定數(shù)截尾場合三參數(shù)pareto分布參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

劉 璐， 李云飛

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院， 四川 南充 637009)

0 引言

Pareto分布是研究收入模型的一種分布，經(jīng)過不斷發(fā)展，由兩參數(shù)pareto分布推廣到三參數(shù)pareto分布和廣義pareto分布.Pareto 分布在社會經(jīng)濟、軍事以及可靠性統(tǒng)計分析等很多領域中得到廣泛的應用[1].因此，研究 pareto 分布，尤其是研究其參數(shù)估計問題，具有重要的理論意義和實用價值.

關于pareto分布參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間，許多專家和學者對其進行了研究，已經(jīng)形成了豐富的研究成果.Neyman[2]的理論，在給定置信水平，以保證有一定的可靠度下，精度往往用區(qū)間長度來衡量，區(qū)間長度越短說明對參數(shù)估計得越準確.Ali等[3]提出了一種推導廣義pareto分布形狀參數(shù)統(tǒng)計檢驗的一般方法，并證明了這種方法優(yōu)于經(jīng)典的極大似然比檢驗.Singh等[4]利用最大熵原理，提出了三參數(shù)廣義pareto分布參數(shù)估計一種新的方法.佟毅[5]研究并給出了定數(shù)截尾下指數(shù)分布平均壽命參數(shù)和平均失效率參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間，通過算例分析并得出了小樣本場合下用最優(yōu)置信區(qū)間作為未知參數(shù)的置信區(qū)間更好.王娟等[6]給出Pareto分布中尺度參數(shù)的幾種區(qū)間估計方法，重點研究之前不常見的極大似然估計的漸近正態(tài)性法和輪廓似然函數(shù)法，并說明這幾種方法的適應范圍及優(yōu)缺點.徐美萍等[7]通過對比weibull分布尺度參數(shù)的最短置信區(qū)間和常用置信區(qū)間，發(fā)現(xiàn)研究小樣本情形時參數(shù)最短置信區(qū)間的重要性和必要性.王芳等[8]將兩參數(shù)的pareto分布情形推廣到了三參數(shù)，并研究了尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計的漸進性質.劉榮玄等[9]在逐步增加首失效截尾樣本下，研究了三參數(shù)pareto分布族形狀參數(shù)的一致最小方差無偏估計.秦祖啟等[10]討論了樞軸量服從F分布，而F分布的密度函數(shù)是極不對稱的，基于此兩正態(tài)分布方差比優(yōu)化后的置信區(qū)間.蔡潔等[11]用最優(yōu)假設檢驗的統(tǒng)計量構造出兩正態(tài)總體方差比的樞軸量，并從最短置信區(qū)間的本質意義出發(fā)，構造出求解最短置信區(qū)間的條件和證明出其解的存在唯一性，得出用最短置信區(qū)間作為方差比的區(qū)間估計，精度將會得到顯著提高.劉璐等[12]通過構造置信區(qū)間的一個樞軸量的方法，求定數(shù)截尾場合Pareto分布形狀參數(shù)的最短置信區(qū)間，并將其與傳統(tǒng)方法求得的置信區(qū)間進行對比分析得出最優(yōu)置信區(qū)間.

本文將在定數(shù)截尾壽命試驗場合下，針對三參數(shù)pareto分布單總體參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間和兩總體形狀參數(shù)比的最優(yōu)置信區(qū)間進行研究.

1 單總體尺度參數(shù)σ的置信區(qū)間

若隨機變量X服從三參數(shù)Pareto分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f(x;σ,θ,μ)=θσθ(x-μ)-(1+θ)，x>σ+μ,

(1)

F(x;σ,θ,μ)=1-σθ(x-μ)-θ,

(2)

記為X～Pareto(θ,σ,μ)，其中θ>0為形狀參數(shù)，σ>0為尺度參數(shù)，μ∈R為位置參數(shù)，并假設為已知常數(shù).

抽取來自總體Pareto(θ,σ,μ)的容量為n的一個樣本X1,X2,…,Xn，當有r個樣品失效時停止壽命試驗，失效數(shù)據(jù)為X(1)≤X(2)≤…≤X(r).

1.1 用樞軸量法求σ的最短置信區(qū)間

定理1設T1,T2,…,Tn是來自雙參數(shù)指數(shù)分布總體E(δ,θ)的容量為n的樣本，定數(shù)截尾數(shù)是r，T(1)≤T(2)≤…≤T(r)是前r個次序統(tǒng)計量，則：

證明令H1=rT(1)，Hi=(r-i+1)[T(i)-T(i-1)]，i=2,3,…,r，則H1,H2,…,Hr相互獨立，且H1～E(r,δ,θ)，H2,H3,…,Hr同分布于E(θ)，那么H1-rδ,H2,…,Hr獨立同分布于E(θ)，則：

為了求δ的最短置信區(qū)間，假設存在a，b(0

此時δ的置信區(qū)間為：

這個區(qū)間的平均長度為：

定理2當α0=0時，δ的置信度為1-α的最短置信區(qū)間為：

設h(α0)=b-a，則

(3)

其中

1.2 用輪廓似然函數(shù)法求σ的置信區(qū)間

因為總體Pareto(θ,σ,μ)含有三個參數(shù)，而現(xiàn)在只對尺度參數(shù)σ進行估計，所以可以通過輪廓似然函數(shù)法求其置信區(qū)間.

令η=(θ,σ,μ)Τ，根據(jù)(1)和(2)得η在定數(shù)截尾壽命試驗下的似然函數(shù)為：

從而η的對數(shù)似然函數(shù)為：

(4)

(5)

要使lnL(xi,η)取得最大值，則σ的極大似然估計為：

(6)

θ的極大似然估計為:

(7)

由(4)式可以得到參數(shù)σ的輪廓似然函數(shù)為：

將(5)式代入lnpL(xi,η)中得到：

又因為參數(shù)σ的偏差度函數(shù)為：

將(6)和(7)代入上式得到：

所以，對于給定的α∈(0,1)，構造σ的置信區(qū)間：

(8)

2 兩總體形狀參數(shù)比θ2/θ1的置信區(qū)間

定理3設X1,X2,…,Xn1是來自總體Pareto(θ1,σ1,μ1)的樣本，Y1,Y2,…,Yn2來自總體Pareto(θ2,σ2,μ2)的樣本，兩個總體相互獨立.對它們做定數(shù)截尾壽命試驗后，得到失效數(shù)據(jù)分別為：X(1)≤X(2)≤…≤X(r)，Y(1)≤Y(2)≤…≤Y(r)，其中θ1,σ1,θ2,σ2均未知.

分別令T=ln(X-μ1)，Z=ln(Y-μ2)，則：

證明令T=ln(X-μ1)，Z=ln(Y-μ2)，則fT(t;δ1,θ1)=θ1e-θ1(t-δ1)，其中δ1=lnσ1；fY(y;δ2,θ2)=θ2e-θ2(t-δ2)，其中δ2=lnσ2.根據(jù)定理1的證明，同理可得：

～F(2(r1-1)，2(r2-1)).

因為Q2的分布F(2(r1-1)，2(r2-1))是已知的，且此分布與θ1，θ2無關.故將Q2作為樞軸量來構造形狀參數(shù)比θ2/θ1的置信區(qū)間.因為樞軸量服從F分布，F(xiàn)分布的概率密度函數(shù)非對稱分布，利用分位數(shù)

構造的傳統(tǒng)置信區(qū)間

就并非θ2/θ1的最短置信區(qū)間.其中

為了求θ2/θ1的最短置信區(qū)間，假設存在φ1，φ2滿足0<φ1<φ2，使得：

此時θ2/θ1的置信區(qū)間為：

這個區(qū)間的平均長度為：

當r1=2時，F(xiàn)(2(r1-1)，2(r2-1))分布的第一自由度≤2，其密度函數(shù)為單調遞減，θ2/θ1的置信度為1-α的最短置信區(qū)間為：

成立，其中g2(x)為F(2(r1-1)，2(r2-1))分布的概率密度函數(shù)，那么

(9)

為θ2/θ1的最短置信區(qū)間.

3 算例分析

3.1 隨機模擬

利用Matlab軟件可以用隨機模擬的方法產(chǎn)生一個總體為X～Pareto(θ,σ,μ)的截尾樣本，具體步驟如下：

1)產(chǎn)生一個容量為n=30且服從均勻分布U(0,1)的獨立同分布樣本T1,T2,…,Tn；

2)當σ=b時，給定參數(shù)θ=a和μ=c，其中a，b，c均為不等于零的常數(shù).

3.2 單總體定數(shù)截尾下對比樞軸量法和輪廓似然函數(shù)法所求得σ的最優(yōu)置信區(qū)間

假設產(chǎn)品的壽命服從形狀參數(shù)為θ1=2.22、尺度參數(shù)為σ1=68和位置參數(shù)為μ1=10的pareto分布，現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中隨機抽取n1個樣品進行定數(shù)截尾壽命試驗.當n1個樣品中出現(xiàn)第r1個失效時，所得到的壽命數(shù)據(jù)(小時)按照從小到大的順序排列如下：

當r1=1時，X1=79.1231；

當r1=2時，X1=79.1231，X2=81.2175；

當r1=3時，X1=79.1231，X2=81.2175，X3=82.2896；

…

當r1=30時，X1=79.1231，X2=81.2175，X3=82.2896，X4=82.8524，X5=83.4619，X6=84.0014，X7=88.7709，X8=95.0987，X9=97.0298，X10=101.7209，X11=107.1334，X12=116.7245，X13=119.8929，X14=119.9307，X15=123.4077，X16=135.4312，X17=138.7833，X18=148.0011，X19=150.4866，X20=155.3181，X21=169.4068，X22=207.0749，X23=214.668，X24=217.2301，X25=241.3268，X26=291.0766，X27=292.0871，X28=298.2338，X29=317.4058，X30=342.9619.

給定置信水平為1-α=0.95，以下通過算例分析給出尺度參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間.具體算例結果如表1所示，其中置信區(qū)間1表示運用樞軸量法求得的尺度參數(shù)σ1的最短置信區(qū)間；置信區(qū)間2表示運用輪廓似然函數(shù)法求得的尺度參數(shù)σ1的置信區(qū)間；相對縮短比率ε%表示置信區(qū)間2的長度比置信區(qū)間1的長度相對縮短百分比.

表1 尺度參數(shù)的置信區(qū)間的精度分析

從表1中可以看出：對于定數(shù)截尾三參數(shù)pareto分布，當2≤r≤7和r≥14時，輪廓似然函數(shù)法所求得σ1的置信區(qū)間比樞軸量法求得的最短置信區(qū)間更優(yōu)；當8≤r≤13時，樞軸量法所求得σ1的最短置信區(qū)間比輪廓似然函數(shù)法求得的置信區(qū)間更優(yōu).

3.3 兩總體定數(shù)截尾下形狀參數(shù)比θ2/θ1的最優(yōu)置信區(qū)間

在3.1的基礎上再進行壽命試驗，假設產(chǎn)品的壽命服從形狀參數(shù)為θ2=4.20，尺度參數(shù)為σ2=128和位置參數(shù)為μ2=25的pareto分布，現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中隨機抽取n2=30個產(chǎn)品進行壽命試驗.當n2個樣品中出現(xiàn)第r2個失效時所得到的壽命數(shù)據(jù)(小時)按照從小到大的順序排列如下：

當r2=1時，X1=153.9897；

當r2=2時，X1=153.9897，X2=154.0728；

當r2=3時，X1=153.9897，X2=154.0728，X3=154.4488；

…

當r2=30時，X1=153.9897，X2=154.0728，X3=154.4488，X4=156.1522，X5=156.9200，X6=158.5244，X7=159.4624，X8=160.9591，X9=163.2322，X10=163.2730，X11=165.1679，X12=166.3306，X13=168.5161，X14=171.8702，X15=172.2997，X16=175.2410，X17=175.8502，X18=182.8402，X19=188.9387，X20=189.9235，X21=192.8554，X22=194.8000，X23=196.3208，X24=196.7846，X25=203.8605，X26=205.7937，X27=211.7149，X28=218.4335，X29=286.4805，X30=300.0382.

給定置信水平為1-α=0.95，以下通過算例分析給出兩總體形狀參數(shù)比的最優(yōu)置信區(qū)間.具體算例結果如下表所示：

因為，對于F(2(r1-1)，2(r2-1))分布，當?shù)谝蛔杂啥萺1≥3時，其密度函數(shù)才為單峰非對稱.由于篇幅的問題，這里只考慮r1=3,4,5,6,7,11，r2=4,5,6,7,11時，兩總體形狀參數(shù)比的置信區(qū)間.

表2 形狀參數(shù)比θ2/θ1置信區(qū)間的精度分析

從表2可以看出固定r1的取值時，隨著r2的取值不斷增大，最短置信區(qū)間下邊界值不斷增大(φ1的取值不斷增大)，最短置信區(qū)間上邊界值不斷減小(φ2的取值不斷減小)，形狀參數(shù)比的置信區(qū)間的精度越來越高；同時還可以看出，兩種方法算得的置信區(qū)間的長度隨著r2的增大差異越來越小，縮小的速度也越來越慢.因此，在樣本容量較小時，形狀參數(shù)比的最短置信區(qū)間即為最優(yōu)置信區(qū)間.

4 結論

利用“樞軸量”和“輪廓似然函數(shù)”兩種方法，求出了定數(shù)截尾場合下三參數(shù)pareto分布單總體尺度參數(shù)σ的置信區(qū)間，通過算例分析的結果，得到當2≤r≤7和r≥14時，輪廓似然函數(shù)法所求得σ的置信區(qū)間比樞軸量法求得的置信區(qū)間更短，所以此時用輪廓似然函數(shù)法求得的置信區(qū)間即為最優(yōu)置信區(qū)間；當8≤r≤13時，樞軸量法求得的置信區(qū)間長度更短，這時用樞軸量法求得的置信區(qū)間即為最優(yōu)置信區(qū)間.然后，根據(jù)樞軸量法得到了兩總體形狀參數(shù)比θ2/θ1的最優(yōu)置信區(qū)間，由于容易構造形狀參數(shù)比θ2/θ1置信區(qū)間所需的樞軸量，且樞軸量所服從分布的密度函數(shù)曲線是單峰非對稱，在樣本容量較小時，用最短置信區(qū)間作為目標函數(shù)得到的置信區(qū)間比按傳統(tǒng)概率對稱方法求得的置信區(qū)間更優(yōu)，參數(shù)估計精度也得到顯著提高.