基于數(shù)學(xué)教育觀的“理解”之理解

畢力格圖，史寧中，馬云鵬

（1.東北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024；2.內(nèi)蒙古興安職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古烏蘭浩特137400）

基于數(shù)學(xué)教育觀的“理解”之理解

畢力格圖1，2，史寧中1，馬云鵬1

（1.東北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024；2.內(nèi)蒙古興安職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古烏蘭浩特137400）

“理解”是解釋學(xué)的核心概念?；谡軐W(xué)解釋學(xué)的理解觀，我們認(rèn)為，理解本質(zhì)上是以概念和關(guān)系為核心的意義復(fù)原、生成過(guò)程和存在方式，而存在方式就是認(rèn)知過(guò)程與結(jié)果的相互融合。它具有主體性、相對(duì)性、差異性、循環(huán)性等基本特征。關(guān)于“理解”含義的認(rèn)識(shí)與把握，對(duì)研究確定數(shù)學(xué)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)以及提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量起著關(guān)鍵性的作用。數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性決定了知識(shí)之間的復(fù)雜的內(nèi)在聯(lián)系，要善于從整體上、本質(zhì)上掌握相互關(guān)系，通過(guò)舉例說(shuō)明或講故事、數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯、系統(tǒng)講授、合理評(píng)價(jià)和反思等表現(xiàn)形式，采取梳理、綜合、分類、對(duì)比、轉(zhuǎn)化等方法不斷提升理解者的理解水平。教師的智慧表現(xiàn)于教學(xué)過(guò)程，不僅要注重學(xué)習(xí)者的理解形成的過(guò)程，還要關(guān)注思考過(guò)程、探究過(guò)程中的理解。

理解；解釋學(xué)；專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)認(rèn)知

“理解”是教育學(xué)和心理學(xué)中普遍使用的一個(gè)詞。在不同的學(xué)術(shù)范疇內(nèi)，對(duì)理解有不同的解釋。對(duì)“理解”這一概念含義的不同認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致與其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)、要求與評(píng)價(jià)指標(biāo)等方面問(wèn)題的不同解釋。就數(shù)學(xué)課程與教學(xué)而言，其主要目的之一就是促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入、全面理解，進(jìn)而不斷豐富和完善學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)理解能力和思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，人們通常把“理解”看成一種認(rèn)知方式，一種獲得知識(shí)的手段。而以理解為核心的哲學(xué)解釋學(xué)的興起與發(fā)展極大地豐富了教學(xué)中“理解”的內(nèi)涵，也導(dǎo)致教育教學(xué)理念的變革。然而，數(shù)學(xué)學(xué)科之中的“理解”究竟是什么含義，人們有不同的理解與認(rèn)識(shí)。正確理解與把握“理解”的含義，對(duì)研究確定數(shù)學(xué)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)以及提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量起著關(guān)鍵性的作用。

一、“理解”的含義

（一）辭典中對(duì)理解的不同解釋

在我國(guó)，“理解”一詞，最早見(jiàn)于元朝末年編撰的《宋史》：“心通理解”，是指從內(nèi)心上明白，從道理上了解。理解，從字面上分析，“理”是指事物的緣由，“解”是指剖開(kāi)、解釋、解答、分析、破解或通達(dá)、推敲或推理，就是理性的思考和解讀，領(lǐng)悟事理，依理而解。

《辭?！分袑ⅰ袄斫狻苯忉尀椤傲私?；領(lǐng)會(huì)。是通過(guò)事物間聯(lián)系的揭露而認(rèn)識(shí)新事物的過(guò)程?！保?］《馬克思主義百科要覽》（上卷）中指出“理解是辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論的一個(gè)范疇，指對(duì)事物的相互聯(lián)系及其本質(zhì)規(guī)律的逐漸認(rèn)識(shí)過(guò)程?！^間接理解，是人們借用前人的經(jīng)驗(yàn)和自身的以往經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)一系列的分析、綜合、抽象、概括，從模糊籠統(tǒng)、沒(méi)有分化的理解逐漸過(guò)渡到明確、清晰、分化的理解?！薄恶R克思主義哲學(xué)大辭典》中將“理解”解釋為“理性認(rèn)識(shí)活動(dòng)。是認(rèn)識(shí)借助概念，通過(guò)分析、比較、概括以及聯(lián)想、直覺(jué)等邏輯或非邏輯的思維活動(dòng)?！薄秱惱韺W(xué)大辭典》中將理解解釋為“一般指對(duì)人的行為、思想以及理論、觀點(diǎn)、概念的深刻了解，懂得其含義和價(jià)值。指解釋者透過(guò)生命的各種‘表現(xiàn)’形式（如語(yǔ)言、表情、藝術(shù)作品、自傳等……‘理解’這一范疇有兩個(gè)層次：一是對(duì)個(gè)體的理解；二是在前者的基礎(chǔ)上對(duì)‘客觀精神’（包括語(yǔ)言、“生活”方式、價(jià)值體系等）的理解?！薄渡鐣?huì)科學(xué)大詞典》中將“理解”解釋為“是逐步認(rèn)識(shí)事物的聯(lián)系、關(guān)系，進(jìn)而明確其本質(zhì)和規(guī)律的思維活動(dòng)?！薄逗诟駹栟o典》中將理解解釋為“運(yùn)用理性能力，以概念的形式，達(dá)到對(duì)象的真實(shí)內(nèi)容的把握或理解?！?/p>

從認(rèn)知層面上講，認(rèn)識(shí)得越全面，了解得越透徹，理解得就越深刻，使主體對(duì)客體有更準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)和把握，是了解、理解、操作、應(yīng)用和推理等認(rèn)知維度的核心。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，“理解實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征、并進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)程”［2］。換句話說(shuō)，“理解”是主體以已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或體驗(yàn)為基礎(chǔ)，獲取新的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或體驗(yàn)并把它融入已有認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之中，建構(gòu)意義和新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。理解者的理解過(guò)程是由選擇、信息編碼、意義重構(gòu)與融合三個(gè)階段構(gòu)成。

（二）解釋學(xué)關(guān)于“理解”的解釋

在國(guó)外，關(guān)于“理解”的研究甚多，“理解”是當(dāng)代西方一種重要的哲學(xué)學(xué)說(shuō)——解釋學(xué)的研究對(duì)象，即解釋學(xué)的核心概念。解釋學(xué)最早誕生于古希臘，是關(guān)于古典文獻(xiàn)的注解和解釋的技術(shù)，是古希臘教育的重要組成部分，主要包含修辭學(xué)和詩(shī)學(xué)兩部分［3］。解釋學(xué)的“理解”有兩種含義：

一是“復(fù)原”說(shuō)。這是一般解釋學(xué)的理解觀，其代表人物是施萊爾馬赫和狄爾泰。理解是意義“復(fù)原”的認(rèn)知過(guò)程，是主體通過(guò)語(yǔ)言分析和心理移情在心理上重新體驗(yàn)、復(fù)制和重構(gòu)文本、作品的意義或作者心理背景的過(guò)程。施萊爾馬赫將理解概括為“避免誤解的藝術(shù)”，理解就是消除“誤解”，理解的對(duì)象是人類及其生活史［4］。狄爾泰更加完善了“復(fù)原說(shuō)”，并提出用移情的方法進(jìn)行復(fù)原，認(rèn)為理解就是從文本、作品、行為記載出發(fā)，通過(guò)語(yǔ)言分析和心理移情，把握作者本意、意圖、情感和價(jià)值觀，進(jìn)而更好地構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到理解與作者原意的一致。

二是“視界融合”說(shuō)。這是哲學(xué)解釋學(xué)的理解觀，其代表人物是海德格爾和他的學(xué)生伽達(dá)默爾。在海德格爾看來(lái)，“理解”并不是一種認(rèn)知方式，它既不是主觀意識(shí)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)和功能，也不是獲取知識(shí)的心理工具，而是所有心理活動(dòng)的基礎(chǔ)和條件，是一種存在方式［5］。伽達(dá)默爾在繼承老師的基本觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上提出了“理解”的“視界融合”說(shuō)。他認(rèn)為，理解不是一種簡(jiǎn)單意義的“復(fù)原”，而是主體“視界”和客體（文本或作品）“視界”通過(guò)觀察、對(duì)話、交流，不斷溝通和交融，不斷生成和創(chuàng)造，不斷豐富和拓展，進(jìn)而提升為更高層次的“視界”。

縱觀國(guó)內(nèi)外關(guān)于理解的研究，不難發(fā)現(xiàn)，幾乎都傾向于宏觀理解，這就需要適應(yīng)學(xué)科特點(diǎn)的微觀理解即學(xué)科屬性的研究，與此同時(shí)，應(yīng)用性、可測(cè)性和可行性方面存在諸多問(wèn)題。哲學(xué)解釋學(xué)對(duì)理解內(nèi)涵進(jìn)行宏觀與抽象辨析，而認(rèn)知心理學(xué)把理解納入到主體的心理與認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行研究。然而，學(xué)科教育教學(xué)改革，要以哲學(xué)和心理學(xué)理解觀為理論依據(jù)，深入細(xì)致地研究學(xué)科認(rèn)知規(guī)律，抓住學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)，正確把握其基本特征，清晰地認(rèn)識(shí)理解的形成過(guò)程、表現(xiàn)形式、方法與途徑，以學(xué)科核心要素為切入點(diǎn)進(jìn)行理解。

二、“理解”的基本特征

對(duì)于理解而言，只有正確把握其基本特征，才能夠結(jié)合具體的學(xué)科內(nèi)容有效地指導(dǎo)專業(yè)實(shí)踐活動(dòng)?；谡軐W(xué)解釋學(xué)和認(rèn)知心理學(xué)的理論認(rèn)識(shí)，理解具有以下幾種基本特征：

（一）主體性

哲學(xué)解釋學(xué)宣稱，“一切理解都是自我理解。理解是人的存在方式，人在理解中存在，在存在中理解。”［6］理解的目的不僅僅是為了獲取對(duì)文本、作品、行為記載的原意，又是為了在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上理解自我、認(rèn)識(shí)自我。因此，要理解必須有主體的存在，理解具有鮮明的個(gè)性化特征。

（二）相對(duì)性

主體理解與現(xiàn)實(shí)生活和客體相關(guān)聯(lián)，都是在特定的時(shí)空的某種條件下發(fā)生。由于主體存在的狀態(tài)即前理解（傳統(tǒng)、先知、先見(jiàn)、成見(jiàn)、偏見(jiàn)）、語(yǔ)言（理解是以主體語(yǔ)言去理解客體語(yǔ)言）、間距（時(shí)空、思想、語(yǔ)言的間距）具有一定的歷史局限性，理解都是相對(duì)的，但是相對(duì)理解也包含著絕對(duì)的成分。例如，同一個(gè)人，在初中、高中、大學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，關(guān)于函數(shù)的理解是有很大差距的。

（三）差異性

在理解過(guò)程中，由于主體所處的歷史時(shí)代、傳統(tǒng)與文化背景、思想與語(yǔ)言等基本條件存在著差異，主體的現(xiàn)實(shí)理解絕對(duì)“復(fù)原”客體原意是幾乎不可能的，或者超越原意（即作者沒(méi)想到的或當(dāng)時(shí)根本沒(méi)想過(guò)的意義），或者缺失原意（未能完全理解或根本無(wú)法想到的意義），這都是有可能的，稱之為理解的差異性。要想創(chuàng)新和發(fā)展，縮小理解差異的范圍，就需要理解主體之間進(jìn)行廣泛的交流和對(duì)話。

（四）循環(huán)性

從理解的發(fā)展視角分析，理解是在局部與整體、特殊與一般、文本與現(xiàn)實(shí)的循環(huán)中不斷發(fā)生、生成和重構(gòu)的過(guò)程。隨著理解的基本條件的不斷變化和理解者的自我反思、自我超越、自我完善，人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷變化，進(jìn)而提升理解的程度，這種循環(huán)是永無(wú)止境的動(dòng)態(tài)過(guò)程，稱之為理解的循環(huán)性。

三、數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)與內(nèi)容特征

關(guān)于數(shù)學(xué)理解，不論是認(rèn)知方式還是存在方式的觀點(diǎn)，本質(zhì)上以概念和關(guān)系為核心的意義復(fù)原、生成過(guò)程和存在方式，而存在方式就是認(rèn)知過(guò)程與結(jié)果的相互融合。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)理解對(duì)象的核心就是概念和關(guān)系，是指主體以已有的認(rèn)知水平和對(duì)數(shù)學(xué)的概念與關(guān)系把握的基礎(chǔ)上，通過(guò)某種方式或途徑獲取新的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、經(jīng)驗(yàn)或體驗(yàn)并把它融入已有認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之中，建構(gòu)意義和新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。真正理解了概念和關(guān)系才能夠找到最經(jīng)濟(jì)和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表述和論證。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科之中的理解的內(nèi)容主要由兩個(gè)部分構(gòu)成：

一是圍繞概念的內(nèi)容，即數(shù)學(xué)概念的定義、性質(zhì)（概念本質(zhì)的剖析）及其證明、定理（從定義和性質(zhì)得出的真命題）及其證明、法則與公式及其推導(dǎo)過(guò)程、分類與分類標(biāo)準(zhǔn)、概念的來(lái)源與背景知識(shí)等都屬于理解范疇。概念是思維的細(xì)胞，因此對(duì)概念的清晰理解是正確思維和生成意義的前提和基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念的理解包含內(nèi)涵的理解（如，從定義出發(fā)準(zhǔn)確找出概念的特征或性質(zhì)）和外延的理解（如，利用確定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行正確分類以及對(duì)每一個(gè)子概念的種差有清晰的認(rèn)識(shí)）兩個(gè)方面。就集合而言，美麗的圖案、優(yōu)秀學(xué)生、有用的工具、健康人、長(zhǎng)線或短線等模糊的對(duì)象構(gòu)不成集合，與集合的確定性矛盾。

二是圍繞關(guān)系的內(nèi)容，即已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中的概念和新概念之間線性關(guān)系、樹(shù)形關(guān)系以及簡(jiǎn)單應(yīng)用、簡(jiǎn)單操作、簡(jiǎn)單推理等也都屬于理解范疇，而網(wǎng)狀關(guān)系則是應(yīng)用。其中，線性關(guān)系是指頭腦中的關(guān)于概念與概念、概念與故事的一對(duì)一結(jié)構(gòu)；樹(shù)形關(guān)系是指頭腦中的關(guān)于概念與概念、概念與故事的一對(duì)多結(jié)構(gòu)；網(wǎng)狀關(guān)系是指頭腦中的關(guān)于概念與概念、概念與故事的多對(duì)多結(jié)構(gòu)。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)是研究對(duì)象之間的關(guān)系，包括數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系。而簡(jiǎn)單應(yīng)用、簡(jiǎn)單操作、簡(jiǎn)單推理是指不超過(guò)兩個(gè)步驟的應(yīng)用、操作、推理。所謂步驟，假設(shè)有若干個(gè)簡(jiǎn)單命題A?B，B?C，C?D，D?E，……從A出發(fā)經(jīng)過(guò)B得出C的過(guò)程稱之為兩個(gè)步驟。例如，從三角形的內(nèi)角和為180°這一性質(zhì)得出，三角形的外角和為360°、四邊形可看成兩個(gè)三角所以外角和為360°、五邊形的……等等都是理解，但是，得出所有多邊形的外角和都為360°是三角形性質(zhì)的應(yīng)用。

張奠宙教授指出：數(shù)學(xué)教育，自然是以“數(shù)學(xué)內(nèi)容”為核心［7］。然而，數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心要素就是概念和關(guān)系，概念的形成和關(guān)系的疏通都具有層次性。教師在具體教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)過(guò)程中，要關(guān)注各階段的理解水平。依據(jù)布魯姆分類、SOLO分類、加涅學(xué)習(xí)階段和范希爾理論，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解是具有階段性的，是有一種合理的循環(huán)次序存在，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、邏輯性、應(yīng)用性等特性和理解者內(nèi)在心理活動(dòng)、具體的學(xué)科內(nèi)容、所處的客觀環(huán)境與心理環(huán)境所決定的。就以數(shù)學(xué)實(shí)例來(lái)講，是以已有實(shí)例、正反實(shí)例、典型實(shí)例、自編實(shí)例、概括性實(shí)例等不同層次的例子為思維載體，展示抽象過(guò)程、邏輯關(guān)系、應(yīng)用價(jià)值，分析特征，才能夠加深理解，逐步提高認(rèn)知水平。皮瑞——基倫（Pirie＆Kieren）的關(guān)于理解的理論模型［8］（見(jiàn)圖1），非常直觀地說(shuō)明了理解形成過(guò)程的層次性。

圖1 皮瑞——基倫理解模型

四、有效提升數(shù)學(xué)教師理解觀的建議

課程改革以來(lái)，隨著教師教育理論研究和專業(yè)實(shí)踐研究的深入，諸多的學(xué)科教學(xué)問(wèn)題凸顯出來(lái)。尤其是建立合理的教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的情況較為復(fù)雜，有必要從多視角、多維度深入細(xì)致地進(jìn)行理論研究。就以數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)認(rèn)知維度的確立是編制數(shù)學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵一環(huán)。我們不但需要知道學(xué)生掌握了哪些知識(shí)技能，更需要知道學(xué)生對(duì)這些知識(shí)技能掌握到什么程度、能否利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)技能解決實(shí)際問(wèn)題。本研究依據(jù)哲學(xué)解釋學(xué)和認(rèn)知心理學(xué)理論觀點(diǎn)，將數(shù)學(xué)認(rèn)知維度劃分為5個(gè)子維度，即了解、理解、操作（即技能操作）、應(yīng)用和推理（即演繹推理和歸納推理）。其中“理解”是核心，了解是“前理解”，操作、應(yīng)用和推理是“后理解”，通過(guò)“后理解”更進(jìn)一步理解、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。前與后是相對(duì)概念，“前”是“后”的基礎(chǔ)或條件，“后”又是“前”的深入或發(fā)展，理解正是這種循環(huán)過(guò)程中不斷完善和提升。

（一）教師要全面正確把握理解的含義

作為數(shù)學(xué)教師，對(duì)“理解”的認(rèn)識(shí)不能停留在日常生活中的經(jīng)驗(yàn)水平，而應(yīng)在哲學(xué)和心理學(xué)理論引領(lǐng)下，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）建構(gòu)科學(xué)的理解觀，正確把握數(shù)學(xué)理解的含義，清晰地認(rèn)識(shí)理解形成過(guò)程、表現(xiàn)形式和方法途徑，在實(shí)際教學(xué)中正確、完整、合理地表征數(shù)學(xué)知識(shí)。就以概念表征的理解為例，包括書(shū)面符號(hào)表征、圖表表征、實(shí)踐操作表征、語(yǔ)言表征、實(shí)物情境表征等等。

（二）教師要對(duì)“理解的形成過(guò)程”有清晰的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性決定了知識(shí)之間的復(fù)雜的內(nèi)在聯(lián)系，要善于從整體上、本質(zhì)上掌握相互關(guān)系，并通過(guò)梳理、綜合、分類、對(duì)比、轉(zhuǎn)化，設(shè)計(jì)形成數(shù)學(xué)理解的有效途徑。教師的智慧表現(xiàn)于教學(xué)過(guò)程和設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)理念，不僅要注重學(xué)習(xí)者的理解形成的過(guò)程，還要關(guān)注思考過(guò)程、探究過(guò)程中的理解。教師只有對(duì)“理解的形成過(guò)程”有清晰的認(rèn)識(shí)，才能夠正確把握教學(xué)過(guò)程中的關(guān)鍵要素，具體與抽象、特殊與一般之間融會(huì)貫通，達(dá)到精中求簡(jiǎn)、返璞歸真之效果。就以數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，理解的形成是圍繞數(shù)學(xué)概念與關(guān)系，以事實(shí)、定義、實(shí)例或內(nèi)涵的解析和外延的分類為載體，用歸納的方法抽象出一類事物的共同屬性，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的循環(huán)過(guò)程。這種網(wǎng)絡(luò)的豐富性、復(fù)雜性和開(kāi)放性決定著理解的深度與廣度。由于每個(gè)個(gè)體的數(shù)學(xué)已有的“四基”存在著差異，并且受非智力因素的影響，理解形成的過(guò)程和水平有著差距。以概念為例，如下圖2非常形象地展示了理解形成的一般過(guò)程［9］：

圖2 概念形成的一般過(guò)程

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，概念的教學(xué)有時(shí)以直接給出定義、繼承已有經(jīng)驗(yàn)或?qū)で蟀l(fā)展脈絡(luò)的方式進(jìn)行，并融合到已有的數(shù)學(xué)知識(shí)體系之中。而理解水平體現(xiàn)在對(duì)事實(shí)的觀察、比較、分析、綜合、抽象等心智活動(dòng)的廣度、深度、難度和嚴(yán)謹(jǐn)性上。

（三）教師要對(duì)“理解的表現(xiàn)形式”有清晰的認(rèn)識(shí)

以數(shù)學(xué)的理解而言，清晰地認(rèn)識(shí)其表現(xiàn)形式是理解者形成邏輯行為程序（思考、分析、抽象、簡(jiǎn)明、演繹、推理、設(shè)計(jì)、應(yīng)用、評(píng)價(jià)等）的基礎(chǔ)，具體形式如下：

第一，能夠舉例說(shuō)明或講故事。史寧中教授認(rèn)為：理解的重要表現(xiàn)之一就是能夠舉例說(shuō)明。因?yàn)?，?shù)學(xué)思想方法、理念及潛能作為一個(gè)整體，蘊(yùn)藏在一個(gè)個(gè)生動(dòng)的數(shù)學(xué)案例和故事之中，它是抽象與現(xiàn)實(shí)的天然橋梁。舉例的目的在于探究理解對(duì)象的原形或現(xiàn)實(shí)中的存在方式。

第二，能夠靈活地翻譯數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是表達(dá)數(shù)學(xué)思想方法、知識(shí)和邏輯的、精心設(shè)計(jì)的專門(mén)語(yǔ)言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)約性和形式化等特點(diǎn)，由符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言組成，簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換即翻譯是理解的又一種表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)教育教學(xué)要關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生自己形成思想，理解知識(shí)的關(guān)系和性質(zhì)，把握數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，更關(guān)注理解思維和推理基礎(chǔ)上的靈活記憶，加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確度、清晰度和簡(jiǎn)明性。

第三，能夠系統(tǒng)講解學(xué)科知識(shí)。講解，是理解的表現(xiàn)形式之一，是教師運(yùn)用演繹、推理、說(shuō)明、分析、闡釋、揭示等手段講授學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)方法，是教師作為學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的促進(jìn)者的最重要的體現(xiàn)形式之一。通過(guò)教師條理清晰、詳略得當(dāng)、措辭精當(dāng)、表達(dá)流暢的講解，使學(xué)生理解文本原意，超越或生成新的意義。講授法有課容量大、便利理念表達(dá)、效率高等優(yōu)點(diǎn)，系統(tǒng)講解并不等于“滿堂灌”，我們不要受對(duì)立世界觀的影響。人們?cè)噲D證明學(xué)科知識(shí)、教學(xué)知識(shí)、課程知識(shí)等知識(shí)哪一個(gè)更重要，同樣對(duì)教學(xué)方法也想分出等級(jí)關(guān)系。這是徒勞的作為，分類不等于“分等級(jí)”。不管哪一種知識(shí)或方法，在教與學(xué)的過(guò)程中融為一體，相互結(jié)合或補(bǔ)充，交替使用才能夠達(dá)到良好的教學(xué)效果。就像生物體的水分一樣（如人70%以上、水母98%左右），可是我們無(wú)法直接看到，也無(wú)法評(píng)價(jià)哪一個(gè)成分更重要。

第四，能夠正確評(píng)價(jià)教與學(xué)的過(guò)程與結(jié)果。哲學(xué)解釋學(xué)認(rèn)為，評(píng)價(jià)是一種理解方式。史寧中教授說(shuō)：“知識(shí)是結(jié)果，可以是思考的結(jié)果，也可以是經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，所以知識(shí)的教育是結(jié)果的教育。人的智慧表現(xiàn)于過(guò)程，要注重過(guò)程的教學(xué)。不僅僅是知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，過(guò)程的教育強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與。關(guān)注學(xué)生的思考過(guò)程、探究過(guò)程，使學(xué)生能思考問(wèn)題、會(huì)思考問(wèn)題。”教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科成分、課程實(shí)施、教學(xué)設(shè)計(jì)、師生關(guān)系等有正確的理解，才能夠形成正確的評(píng)價(jià)理念，調(diào)動(dòng)學(xué)生情感，提高教學(xué)質(zhì)量。

第五，能夠全面分析和反思教學(xué)行為。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，分析和反思是數(shù)學(xué)思維的核心，是學(xué)習(xí)者對(duì)自身的理解與行為模式的優(yōu)勢(shì)、劣勢(shì)以及局限性所做出的理性思考，能夠清晰地診斷學(xué)習(xí)過(guò)程與結(jié)果中存在的問(wèn)題，分散難點(diǎn)，避免誤解或偏見(jiàn)，養(yǎng)成良好的習(xí)慣。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面”。

（四）教師要對(duì)“理解的方法與途徑”有清晰的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，本質(zhì)上是以解釋、觀察、交流與反思、操作、應(yīng)用、評(píng)價(jià)為形式展開(kāi)的理解活動(dòng)。眾所周知，教育教學(xué)成敗的關(guān)鍵因素就是教師的素養(yǎng)。一個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)良好的專業(yè)實(shí)踐訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教師，很難擺脫狹隘和膚淺。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，教師的角色扮演能力是關(guān)鍵，即教師的文化心理素養(yǎng)（由價(jià)值取向、思維方式、審美趣味構(gòu)成）和學(xué)科素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生有著強(qiáng)大的、持久的影響力。通過(guò)名師引領(lǐng)、課例示范、同伴互助、專題論壇、同課異構(gòu)、廣泛交流等多種途徑促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展，交流理解的方法與途徑，提高教師的理解能力，為學(xué)生提供豐富多彩的情景，有效激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，激勵(lì)學(xué)生動(dòng)腦思考、動(dòng)眼觀察、動(dòng)手操作、動(dòng)耳傾聽(tīng)、動(dòng)身體驗(yàn)，也為學(xué)生提供探索與思考的余地，倡導(dǎo)在合作交流之中理解數(shù)學(xué)。

總之，數(shù)學(xué)教育教學(xué)要以師生發(fā)展為本，把理解的主動(dòng)權(quán)交給理解者，讓學(xué)習(xí)者自主探索，主動(dòng)積極地建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，得到和諧地發(fā)展。新課改所提出的學(xué)習(xí)理念：“每一個(gè)學(xué)生都可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同水平的數(shù)學(xué)；允許學(xué)生以不同的速度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；學(xué)生可以用自己的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”［10］正體現(xiàn)了理解性學(xué)習(xí)的觀念。只有樹(shù)立正確的理解觀，數(shù)學(xué)教育才能夠使人在自我理解、自我實(shí)現(xiàn)、自我創(chuàng)造過(guò)程中提升主體價(jià)值與意義、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維與能力。

［1］辭海編輯委員會(huì).辭海［M］.香港：中華書(shū)局香港分局，1979：2312.

［2］李新成.現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于理解過(guò)程的研究［J］.教育理論與實(shí)踐，1997（2）：45－49.

［3］金生鈜.理解與教育——走向哲學(xué)解釋學(xué)的教育哲學(xué)導(dǎo)論［M］.北京：教育科學(xué)出版社，1997：31－39.

［4］伽達(dá)默爾.真理與方法 ［M］.上海：上海譯文出版社，1999：380－385.

［5］廖青.解釋學(xué)視野下的“理解”及其對(duì)教學(xué)的啟示［J］.成都大學(xué)學(xué)報(bào)：教育科學(xué)版，2008（10）：8－10.

［6］王金福.解釋學(xué)：對(duì)理解的理解 ［J］.贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（2）：6－10.

［7］張奠宙.當(dāng)心“去數(shù)學(xué)化”［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2005（6）：14－22.

［8］鮑健生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程［M］.上海：上海教育出版社，2009：131.

［9］曹才翰，蔡金法.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論［M］.南京：江蘇教育出版社，1989：67.

［10］數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2002：2－6.

The Understanding of“Understanding”Based on the View of Mathematics Education

BI Li－getu1，2，SHI Ning－zhong1，MA Yun－peng1
（1.College of Educational Science，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.Department of Mathematics，Xing An Vocational and Technical College，Hulanhaote 137400，China）

“Understanding”is the core concept of hermeneutics.Based on concept of philosophical hermeneutics of understanding theory，we think，understand is meaning recovery，the building process，and existence with concepts and relationships at the core.In addition，existence is the integration of cognitive processes and result.It has subjective，relative，difference，circulation and other basic features.Recognizing and securing the meaning of understanding plays a key role in research and enact the quality standards of mathematics，mathematics teacher professional standards and improve the quality of teaching mathematics.Systematic and rigorous of mathematical knowledge determine the complex intrinsic contact of knowledge，teacher should be good at grasping the relationship by the whole and nature idea，through the form of expression，examples or stories，mathematical language translation，systemic teaching，a reasonable evaluation and reflection，taking the methods of pectination，synthesis，classification，comparison，conversion and so on to improve the understanding levels of students.Teacher’s wisdom is reflected in the teaching process，not only focus the learner’s understanding formation process，but also concern about the understanding in the thought process and explore process.

Understanding；Hermeneutics；Professional standards；Mathematical Cognition

G42

A

1001－6201（2011）02－0159－05

［責(zé)任編輯：何宏儉］

2010－11－10

全國(guó)教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年度國(guó)家重點(diǎn)課題（ADA100009）；教育部委托重大項(xiàng)目《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)研究》（數(shù)學(xué)、語(yǔ)文）

畢力格圖（1966－），男，內(nèi)蒙古科右中旗人，東北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士研究生，興安職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授；史寧中（1950－），江蘇宜興人，東北師范大學(xué)校長(zhǎng)，教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)務(wù)院學(xué)科評(píng)議組成員，中國(guó)教育學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)；馬云鵬（1954－），男，吉林洮南人，東北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，香港中文大學(xué)哲學(xué)博士。