王彩霞，王戰(zhàn)偉

(1.華北水利水電學院，河南鄭州450011;2.鄭州航空工業(yè)管理學院，河南鄭州450015)

早在1927年，Kermark和Mckendrick就利用動力學方法建立了SIR傳染病模型［1］.近20年來，國際上傳染病動力學研究進展迅速，國內外眾多的專家學者建立了大量的傳染病數學模型［2－9］，對傳染病的治療和預防起到很大的作用.

很多傳染病不僅可通過接觸傳染，而且感染者可能通過遺傳傳給下一代，如肝炎、肺結核等.以往的研究主要集中在水平傳染上，也就是接觸傳染.為了更準確地了解傳染病的性態(tài)，文獻［6－9］研究了一些具有垂直傳染的傳染病模型.在傳染病的研究中密度制約是不可忽略的因素.

1 傳染病模型

在考慮傳染病垂直傳染的基礎上同時考慮密度制約得到模型:

式中:x，y分別為易感者和感染者;d為死亡率;β為水平感染率;r為感染者的治愈率;ax，aθy分別為新增的易感者和感染者，0≤θ≤1反應疾病對生育能力的影響;cx(x+y)和cy(x+y)分別為易感者和感染者的密度制約項.假定所有的參數均為正，由模型的生物意義可知假定合理.

2 主要結果及證明

對于模型(1)，假設 N=x+y，有

Γ ={(x，y)∈R2+:x+y ＜ －N}為模型(1)的正不變集.下面所有的分析都是在正不變集Γ內進行.

經計算可得到模型(1)的無病平衡點為E0=(0，0)，E1=(x0，0)=((a － d)c－1，0)，感染平衡點－E=(－x，－y).為了討論平衡點的穩(wěn)定性，下面給出模型(1)的雅克比矩陣

2.1 平衡點E0=(0，0)的穩(wěn)定性

定理1 平衡點E0=(0，0)總是存在，并且當a ＜d時，E0=(0，0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明平衡點E0=(0，0)的存在性由模型(1)易得.為了研究E0的穩(wěn)定性，直接代入上述雅可比矩陣可得，當且僅當a＜d時，E0局部穩(wěn)定.下面通過構造Lyapunov函數來證明E0的全局漸近穩(wěn)定性.令

沿模型(1)的解求導計算后可得

當 a ＜d 時，V'≤0，并且當且僅當(x，y)=(0，0)時V'=0.因此，利用Lyapunov-LaSalle不變原理得到當a＜d時，E0=(0，0)全局漸近穩(wěn)定.

2.2 平衡點 E1=((a－d)c－1，0)的穩(wěn)定性

定理2 當a＞d時，平衡點E0丟失它的穩(wěn)定性，同時 E1=((a－ d)c－1，0)出現;當 R0＜1 時，無病平衡點 E1=((a－d)c－1，0)全局漸近穩(wěn)定;當R0＞1時，E1是鞍點.

證明顯然當a＞d時，E1存在.將E1代入雅克比矩陣整理后可得

顯然當R0＜1時，E1局部漸近穩(wěn)定;R0＞1時，E1是鞍點.為進一步得到平衡點E1的全局性態(tài)，令

利用 Dulac 準則，構造函數 φ(x，y)=(xy)－1，由

可知在正不變集 Γ內，系統(1)沒有閉軌.根據Poincare-Bendixson定理可知當R0＜1時，E1全局漸近穩(wěn)定.

2.3 感染平衡點－E=(－x，－y)的穩(wěn)定性

由于感染平衡點的復雜性，需要先得到存在2個感染平衡點的條件.通過一般方法研究感染平衡點的穩(wěn)定性非常麻煩甚至得不到結論，在這里筆者巧妙地構造了2個函數并用它們的幾何特性得到了感染平衡點的局部穩(wěn)定性.

令Q(x，y)=0，通過計算可以得到

代入

可得

由拋物線的幾何特性可知，要使方程存在2個正解必須同時滿足aθ＜r+d和Δ＞0.其中，

顯然當aθ＜r+d時，Δ＞0一定成立.也就是說，當aθ＜r+d時，可得到2個正解分別記做－x1=x*，－x2=x*(x*＜x*)，又因為

模型(1)存在2個感染平衡點 E*=(x*，y*)和E*=(x*，y*).為了研究E*和E*的穩(wěn)定性，構造如下2個函數:

易知模型(1)存在2個正平衡點，等價于f1(x)和f2(x)的圖形有2個正交點，對于函數f2(x)，計算后可得

由函數的幾何特性可知，當aθ＜r+d，β＞c時，2函數具有圖1所示特性.

圖1 函數曲線

為了得到感染平衡點的穩(wěn)定性，將－E代入雅克比矩陣整理后可得

經計算可得

根據上述圖形的幾何特性，易得

而trJ(－E)=－r－x－1－y－c－x－c－y＜0，因此，平衡點E*=(x*，y*)局部漸近穩(wěn)定，E*=(x*，y*)為鞍點.進一步利用定理2中的Dulac函數，根據Poincare-Bendixson定理可知感染平衡點E*=(x*，y*)是全局漸近穩(wěn)定的.(證明過程同定理2).

綜上所述可得

定理3 當(β－c)x*＞r+d－aθ，β＞c，aθ＜r+d時，模型(1)存在2個感染平衡點E*=(x*，y*)和 E*=(x*，y*).并且 E*=(x*，y*)全局漸近穩(wěn)定，E*=(x*，y*)為鞍點.

注定理3和定理2并不矛盾，因為條件(βc)x*＞r+d－aθ已保證R0＞1，此時E1是鞍點.

［1］ Kermack W O，Mckendrick A G.A contribution to the mathematical theory of epidemic［J］.Proc R Soc Lond，1927，A115:700 －721.

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