呂曉亞，張 莉

（內江師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川 內江 641112）

數(shù)值分析主要研究求解數(shù)學模型的算法及有關理論，是求解數(shù)學模型的不可缺少的途徑和手段，并隨著計算機的發(fā)展而發(fā)展。在信息科學和計算機技術飛速發(fā)展的今天，數(shù)值分析中的數(shù)值方法更顯重要。數(shù)值分析是一門注重應用的學科，特別注意方法的精確性和計算的效率之間的平衡。傳統(tǒng)的教學模式只注重講授數(shù)值方法的原理，算法的理論推導占據了整個教學過程的大部分時間，再加上缺乏實踐環(huán)節(jié)的教學，使得學生不能很好地運用所學的理論去解決實際問題[1]。每種數(shù)值方法的講授都應該盡量地用有一定實際背景的小問題去檢驗，這樣使得學生在掌握數(shù)學理論的同時也可以引導學生思考如何應用理論去解決實際的問題，這種教學方法能夠激發(fā)學生的學習興趣，使學生對知識的掌握達到理論與實踐并舉的目的。

數(shù)據插值方法是數(shù)值分析中的最基本方法之一，主要解決的問題是根據離散數(shù)據構造一個簡單易于計算的函數(shù)代替原有的復雜函數(shù)。數(shù)據插值的應用非常廣泛，例如在建筑工程的外觀設計、物理實驗中的數(shù)據分析與處理、地理信息數(shù)據的處理、根據離散數(shù)據繪制光滑曲線、圖形放大算法等方面[2]。在數(shù)據插值方法的教學過程中，通過一個具有實際背景的問題對不同插值方法進行對比分析，不僅有助于學生深刻理解各種插值方法，而且能培養(yǎng)學生的科研能力和創(chuàng)新能力。

1 常用的插值方法

在插值函數(shù)中，以多項式函數(shù)應用最廣。常用的多項式插值有Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值及三次樣條插值[3]等。

1.1 Lagrange插值法與Newton插值法

設有n+1個互異的插值結點 x0＜ x1＜… ＜ xn，已知對應函數(shù)值

則n次Lagrange插值多項式為

其中

Newton插值法是一種利用均差構造插值多項式的方法，n次的Newton插值多項式與n次的Lagrange插值多項式是恒等關系，只是表現(xiàn)的形式不同而已。

1.2 Hermite插值法

Hermite插值法是一種帶導數(shù)信息的插值方法，常用的有兩點三次Hermite插值，即考慮兩個插值結點的情形。設兩個互異的插值結點 a ≤ x0＜ x1≤ b ，函數(shù)

且

則三次Hermite插值多項式為

上式記為(2)，其中

1.3 三次樣條插值法

三次樣條插值法是一種分段插值法，由于在插值結點處具有二階導數(shù)連續(xù)，從而具有更好的光滑性。三次樣條插值的思想來源于工程實際問題，而它成熟的數(shù)學方法又在工程實際中得到廣泛的應用。

給定區(qū)間[a,b]上的一個劃分：

已知函數(shù) f(x)在點xj上的函數(shù)值為

如果存在分段函數(shù)

滿足條件：

（2）S′′(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

2 插值法的教學實踐

在許多工程建設中，常常會遇到計算斷面的面積，如計算土方量及探測礦產儲量時，都需要通過斷面測量才能實現(xiàn)[4]。下面就以“計算斷面面積”為例，對Lagrange插值法、Newton插值法、Hermite插值法及三次樣條插值法進行對比分析。如圖 1，實測點 P1, P2, … , Pn將地形斷面曲線分成n-1段。目前，通常使用的方法是通過插值或逼近來構造出斷面的邊界曲線，然后再計算斷面面積。

圖1 斷面曲線

為了作誤差分析，采用方程為 y =4 +sin x ，x∈ [0,3π]作為斷面的邊界曲線，選取的插值信息如表1所示。

表1 插值信息

為了進行對比分析，采用不同類型的三次插值多項式，即三次Lagrange插值多項式（三次Newton插值多項式）、兩點三次Hermite插值多項式與三次樣條插值多項式來構造邊界曲線。其中三次Lagrange插值多項式（三次Newton插值多項式）由于需要4個節(jié)點，故有兩段曲線，而兩點三次Hermite插值多項式與三次樣條插值多項式有6段曲線。利用 MATLAB軟件繪制出的不同類型三次插值曲線如圖 2至圖4所示，其中實線部分表示原曲線，虛線部分表示插值曲線。

如果讓學生觀察圖2至圖4的結果，將可得到如下結論：兩點三次Hermite插值多項式構造邊界曲線的效果最好，其次是三次樣條插值多項式，效果最差的是三次 Lagrange插值多項式，即兩點三次Hermite插值多項式計算斷面面積的精度最高，其次是三次樣條插值多項式，精度最差的是三次Lagrange插值多項式。

圖2 三次Lagrange插值

圖3 兩點三次Hermite插值

圖4 三次樣條插值

為了進一步證實結果的正確性，讓學生分別計算利用三種插值多項式計算出的斷面面積，然后將結果進行對比分析。其對比分析如表2所示。由表2可知，兩點三次Hermite插值多項式計算斷面面積的誤差最小，其次是三次樣條插值多項式，誤差最大的是三次 Lagrange插值多項式，即所得結論是正確的。

表2 幾種計算結果的對比分析

3 結束語

本文主要探討了數(shù)值分析課程中在插值法的教學實踐，主要是通過一個具有實際背景的問題對不同插值方法進行對比分析，這樣做既可以使學生深刻理解并掌握各種插值方法，又可以開拓學生的視野，培養(yǎng)學生的科研能力和創(chuàng)新能力。當然，數(shù)值分析課程中的其它知識點也可以采用這種方式去教學，使學生通過對實際問題的研究，深刻理解知識點，達到理論與實際相結合的效果。