Bernoulli分布中參數(shù)p的近似置信區(qū)間及應(yīng)用

周 小 雙

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023；山東大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100)

Bernoulli分布中參數(shù)p的近似置信區(qū)間及應(yīng)用

周 小 雙

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023；山東大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100)

給出了Bernoulli分布中未知參數(shù)的4種不同形式的近似置信區(qū)間，包括基于Hoeffding不等式和Bernstein不等式兩種新的置信區(qū)間，并通過模擬比較了置信區(qū)間在大樣本和小樣本情形下的優(yōu)劣．

置信區(qū)間；Bernoulli分布；Hoeffding不等式；Bernstein不等式

參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的主要內(nèi)容，主要包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)．點(diǎn)估計(jì)通常是對(duì)未知參數(shù)給出一個(gè)估計(jì)值，而區(qū)間估計(jì)則是在一定的置信水平下，將未知參數(shù)包含在一隨機(jī)區(qū)間內(nèi)．本文主要以 Bernoulli分布為例，給出了未知參數(shù)p的幾種置信區(qū)間，并通過隨機(jī)模擬從精確度和有效度兩方面比較了不同形式的置信區(qū)間在大樣本和小樣本情形下的優(yōu)劣．

1 主要引理

引理1[1]14(中心極限定理)設(shè)隨機(jī)樣本X1,X2,…Xn獨(dú)立同分布，且EXi=μ，

上述定理1和定理2的結(jié)論在一般教科書中有說明，我們給出了其詳細(xì)的證明，下面我們給出本文的主要結(jié)論，利用Bernoulli隨機(jī)變量情形下的Hoeffding不等式和Bernstein不等式得出另外兩種形式的置信區(qū)間．

定理3 未知參數(shù)p的置信水平為1-α的近似置信區(qū)間可以表示為

3 模擬研究

在實(shí)際中，定理1和定理2的結(jié)果應(yīng)用比較廣泛，定理3和定理4的結(jié)果有一定的理論研究意義．我們應(yīng)用Matlab軟件主要對(duì)定理1和定理2的結(jié)果進(jìn)行模擬研究，隨機(jī)選取來自兩點(diǎn)分布的樣本，容量分別為5, 10,100, 200, 1 000，取 p=0.2，在 為0.01和0.05的條件下比較了不同形式的置信區(qū)間的結(jié)果．

表1 α=0.05時(shí)置信區(qū)間模擬比較

表2 α=0.01時(shí)置信區(qū)間模擬比較

比較上述結(jié)果可知，在小樣本情形下，例如當(dāng)n=10時(shí)，在同樣的顯著性水平下 α=0.01，區(qū)間(0.079 6,0.680 0)的長(zhǎng)度比區(qū)間(0.001 0, 0.799 0)的長(zhǎng)度短，第一種形式的置信區(qū)間總是優(yōu)于第二形式，這是由于定理2的結(jié)果在證明過程中進(jìn)行了兩次近似，而定理1的證明過程只進(jìn)行了一次近似，因而在小樣本情況下第一種形式的置信區(qū)間結(jié)果應(yīng)優(yōu)于第二種，而在大樣本情形下，兩種置信區(qū)間的區(qū)別則沒有小樣本情形下明顯，兩者都給出了很好的區(qū)間估計(jì)．

4 應(yīng)用

[1] 茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2] Wasserman L. ALL of Nonparametric Statistics[M].Beijing:Higher Education Press,2004.

[3] 吳喜之.統(tǒng)計(jì)學(xué):從數(shù)據(jù)到結(jié)論[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2004:50-59.

[4] 王曉紅.負(fù)二項(xiàng)分布中未知參數(shù) p的一個(gè)區(qū)間估計(jì)[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào),2009(4):333-335.

Abstract:In this paper we obtain four kinds of confidence intervals of unknown parameter in Bernoulli distribution, including the two new confidence intervals based on Hoeffding inequality and Bernstein inequality, and compare their small sample behavior and large sample property by simulation study.

Key words:confidence interval; Bernoulli distribution; Hoeffding inequality; Bernstein inequality

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)

Asymptotic Confidence Intervals of Unknown Parameter in Bernoulli Distribution and Its Simulation Study

ZHOU Xiao-shuang

(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou, Shandong 253023, China;School of Mathematics and Science, Shandong University, Jinan, Shandong 250100, China)

O212

A

1673-2065(2011)01-0007-03

2010-09-05

周小雙(1981-),女,山東德州人,德州學(xué)院數(shù)學(xué)系講師,山東大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀博士生.