常 建，丁智勇

（阜陽師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽 236041）

MATLAB仿真李薩如圖形小議

常 建，丁智勇

（阜陽師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽 236041）

近年來，MATLAB因其具有很好的數(shù)據(jù)處理功能及強(qiáng)大的繪圖功能而在各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。有很多學(xué)者已經(jīng)、正在、可能將來還會做MATLAB仿真李薩如圖形的實驗。然而筆者在做該實驗時，卻發(fā)現(xiàn)強(qiáng)大的MATLAB軟件在做該實驗時，卻顯得有些牽強(qiáng)。

MATLAB；仿真；李薩如圖形；牽強(qiáng)

1 引言

1.1 MATLAB簡介

MATLAB是Matrix和laboratory的前三個字母的組合，因此，又有“矩陣實驗室”之稱。它起初是由美國新墨西哥州大學(xué)計算機(jī)主任Cleve Moler編寫的fortran子程序庫接口程序，目的是方便學(xué)生在線性代數(shù)中的運(yùn)算。經(jīng)過近三十年的研究和不斷的完善，它已由當(dāng)初的“矩陣實驗室”發(fā)展成為一種有廣泛應(yīng)用前景的，全新的計算機(jī)高級語言［1］。

數(shù)據(jù)的可視化是MATLAB的一項重要功能，可視化方法包括二維圖和三維圖。在仿真李薩如圖形中主要用到的是二維圖。

1.2 李薩如圖形合成實驗

當(dāng)一個質(zhì)點同時參與互相垂直的兩個簡諧振動時，質(zhì)點的位移是兩個振動位移的矢量和。在一般情況下，質(zhì)點在平面上作曲線運(yùn)動，不能形成封閉的曲線，只有當(dāng)兩個分振動的頻率成整數(shù)比時，合振動的軌跡才是穩(wěn)定的封閉曲線，這種曲線稱為李薩如圖形［2］。

李薩如圖形的合成實驗在一般理工科學(xué)校都會開設(shè)。作為一個基礎(chǔ)實驗，實驗設(shè)備比較簡單，主要包括信號發(fā)生器、示波器。并且在實驗過程中可以訓(xùn)練學(xué)生對示波器界面的掌握及操作。

隨著科技的發(fā)展，計算機(jī)的應(yīng)用。很多理工科學(xué)校正在逐步開設(shè)計算物理或者仿真物理這一學(xué)科。由于程序編寫簡單，物理實驗易做。MATLAB仿真李薩如圖形的實驗在很多理工科學(xué)校是作為物理實驗與計算機(jī)仿真的樣例出現(xiàn)在教材中的。

2 MATLAB仿真李薩如圖形

2.1 筆者的仿真實驗

筆者在中國知網(wǎng)搜索MATLAB仿真李薩如圖形的相關(guān)文章［3－6］。這些文章中應(yīng)用MATLAB仿真的李薩如圖形生動、形象、直觀，尤其是在頻率較大時得到的圖形要比用示波器得到的圖形穩(wěn)定性好。筆者也帶著崇拜的心情將MATLAB仿真李薩如圖形的實驗用 MATLAB7.0軟件又重新做了一遍。卻發(fā)現(xiàn)，低頻時的仿真效果確實很好，高頻時的實驗結(jié)果卻讓筆者意想不到。以橫縱坐標(biāo)軸上波的疊加頻率為2∶1、相位差為0的兩列波的疊加來談一下。筆者的程序為：

相比于文獻(xiàn)［3］的程序有一點改動，但沒有實質(zhì)上的改進(jìn)，只是輸入方便了一些。當(dāng)筆者輸入“wx＝2，tn＝0.02”時，和文章中的圖形一樣為李薩如圖形；當(dāng)筆者輸入“wx＝200，tn＝0.02”時，得到的圖形竟然如圖（1），這顯然不是李薩如圖形；當(dāng)筆者輸入“wx＝500，tn＝0.02”時，圖形又變化成了圖（2），這也不是李薩如圖形。

我們看到，隨著橫縱坐標(biāo)軸上波的頻率（頻率比值不變）的增大，“李薩如圖形”發(fā)生了變化。我們還知道，在實驗室里，信號發(fā)生器的頻率一般是以千赫為單位的，然而在本實驗中，橫縱坐標(biāo)波的頻率還不足1kHZ，合成的形狀已經(jīng)完全偏離了李薩如圖形的模樣。為什么會有這樣的實驗結(jié)果，這是值得我們思考的問題。也是仿真實驗老師做仿真實驗時應(yīng)該注意的問題。

2.2 對實驗現(xiàn)象的解釋

2.2.1 第一個問題：大頻率李薩如圖形為什么會發(fā)生偏離？

實際上，在這篇文章的開篇筆者已經(jīng)告訴讀者“李薩如圖形”發(fā)生偏離的答案了。MATLAB軟件，說白了就是“矩陣實驗室”，它對數(shù)據(jù)的處理是以矩陣形式展開的。我們可以用一個命令“whos x”，將程序運(yùn)行時的x變量的矩陣名稱、矩陣元素、占用的字節(jié)，和數(shù)據(jù)格式調(diào)出如下：

可以看出，MATLAB對數(shù)據(jù)的描述是按照矩陣元素的每一個孤立的數(shù)據(jù)來畫圖然后連接在一起，并且默認(rèn)情況下，點與點之間用藍(lán)色線連接起來，這時plot函數(shù)相當(dāng)于line函數(shù)。

例如，做余弦函數(shù)圖形的命令：x＝0：0.01：2＊pi；y＝cos（x）；plot（x，y）。實際上，這條線是由629個點組成的，而不是一個余弦曲線。點與點之間是直線相接，只不過點很多將余弦函數(shù)曲線微分化了，每一段直線合在一起，看起來似一個余弦函數(shù)圖形。如果把程序改作：x＝0：1：2＊pi；y＝cos（x）；plot（x，y），即步長換作1做出的圖（3）為7個點的余弦曲線，讀者朋友可以清楚的看出這不是余弦曲線。

上面的例子拋磚引玉，目的在于使讀者理解李薩如圖形發(fā)生偏差的實質(zhì)。李薩如圖形看起來發(fā)生了偏差，而事實上并沒有發(fā)生偏差。這一點正好比上面的例子，本不是余弦曲線卻看起來似余弦曲線。以圖（1）為例，筆者再把李薩如圖形重做一次，把語句“plot（x，y）”換作“plot（x，y，＇.g＇）”，即消除掉點之間的連線，圖（1＇）即是間斷的點構(gòu)成的李薩如圖形。

至此，可能有讀者會問，我們看到頻率稍大時，圖形上藍(lán)色區(qū)域是什么呢？那只能是點之間的連線了。為了看出是點之間的連線，只需畫出兩個點。筆者在程序后面加了兩句：

畫出兩個點，并用洋紅色標(biāo)出，如圖（4）。x（5000），y（5000）分別是x，y矩陣中的第5000個元素；同樣x（5001），y（5001）是x，y矩陣中第5001個元素。由圖像可以看出這兩個矩陣中相鄰的元素在作出的圖形上卻不是相鄰的。

我們返回到函數(shù)來看，x（5000）和x（5001）兩個數(shù)字相差應(yīng)為cos（wx＊tn）。此處，wx＝200，tn＝0.02，于是 wx＊tn＝4＞π。那么，反映在余弦函數(shù)圖形上就相差了半個周期還要多，畫在圖形上當(dāng)然不可能是相鄰的了，即用MATLAB作出的李薩如圖形是不連續(xù)的。而這時再用plot函數(shù)常規(guī)作圖，點與點之間的藍(lán)色連線勢必占據(jù)一定的區(qū)域。

然而用示波器作出的李薩如圖形是一個個點打出來的，是連續(xù)的。這也就是說MATLAB作出的圖形跟示波器描繪的李薩如圖形性質(zhì)上就不是同一個概念。如何改進(jìn)使圖形曲線成為連續(xù)的呢？這是我們要思考的第二個問題。

2.2.2 如何改進(jìn)使圖形曲線成為連續(xù)的呢？

為了解決這個問題，即達(dá)到圖形連續(xù)的要求，我們設(shè)想只要wx＊tn足夠小，就能使畫出的兩個點相鄰——連續(xù)。我們知道，在實驗室里，信號發(fā)生器的頻率可以很大。因此，我們只能把tn設(shè)置小。如果把tn縮小一個量級，再看兩點的位置如圖（5），兩點之間的位置已經(jīng)很接近了。并且在tn縮小一個量級后，中間大片區(qū)域的藍(lán)色線條也幾乎消失了。

從數(shù)學(xué)上來講這時兩點之間的連線跟該兩點處李薩如曲線的切線斜率很接近了，即圖形已經(jīng)接近連續(xù)了。我們繼續(xù)降低tn，令tn＝0.001，圖形上藍(lán)色線條已經(jīng)消失，兩點雖離得很近。但距離還是有的，圖形還沒有達(dá)到連續(xù)，于是再次降低tn，直到tn＝0.00005時，出現(xiàn)在圖像上的兩點才可以看做一點。但是這時才剛好達(dá)到wx＊tn＝0.01，這也就是我們用MATLAB作圖所要求的一般精度。我們再來看一下x矩陣的參數(shù)

這時，x和y矩陣中的元素已經(jīng)達(dá)到了4百萬個，字節(jié)數(shù)也到達(dá)到3千2百萬。到此，我們設(shè)置wx＝200Hz，tn＝0.00005可以作出連續(xù)的李薩如圖形了，但是計算機(jī)運(yùn)行的時間明顯變長。再降低tn的值，計算機(jī)就會顯示“out of memory”。

讀者請注意，以上我們還只是在做wx＝200Hz的李薩如圖形的仿真，假如說我們要做wx＝10kHZ的李薩如圖形的仿真，可以算一下，如果仍然要求wx＊tn＝0.01的精度的話（這個精度一點都不高），應(yīng)該有tn＝0.000001，這時x、y矩陣中應(yīng)有2億零1個元素，占16億零8個字節(jié)，這時x和y矩陣中純元素占用的內(nèi)存為3G?？上攵嬎銠C(jī)內(nèi)存要達(dá)到多大才能處理這么龐大的數(shù)據(jù)（這里的數(shù)據(jù)是推算出來的，因為在這個精度下2G內(nèi)存的計算機(jī)早已顯示“out of memory”了）。

因此，我們有理由相信，強(qiáng)大的MATLAB軟件可以做很復(fù)雜、很強(qiáng)大的運(yùn)算，但是目前計算機(jī)內(nèi)存卻還達(dá)不到這個水平，筆者在做仿真實驗時，在2G內(nèi)存計算機(jī)中當(dāng)tn＝0.00001時，運(yùn)行該程序就會出現(xiàn)“out of memory”。也就是說筆者的計算機(jī)最大只能做到wx＝1000的李薩如圖形。而實驗室中這頻率量級的波很小。所以，筆者認(rèn)為對于“MATLAB仿真李薩如圖形”的說法不妥，換做“MATLAB演示李薩如圖形”或者“MATLAB模擬李薩如圖形”較為合適。尤其是大頻率信號李薩如圖形的產(chǎn)生更應(yīng)該成為模擬或者演示。

3 總結(jié)

本文結(jié)合對MATLAB“仿真”李薩如圖形中遇到的問題，從計算機(jī)硬件設(shè)備角度分析了李薩如圖形的合成，尤其是稍大頻率的李薩如圖形合成中矩陣元素的個數(shù)，字節(jié)數(shù)之大。得出大頻率李薩如圖形仿真實驗達(dá)到示波器圖形連續(xù)的效果幾乎不可能。因此，用MATLAB描述李薩如圖形，說成模擬或演示更合適。

［1］常 建，王 麗，丁智勇.MATLAB動畫演示機(jī)械波傳播中質(zhì)點不隨波遷移［J］.科教導(dǎo)刊，2011，（5）（下旬刊）：74－76.

［2］潘文玲.李薩如圖形的研究［J］.物理通報，1997，（1）：5－6.

［3］石 涵.用MATLAB研究李薩如圖形及其討論［J］.物理與工程，2009，19（1）：64－67.

［4］黃 光.基于MATLAB的李薩如圖形演示及其應(yīng)用 ［J］.中國科技信息，2008，（2）：85－87.

［5］賁進(jìn)柱.廣義李薩如圖形的MATLAB程序設(shè)計與若干結(jié)論［J］.青海大學(xué)學(xué)報，2006，（4）：80－84.

［6］劉 慧，王玉連，李 勇，等.MATLAB在簡諧振動的合成教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科技信息，2010，（20）：434－437.

Discussion on Simulation Based on MATLAB of Lissajous Figures

Chang Jian，Ding Zhiyong

（1.School of Physics and Electronic Sciences，F(xiàn)uyang Teachers College，F(xiàn)uyang 236041，China）

In recent years，As the MATLAB has the very good data processing function and powerful drawing function that it was widely used in various fields.Many scholars did，or are doing，or maybe will also do the simulation on the MATLAB of lissajous figures.But in this experiment，the author found the powerful MATLAB seems so shrivelled.

powerful MATLAB；simulation；Lissajous figures；shrivelled

O45

A

1673-1794（2011）05-0035-03

常 建，男，阜陽師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院本科生；丁智勇，男，阜陽師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院教師。

安徽省質(zhì)量工程項目（20100634）；阜陽師范學(xué)院2010質(zhì)量工程項目（2010CXSYQ02）；阜陽師范學(xué)院2011質(zhì)量工程項目“高中物理科學(xué)探究典例開發(fā)研究”

2011-06-13