狹長(zhǎng)區(qū)域GPS水準(zhǔn)點(diǎn)的最佳布設(shè)與擬合方法的應(yīng)用探討＊

郭 敏，強(qiáng)曉煥，王宇飛

（1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南 焦作454003；2.中原油田建設(shè)集團(tuán)公司，河南 濮陽(yáng)457000）

0 引 言

近年來(lái)，GPS技術(shù)在公路、鐵路、隧道等領(lǐng)域發(fā)揮了積極的作用，用該技術(shù)建立狹長(zhǎng)工程區(qū)域的控制網(wǎng)比常規(guī)方法省時(shí)、省力，而且精度高、速度快。借助于分布在測(cè)區(qū)的部分GPS點(diǎn)與水準(zhǔn)點(diǎn)重合，建立區(qū)域的高程擬合模型，這在一些工程中獲得很大的應(yīng)用，特別是分布較小區(qū)域。對(duì)于狹長(zhǎng)工程區(qū)域的控制網(wǎng)，由于其形狀特殊、范圍大，重合點(diǎn)的分布受到限制等，狹長(zhǎng)工程區(qū)域GPS高程的擬合仍處于研究階段。從點(diǎn)位的最佳布設(shè)，結(jié)合多面函數(shù)擬合法、分區(qū)擬合法進(jìn)行高程轉(zhuǎn)換，通過(guò)精度評(píng)定，得出各種方法的適應(yīng)范圍和精度級(jí)別，最終得出狹長(zhǎng)區(qū)域的最佳布設(shè)方案及最佳擬合方法。

1 點(diǎn)的布設(shè)

GPS水準(zhǔn)點(diǎn)的布設(shè)對(duì)提高高程精度是非常關(guān)鍵的。下面是一個(gè)具體實(shí)例：狹長(zhǎng)的工程區(qū)域高程控制必須覆蓋測(cè)區(qū)，并確保寬度至少達(dá)到1km。水平控制必須覆蓋測(cè)區(qū)。當(dāng)控制點(diǎn)的間隔僅100 m時(shí)，其高程的誤差達(dá)到了20mm（見(jiàn)圖1），要提高這種工程的校正控制，需增加水平控制點(diǎn)和高程控制點(diǎn)，保證覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū)，并保證高程控制點(diǎn)之間的寬度不小于1km（見(jiàn)圖2）。

重合點(diǎn)的布設(shè)是否恰當(dāng)，直接關(guān)系到擬合精度。從理論上講，這些點(diǎn)最好分布在高程異常的特征點(diǎn)上，即這些點(diǎn)能有效地代表測(cè)區(qū)的高程異常變化，從而使采用這些點(diǎn)建立起來(lái)的擬合曲面能較好地接近實(shí)際曲面，否則將會(huì)帶來(lái)較大的模型誤差。但在實(shí)際工作中，由于高程異常的分布與地形的走勢(shì)并非一致，選取重合點(diǎn)存在一定的盲目性。實(shí)踐證明，重合點(diǎn)的選取應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①一般根據(jù)測(cè)區(qū)已知水準(zhǔn)點(diǎn)的分布并考慮均勻分布的原則確定重合點(diǎn)；②在地形有較大變化的交界處布設(shè)重合點(diǎn)；③當(dāng)擬合區(qū)域范圍較大時(shí)，可借助該區(qū)域全球高程異常圖布設(shè)。

2 GPS高程轉(zhuǎn)換方法

高程轉(zhuǎn)換方法利用GPS水準(zhǔn)高程法，該方法是從幾何解析的角度出發(fā)，利用GPS測(cè)量和水準(zhǔn)測(cè)量成果確定似大地水準(zhǔn)面，求出高程異常，從而擬合出正常高的一種方法。此方法在工程上已獲得廣泛的應(yīng)用。見(jiàn)圖3所示各種高的關(guān)系，H代表大地高，Hr為正常高，ξ為高程異常，它們之間的關(guān)系見(jiàn)公式（1）：

圖3 大地高和正常高關(guān)系圖

3 GPS高程擬合方法

針對(duì)狹長(zhǎng)工程區(qū)域常用方法進(jìn)行探討，重點(diǎn)對(duì)多面函數(shù)法、分區(qū)擬合法兩種方法進(jìn)行探討。

3.1 多面函數(shù)法[1－4]

1）原理

多面函數(shù)擬合是一種純數(shù)學(xué)曲面逼近方法，它的出發(fā)點(diǎn)是在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上同各個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)分別建立函數(shù)關(guān)系（這種關(guān)系表現(xiàn)為一規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面），將這些有規(guī)律的數(shù)學(xué)曲面按一定的比例迭加起來(lái)，就可擬合出任何不規(guī)則的曲面，且能達(dá)到較好的擬合效果。也就是一個(gè)數(shù)學(xué)表面上某點(diǎn)（X，Y）處的高程Z的表達(dá)式為

式中：aj是待定系數(shù)；Q（x，y，xj，yj）為核函數(shù)；x、y為待求點(diǎn)的坐標(biāo)；（xj，yj）為已知點(diǎn)坐標(biāo)。選擇式中δ為光滑系數(shù)。

當(dāng)待求點(diǎn)數(shù)等于已知點(diǎn)時(shí)，任一點(diǎn)ξp為

式中，Qij＝Q（x，y，xj，yj）。

當(dāng)待求點(diǎn)多于已知點(diǎn)數(shù)時(shí)，

在GPS網(wǎng)中，GPS水準(zhǔn)可求出高程異常，取全部或部分已知點(diǎn)為核函數(shù)的中心點(diǎn) （xj，yj）就可用上述方法求出點(diǎn)（xj，yj）上的高程異常，從而獲得該測(cè)區(qū)的高程異常分布圖。

2）多面函數(shù)法精度計(jì)算

某狹長(zhǎng)區(qū)域工程控制網(wǎng)平面示意圖如圖4，表1為控制區(qū)的高程成果圖

圖4 示意點(diǎn)位圖

表1 某區(qū)域高程控制成果表

根據(jù)圖4，由多面函數(shù)選點(diǎn)原則，可將1，7，9，10，14，16，17點(diǎn)作為已知點(diǎn)，并將7，9，10，17作為擬合核函數(shù)的中心點(diǎn)，即已知點(diǎn)，建立多面函數(shù)擬合模型，對(duì)剩余的10個(gè)點(diǎn)進(jìn)行高程擬合，用擬合所得的高程與己知的水準(zhǔn)高程進(jìn)行比較，來(lái)驗(yàn)證各個(gè)多面函數(shù)擬合的精度。根據(jù)多面函數(shù)的原理和所給數(shù)據(jù)，分別求出各個(gè)待擬合點(diǎn)的高程異常，然后求出擬合殘差見(jiàn)表2所示。

表2 多面函數(shù)法擬合點(diǎn)殘差／m

按照公式（5）計(jì)算出GPS水準(zhǔn)擬合的外部符合精度[4－5]M ＝ ±0.078m.

式中n為v的個(gè)數(shù)，vi＝ξ－ξ′i.

3.2 分區(qū)擬合法

分區(qū)擬合[2－4]是把需要測(cè)量區(qū)域分成幾個(gè)小區(qū)，由于分區(qū)前一般不了解測(cè)區(qū)的高程異常變化情況，分區(qū)時(shí)可將鄰近的且高程異常值變化趨勢(shì)相近的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為一個(gè)小區(qū)，也可以先采用比較簡(jiǎn)單的最小二乘平面擬合法試算，將整個(gè)測(cè)區(qū)用一個(gè)平面模型來(lái)擬合，然后根據(jù)試算后的各GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的高程異常值的擬合殘差大小，判定測(cè)區(qū)的高程異常起伏變化的情況。將擬合殘差大的聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為高程異常的高、低變化點(diǎn)，分別把以這些點(diǎn)為中心的區(qū)域作為一個(gè)小區(qū)；同時(shí)，也要結(jié)合測(cè)區(qū)的地形變化進(jìn)行劃分，還可參閱高程異常圖。分區(qū)擬合注意以下兩個(gè)問(wèn)題：

1）擬合后曲面間的連接：根據(jù)測(cè)區(qū)的實(shí)際情況，每個(gè)小區(qū)內(nèi)進(jìn)行聯(lián)測(cè)擬合，擬合后的曲面會(huì)出現(xiàn)曲面相交和曲面不相交兩種情況。分區(qū)擬合后不進(jìn)行平滑連接，這樣會(huì)出現(xiàn)同一個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)不同的正常高，為避免這種情況采用數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行平滑連接，以小區(qū)間有3個(gè)公共的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)為佳。①對(duì)擬合后曲面相交的平滑連接這種情況：兩個(gè)小區(qū)分別采用適合自己的擬合模型擬合后，若出現(xiàn)相交的情形，可采用雙三次樣條函數(shù)進(jìn)行連接。通過(guò)解算雙三次樣條函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)小區(qū)分別擬合后的曲面相交的平滑連接，使測(cè)區(qū)的高程異常模型曲面為一光滑的物理面。若曲面間的交線(xiàn)是一平面曲線(xiàn)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，也可以用三次樣條函數(shù)來(lái)進(jìn)行平滑。②對(duì)于擬合后曲面不相交的平滑連接：若擬合后的曲面出現(xiàn)不相交的情況，可采用雙三次曲面函數(shù)來(lái)進(jìn)行小區(qū)間的平滑連接。實(shí)現(xiàn)了不相交曲面間的平滑連接，建立了測(cè)區(qū)的統(tǒng)一高程異常模型，測(cè)區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)的高程異常都可以通過(guò)擬合函數(shù)內(nèi)插計(jì)算獲得。

2）分區(qū)擬合法精度評(píng)定：采用擬合法求高程異常是否能夠達(dá)到必要的精度以代替低等級(jí)的幾何水準(zhǔn)測(cè)量，有必要對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行精度評(píng)定。精度評(píng)定的方法主要是計(jì)算檢核點(diǎn)（未參與擬合的支撐點(diǎn)）的中誤差。

每個(gè)小區(qū)采用適合自己的數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行擬合，對(duì)擬合函數(shù)的擬合精度進(jìn)行評(píng)定，按公式（6）：

式中：εi為參加擬合的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的擬合殘差；n為參與的擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)。

計(jì)算檢核點(diǎn)（未參與擬合的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)）的擬合中誤差，按公式（7）。式中，εj為檢核點(diǎn)的GPS水準(zhǔn)高程異常與擬合后計(jì)算出的高程異常之差；m為檢核點(diǎn)個(gè)數(shù)。

計(jì)算水準(zhǔn)測(cè)量的限差，比較每個(gè)檢核點(diǎn)的εj是否超限（按照公式（8）計(jì)算），L是檢核點(diǎn)到最近的擬合點(diǎn)的距離（km）；m0為規(guī)范規(guī)定的確定限差的單位中誤差，可根據(jù)所要求的水準(zhǔn)測(cè)量等級(jí)賦值，如該測(cè)區(qū)要求達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求，按規(guī)范要求，m0取20mm.

3.3 兩種方法的精度比較

為了更客觀的把兩種方法的精度高低表現(xiàn)出來(lái)，在研究?jī)煞N方法的高程擬合時(shí)，特地選了同樣的點(diǎn)作為已知點(diǎn)，分別用這兩種方法求出待擬合點(diǎn)的高程異常，這樣就更直觀的把這兩種方法擬合高程的優(yōu)劣表現(xiàn)出來(lái)了，各種方法的精度評(píng)定結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 不同擬合方法精度比較／m

由此表可以很清晰的看到，不管從外部符合精度還是殘差來(lái)看，多面函數(shù)擬合法在計(jì)算量和精度上優(yōu)勢(shì)很明顯，結(jié)合此控制網(wǎng)的形狀和各點(diǎn)的分布，可以知道多面函數(shù)擬合法適合于地形復(fù)雜的測(cè)區(qū)擬合，當(dāng)GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)越多、顯著點(diǎn)越多時(shí)，這種方法的擬合精度就越高，越能反映出測(cè)區(qū)內(nèi)細(xì)部的凸凹變化程度。因此，該方法是狹長(zhǎng)區(qū)域工程的首選擬合方法。

4 結(jié) 論

對(duì)于狹長(zhǎng)的工程區(qū)域，跨越區(qū)域廣，高程異常變化大，除選擇幾何水準(zhǔn)點(diǎn)的最佳點(diǎn)數(shù)和點(diǎn)位的最佳布設(shè)，還要注意高程的擬合方法的選擇，通過(guò)實(shí)例比較不難看出多面函數(shù)擬合法為一種合理的方法。在相同的擬合條件下，與其它方案相比，其精度可以達(dá)到最優(yōu)。

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