn)他一頓.但是忍住了，因?yàn)閷W(xué)生E平時(shí)性格比較內(nèi)向，易偏激.同時(shí)，新課程理念告誡筆者：“教師是學(xué)生親密的伙伴，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的表現(xiàn)應(yīng)給予充分的理解與尊重”.更何況筆者還沒有了解發(fā)生了什么事?

教師：你有什么問題嗎?如果有困難，老師和同學(xué)們會(huì)幫助你的……

學(xué)生E：沒事!我只是認(rèn)為剛才這題目的三種做法有點(diǎn)煩，覺得不太好!總覺得有更好的方法，可是，我搞了半天，也沒弄出來，所以心里煩……(教室里頓時(shí)哄堂大笑……)

筆者也是啼笑皆非，但還是說：做不出來不要緊，課后再想想!本想安慰安慰他，就繼續(xù)下面的課堂教學(xué).

誰知，又有一個(gè)“冒失鬼”學(xué)著我平時(shí)的腔調(diào)：“說說看，你是怎么想的?”

一句話驚醒夢(mèng)中人.還沒有知道學(xué)生E的惑是什么，就準(zhǔn)備草草收兵嗎?難道就怕完成不了教學(xué)任務(wù)了嗎?而忽視生成嗎?筆者從心里感謝這個(gè)“冒失鬼”.

于是，順?biāo)浦郏骸耙彩茄剑阏f說你的想法，讓我們共同來想想.”

生E解(這里作為解法4)：

設(shè)向量 c與 a，b的夾角分別為 α，β，α∈［0，π］，β∈［0，π］.

∵a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，

由(a-c)·(b-c)=0 得 a·c+b·c-c2=0，

學(xué)生E說到這里，又開始急躁起來：“可是這里有兩個(gè)變量，怎么弄也弄不出來……”

是呀!多好的想法呀!新課程要求能關(guān)注學(xué)生的生活世界和學(xué)生的獨(dú)特需要，促進(jìn)學(xué)生有特色地發(fā)展;為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)愿望和能力的形成打下基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.現(xiàn)在學(xué)生E多么需要我們和他合作決這一問題啊!

此時(shí)，筆者心中充滿矛盾和緊張.繼續(xù)解決這個(gè)問題吧，心中一點(diǎn)底都沒有，害怕掛黑板，如果解決不了，怎么辦呢?不解決這個(gè)問題吧，這節(jié)課還有上下去的意義嗎?師者，傳道授業(yè)解惑也!

兵法有云：“置死地而后生”，更何況特級(jí)教師張乃達(dá)曾給筆者講的一句話“做好老師就不要怕掛黑板”，筆者決定豁出去啦!只要對(duì)得起學(xué)生就行!

憑筆者解題的經(jīng)驗(yàn)，這里的變量α，β必然有著某種關(guān)系.首先試探著把問題拋給學(xué)生：“同學(xué)們，學(xué)生E提出了一個(gè)問題，這里有兩個(gè)變量，能不能消去一個(gè)變量呢?變量α，β是不是有著某種關(guān)系呢?這是一個(gè)值得研究的問題，我們一塊來研究，看誰最先研究出來?(這樣做，不僅給了學(xué)生充分的思考空間，相信學(xué)生會(huì)有好的想法;同時(shí)，更給了筆者時(shí)間余地，走出窘境.)

學(xué)生們一聽說老師要他們比賽，立刻來勁了.

筆者一邊思考，一邊看學(xué)生們求解演算.當(dāng)看到一個(gè)學(xué)生所畫圖形(如圖2)時(shí)，突然頓悟，心中已有底，但不露聲色，要讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn).

學(xué)生F舉手回答：

∵a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，

教師：太好了，學(xué)生 F找到變量α，β的關(guān)系，但是他的考慮全面嗎?

學(xué)生有的陷入了沉思，有的進(jìn)行激烈的討論.

過了一會(huì)兒，學(xué)生G舉手站起來，說出了以下解答：

∵a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，

這一解法和筆者的想法吻合，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思這個(gè)思維過程……

未等筆者說完，學(xué)生H也不舉手就站了起來(此時(shí)師生已完全進(jìn)入共同探討的狀態(tài)，忘記要舉手)說：我還有一種解法……

筆者不禁一愣，居然還有解法，也有些激動(dòng)：“說說看!”

學(xué)生H說出了以下解法：

解法5 ∵a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，∴ a·b=0，由(a-c)·(b-c)=0，得(a+b)·c-c2=0，

筆者不禁拍案叫絕，也引來學(xué)生片片喝彩……

反思上述教學(xué)片段談?wù)勏敕ǎ?/p>

(1)數(shù)學(xué)課堂應(yīng)是一種對(duì)話交流

巴西教育家保羅.弗萊雷說：沒有對(duì)話，就沒有交流，也就沒有真正的教育.新課程要求教學(xué)是平等的、民主的，要構(gòu)筑起共同探討的學(xué)習(xí)環(huán)境;新課程還指出教師是學(xué)生親密的伙伴，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的表現(xiàn)應(yīng)給予充分的理解與尊重.因此，在課堂上，教師要注意傾聽，理順學(xué)生的思維過程，解學(xué)生學(xué)習(xí)中疑難問題，注意發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生合作探究.允許學(xué)生發(fā)散想象，鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出問題和質(zhì)疑，和學(xué)生共同討論.課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種充滿活力的對(duì)話實(shí)踐;營(yíng)造一種活動(dòng)性、合作性、反思性的學(xué)習(xí)氛圍.

(2)不要怕“浪費(fèi)”時(shí)間

不少教師在數(shù)學(xué)課堂上為了提高所謂的“教學(xué)效率”，課堂表現(xiàn)是“快節(jié)奏，大容量”，害怕浪費(fèi)時(shí)間，一講到底.導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)變得繁重而被動(dòng);數(shù)學(xué)課堂更是緊張、枯燥無聊，低效.而新課程背景下要求教師要培養(yǎng)學(xué)生自己找“路”的能力，讓學(xué)生做“司機(jī)”，而不是“乘客”.教師做一個(gè)“指路人”，在學(xué)生迷路時(shí)，給予指點(diǎn)、點(diǎn)撥.學(xué)和行走的過程中，路邊的風(fēng)景，正是學(xué)生找到回路的標(biāo)志，因此課堂上學(xué)生的活動(dòng)看似耽誤了時(shí)間，但對(duì)學(xué)生來講是需要的，那是找到回路的“標(biāo)志”，走錯(cuò)路，記憶才會(huì)深刻.讓我們記住關(guān)于教育的一句世界名言——告訴我，我會(huì)忘記;分析給我聽，我可能記住;如果讓我參與，我會(huì)真正理解.

(3)鼓勵(lì)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)

蘇霍姆林斯基說：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探究者.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).”數(shù)學(xué)探究是學(xué)生學(xué)習(xí)心理回歸，是數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)術(shù)的回歸，它有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，把握數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)探究的能力.因此，在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn).