李慶宏，黃日朋

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

簡論基于研究性教學(xué)的《數(shù)值分析》教學(xué)設(shè)計

李慶宏，黃日朋

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

《數(shù)值分析》是數(shù)學(xué)類專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，旨在培養(yǎng)學(xué)生利用科學(xué)與工程計算這一手段來解決實際問題的能力。在《數(shù)值分析》的教學(xué)設(shè)計中，應(yīng)體現(xiàn)研究性教學(xué)的思想與要求，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的創(chuàng)造力。本文從數(shù)值方法的引入與總結(jié)、數(shù)值實驗這兩個環(huán)節(jié)討論了如何對《數(shù)值分析》的研究性教學(xué)進(jìn)行設(shè)計。

數(shù)值分析；研究性教學(xué)；引入與總結(jié)；數(shù)值實驗

《數(shù)值分析》是數(shù)學(xué)類專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，其主要內(nèi)容是研究求解連續(xù)性數(shù)學(xué)問題及模型的數(shù)值計算方法，并能通過計算機(jī)編程得到相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果。該課程旨在培養(yǎng)學(xué)生利用計算機(jī)等現(xiàn)代計算手段來解決現(xiàn)實生活中出現(xiàn)的各種復(fù)雜定量問題（數(shù)學(xué)問題）的能力。數(shù)值分析是現(xiàn)代科學(xué)與工程計算的重要基礎(chǔ)，而現(xiàn)代科學(xué)與工程計算被認(rèn)為是與理論研究、實驗研究并駕齊驅(qū)的三種科學(xué)研究手段之一［1］。因此，教好這門課程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和實踐能力，激發(fā)他們的創(chuàng)造力，無疑有著非常重要而深遠(yuǎn)的意義。

研究性教學(xué)作為一種以“問題”為中心的教學(xué)模式和教學(xué)方法，要求在教師指導(dǎo)下，學(xué)生從現(xiàn)實生活中選取一些與所學(xué)知識、思想與方法相關(guān)的問題進(jìn)行分析、歸納、假設(shè)、建模、求解。在這過程中，學(xué)生可以積極主動地探索、思考、實踐。研究性教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、解決問題的能力、團(tuán)隊合作以及創(chuàng)新能力等方面發(fā)揮著重要作用。目前，我國高等教育界的一個廣泛共識是，傳統(tǒng)的以教師為核心以知識灌輸為重點的大學(xué)培養(yǎng)模式和教學(xué)方法已經(jīng)嚴(yán)重影響到人才的培養(yǎng)質(zhì)量，必須加以改革，而提倡以學(xué)生為核心以能力培養(yǎng)為重點的研究性教學(xué)應(yīng)該是我國高等教育教學(xué)改革的主要選項之一。

教學(xué)設(shè)計是教師在教授某門課程前所做的教學(xué)準(zhǔn)備工作的總稱，涉及教學(xué)的多個環(huán)節(jié)，如對該課程以及相關(guān)課程的總體認(rèn)識，對授課內(nèi)容、目的與要求的準(zhǔn)確理解和把握，對重點和難點的處理，采用的教學(xué)模式和方法，教學(xué)進(jìn)度與過程的設(shè)計與安排，實驗、作業(yè)、考核等環(huán)節(jié)的設(shè)計與實施等等。做好教學(xué)設(shè)計是搞好教學(xué)工作的前提和基礎(chǔ)。根據(jù)研究性教學(xué)的基本內(nèi)涵和要求，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，要采取多種途徑和方式，有意識地去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用研究型思維和探究性學(xué)習(xí)去理解、去思考、去發(fā)現(xiàn)、去體驗、去總結(jié)；要以“問題”為中心，以培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”為主要目標(biāo)［2］。

本文我們將從數(shù)值方法的引入與總結(jié)和數(shù)值實驗這兩個教學(xué)環(huán)節(jié)來討論如何對《數(shù)值分析》的研究性教學(xué)進(jìn)行設(shè)計。這里想指出的是，《數(shù)值分析》教學(xué)的每一環(huán)節(jié)，如課堂教學(xué)、習(xí)題、考核、教學(xué)互動等等，都很重要，都需要進(jìn)行精心設(shè)計，但以上所考慮的兩個環(huán)節(jié)似乎更能體現(xiàn)研究性教學(xué)的宗旨和目的。

1 數(shù)值方法的引入與總結(jié)

問題的引入是指教師采用何種方式和途徑將所要講授的問題介紹給學(xué)生，目的是讓學(xué)生對所學(xué)知識的內(nèi)容、背景和發(fā)展歷史等有些初步的認(rèn)識與了解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而問題的總結(jié)是指教師在講完某個問題或?qū)ｎ}后所做的總結(jié)，包括對理論、思想、方法的總結(jié)以及實驗結(jié)果和習(xí)題講解等等。就《數(shù)值分析》而言，對于某個的數(shù)值計算方法，教師應(yīng)該講清楚該算法的起源與發(fā)展歷史，它計算了什么問題，這些問題的來源與背景等等，而在結(jié)束這個算法的講授時，應(yīng)告訴學(xué)生該算法一些最新的研究進(jìn)展，該算法在哪些新的領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用，如果想深入研究該算法可以進(jìn)一步閱讀哪些更深的文獻(xiàn)資料等等。這些教學(xué)設(shè)計不僅要求教師對該數(shù)值方法本身的構(gòu)造、定性性質(zhì)、應(yīng)用背景與趨勢有非常準(zhǔn)確而透徹的理解與掌握，而且還要求教師對相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域研究的歷史脈絡(luò)、現(xiàn)狀、一些重要的進(jìn)展也要有較為深入的了解。下面我們以插值方法和數(shù)值積分這兩個教學(xué)單元為例，討論如何進(jìn)行研究性的教學(xué)設(shè)計。

目前，許多教科書對于插值方法的論述是這樣進(jìn)行的。首先介紹插值問題，即對于給定的一些離散的數(shù)據(jù)點，找到這些變量間的函數(shù)關(guān)系，使得這些已知的數(shù)據(jù)點滿足這樣的函數(shù)。然后在給出相關(guān)概念后指出，解決插值問題的方法就稱為插值方法，并給出一些理論結(jié)果。接著，便開始一一介紹具體的插值方法及其相關(guān)的誤差估計和計算結(jié)果。應(yīng)該說，這樣的處理把插值方法的基本內(nèi)容講清楚了。但這樣處理是基于知識灌輸?shù)慕虒W(xué)理念的，并沒有體現(xiàn)研究性教學(xué)的目的和要求。事實上，在學(xué)習(xí)的過程中，我們不禁會問：插值方法是怎么形成的？它的基本思想是什么？它能解決哪些現(xiàn)實生活中的問題？如果我們碰到一些類似的問題，應(yīng)該如何應(yīng)用這些插值方法？等等。因此，在講授插值方法時，問題的引入和總結(jié)顯得非常重要。我們可以先介紹一些具體的插值問題的例子，如機(jī)械加工的計算機(jī)控制問題、船只進(jìn)入港口的線路問題、飛機(jī)的設(shè)計與制造問題［3，4］等等，講解時應(yīng)盡量細(xì)致一些，不要太泛，然后再引入插值問題，這樣做會讓學(xué)生覺得，插值問題不僅僅是一個抽象的求解函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，它在現(xiàn)實世界中有著活生生的例子，從而對相關(guān)的求解方法就會產(chǎn)生學(xué)習(xí)和探究的興趣。此外，補(bǔ)充插值問題與插值方法的一些發(fā)展過程、歷史典故也是有益的。而在對插值方法進(jìn)行總結(jié)時，我們可以介紹插值方法的一些最新研究進(jìn)展、應(yīng)用實例等等，如插值方法在曲線曲面的構(gòu)造、股票證券市場的分析與預(yù)測、圖形圖像處理、生態(tài)環(huán)境的保護(hù)、GPS衛(wèi)星軌道的模擬等方面的應(yīng)用，諸如此類。教師也可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，擬定一些有趣的問題，比如，用所學(xué)的某種插值方法對某些現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，然后再分析預(yù)測某些變量的變化趨勢，這些數(shù)據(jù)可以來自于各行各業(yè)或各種實際問題，如經(jīng)濟(jì)、金融、股票和證券市場、生態(tài)、氣象、教育、醫(yī)藥、管理等等。盡管學(xué)生可能不會得出什么有價值有創(chuàng)見的研究結(jié)果，或者得出的結(jié)論可能會似是而非，自相矛盾，但這并不重要，重要的在于，在此過程中，不僅讓學(xué)生鞏固了所學(xué)知識，學(xué)習(xí)了許多專業(yè)以外的知識與方法，而且讓學(xué)生懂得并切身體驗了插值方法是如何用來解決一些實際問題的，自然地，他們的分析解決問題以及動手實踐的能力會得到一定程度地訓(xùn)練和提高［5］。

再以數(shù)值積分為例?，F(xiàn)有的許多教材先是將機(jī)械求積分的思想，然后再按部就班地將各種數(shù)值積分公式及其一些定性性質(zhì)的分析與證明，其間也穿插一些算例，最后是些習(xí)題和上機(jī)實驗題。應(yīng)該說這種教學(xué)的設(shè)計是傳統(tǒng)的中規(guī)中矩的，正如上面提到的，是知識灌輸型的，基本上沒有什么特色，更談不上體現(xiàn)研究性教學(xué)的理念。在這個單元教學(xué)中，在問題的導(dǎo)入上，教師應(yīng)向?qū)W生闡明兩個問題：為什么要用數(shù)值的方法來求解定積分？為什么能用一些函數(shù)值的線性組合來近似代替原來的定積分？第一個問題是讓學(xué)生明白，對于某些定積分，我們是無法得到精確解的，這里可舉幾個例子，當(dāng)然，如果能給出這些例子的出處和實際背景，那么效果就更好了；第二個問題實際上是回答了數(shù)值積分公式的構(gòu)造思想，依照此思想以及一些準(zhǔn)則如精度和穩(wěn)定性的要求，學(xué)生就可以自己去構(gòu)造屬于自己的數(shù)值積分公式，可以用自己的名字命名，顯然，學(xué)生的興趣就會被調(diào)動起來了。在本單元的總結(jié)時，我們既要向?qū)W生介紹有關(guān)現(xiàn)代數(shù)值積分方法的一些研究進(jìn)展，如高振蕩的數(shù)值積分方法，以及數(shù)值積分方法在某些科學(xué)、工程與社會生活領(lǐng)域中的應(yīng)用，如微分方程計算、信號處理、統(tǒng)計計算等等，也可設(shè)計一些問題供學(xué)生進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)，比如，現(xiàn)有的積分公式的精度是基于多項式擬合的，即公式要對函數(shù)集｛1，x，x2，…，xn｝精確成立并使得n要盡可能地大，而我們可以要求學(xué)生運用所學(xué)的構(gòu)造方法來構(gòu)造基于函數(shù)集｛1，x，x2，…，cos（wx），sin（wx），…｝的數(shù)值積分公式，事實上，此類積分在計算某些高振蕩積分時效果很好；再比如，現(xiàn)有本科層次的數(shù)值分析教材所講授的數(shù)值積分方法基本上是用來解一維有限區(qū)間上的正常積分的，因此，我們可以要求學(xué)生利用機(jī)械求積的思想去考慮如何設(shè)計求解反常積分以及多元定積分的數(shù)值積分公式等等。

2 實驗設(shè)計

實驗教學(xué)是《數(shù)值分析》教學(xué)中的一個非常重要的環(huán)節(jié)。設(shè)計一個科學(xué)合理的實驗教學(xué)方案，讓學(xué)生在上機(jī)編程計算的實踐活動中，去發(fā)現(xiàn)、體驗、思考各種算法的計算效能、優(yōu)缺點以及改進(jìn)的方案等等，對提高《數(shù)值分析》的教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力有著舉足輕重的地位和作用。一般而言，按其性質(zhì)和目的，我們可將實驗分為驗證性、綜合性、設(shè)計性和創(chuàng)新性實驗等等。綜合性實驗是指實驗內(nèi)容涉及本課程的綜合知識或與本課程相關(guān)課程知識的實驗，它具有實驗內(nèi)容的復(fù)合性、實驗方法的多樣性以及人才培養(yǎng)的綜合性等特點；而設(shè)計性實驗是指給定實驗?zāi)康?、要求和實驗條件，學(xué)生自己設(shè)計實驗方案，并加以實現(xiàn)的實驗，它具有學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、實驗內(nèi)容的探索性、實驗方法的多樣性以及實驗結(jié)果的創(chuàng)新性等特點。

3 結(jié)論

以上我們從問題的引入和總結(jié)、實驗設(shè)計這兩個方面簡要討論了如何對《數(shù)值分析》進(jìn)行研究性教學(xué)設(shè)計。科學(xué)合理充分的教學(xué)設(shè)計是搞好教學(xué)工作的基礎(chǔ)和前提，而研究性教學(xué)的模式和方法因其特有的在人才培養(yǎng)方面的功能，應(yīng)該在教學(xué)實踐中被采用。然而，實施研究性教學(xué)對教師的綜合素質(zhì)要求比傳統(tǒng)的知識灌輸型教學(xué)要高了許多，教師不僅要有實施研究性教學(xué)的理念、積極性和責(zé)任感，同時也要不斷提升自己的業(yè)務(wù)素質(zhì)，把握學(xué)科研究的前沿和最新動態(tài)，深入開展教學(xué)研究和課程建設(shè)。做到這一點，就要求我們的教師潛心于自己的教學(xué)與研究工作，要多讀、多看、多思考、多收集、多積累。

［1］余德浩.科學(xué)與工程計算在中國［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2001，（5）.

［2］黃亞平，陳小鴻.研究性教學(xué)：理論與實踐［J］.浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2006，15（2）.

［3］李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析（第4版）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2001.

［4］王能超.計算方法簡明教程［M］.北京：高等教育出版社，2004，（1）.

［5］劉春鳳，常錦才，楊愛民.數(shù)值分析系列課程的立體化教學(xué)平臺設(shè)計與實踐［J］.河北理工大學(xué)學(xué)報，2009，9（6）.

On Research－based Teaching Design of Numerical Analysis

Li Qinghong，Huang Ripeng

（School of Mathematical Sciences，Chuzhou University，Chuzhou 239000，China）

Numerical analysis is one of important fundamental courses for mathematical majors，whose main goal is to improve the students＇ability of solving practical problems by means of scientific and engineering computing.The idea of research－based teaching should be adopted in the teaching design so as to improve the students＇interest on this course.In this paper，it is discussed how to design the research－based teaching in the sections of introduction and summary，numerical experiments of each numerical method.

numerical analysis；research－based teaching；introduction and summary；numerical experi-ments

G420

A

1673-1794（2011）05-0086-03

李慶宏（1974－），男，博士，教授，從事計算數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。

安徽省應(yīng)用數(shù)學(xué)省級教學(xué)團(tuán)隊建設(shè)項目（2009－2013），滁州學(xué)院教研項目（2008jy043，2010jyy012）

2011-06-06