方建衛(wèi)
(西南大學(xué)育才學(xué)院 理工學(xué)院,重慶 401524)
數(shù)學(xué)建模最優(yōu)化理論探討*
方建衛(wèi)
(西南大學(xué)育才學(xué)院 理工學(xué)院,重慶 401524)
結(jié)合2011年“高教杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A,分析了數(shù)學(xué)建模的理論思想,提出了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)特點(diǎn)實(shí)際就是一種最優(yōu)化的思想。并且通過(guò)該比賽題目探討了用最優(yōu)化的理論求解數(shù)學(xué)模型的方法。
數(shù)學(xué)建模;最優(yōu)化理論;重金屬污染空間分布;單因素模型;模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
從大學(xué)數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué),廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)無(wú)論是從純數(shù)學(xué)本身的理論,還是從應(yīng)用數(shù)學(xué)的相關(guān)課題,每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都有著很強(qiáng)的實(shí)際背景,都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一般的理論,又用成熟的理論去指導(dǎo)實(shí)踐,解決實(shí)際問(wèn)題,所以數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是確確實(shí)實(shí)地從實(shí)際中來(lái)又到實(shí)際中去的辨證思想的體現(xiàn)。本文結(jié)合2011年“高教杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A,分析了數(shù)學(xué)建模的理論思想,提出了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)特點(diǎn)就是一種最優(yōu)化思想。通過(guò)matlab5.3,excel軟件和修正shepherd插值法擬合出城區(qū)的空間分布。數(shù)學(xué)與信息、計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合,使得實(shí)際問(wèn)題得到更好更方便的解決。
人們常對(duì)實(shí)際事物建立種種數(shù)學(xué)模型,以期通過(guò)對(duì)該模型的考察來(lái)描述、解釋、預(yù)計(jì)或分析出與實(shí)際事物相關(guān)的規(guī)律。數(shù)學(xué)模型(Mathematical Mode1)也是一種模擬,是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫,它或能解釋某些客觀現(xiàn)象,或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律,或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程。因?yàn)閷?duì)于同一個(gè)問(wèn)題可建立不同的實(shí)際模型,可得到不同的“最優(yōu)解”,所以數(shù)學(xué)建模沒(méi)有最好,只有更好,關(guān)鍵看建立模型的獨(dú)特之處。綜合起來(lái)講,數(shù)學(xué)建模的過(guò)程可以概括為如下的流程:觀察實(shí)際問(wèn)題——提出假設(shè)——建?!蠼狻獧z驗(yàn)——修改或應(yīng)用。實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常是十分復(fù)雜的,既存在著必然的因果關(guān)系也存在某些偶然的因果關(guān)系,這就需要我們從錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象中找出主要因素,略去次要因素,確定變量的取舍并找出變量間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模和參與建模實(shí)踐,實(shí)際上是一個(gè)綜合能力、綜合素質(zhì)的培養(yǎng)和提高的過(guò)程。
2011年“高教杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A:隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加,人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證,以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià),研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式,日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。
按照功能劃分,城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等,分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū),不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。
現(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此,將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域,按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土(0~10厘米深度)進(jìn)行取樣、編號(hào),并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測(cè)試分析,獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面,按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣,將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。
所給數(shù)據(jù)有采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息,8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度,8種主要重金屬元素的背景值。
建模要求:給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布,分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。
模型采用:根據(jù)題目給出取樣點(diǎn)的位置及其所屬的功能區(qū),八種主要重金屬元素在各個(gè)功能區(qū)的濃度,通過(guò)matlab5.3數(shù)學(xué)軟件和修正shepherd插值法擬合出城區(qū)的空間分布,并運(yùn)用excel軟件分析,計(jì)算出各個(gè)重金屬元素的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差,然后將處理得到的數(shù)據(jù)和跟背景值的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,最終得出不同地域重金屬的污染程度。
圖1 As元素在該城區(qū)分布等高線及散點(diǎn)圖
要求八種重金屬元素在該城區(qū)的空間分布,運(yùn)用matlab5.3作散亂節(jié)點(diǎn)的插值計(jì)算,用帶有e01sef和e01sff兩種函數(shù)的修正shephard法插值擬合出該八種元素在該城區(qū)的空間分布,空間分布圖(以As元素為例):
圖2 As元素在該區(qū)分布地形圖
先由數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)每種重金屬元素都近似服從正態(tài)分布,因此建立正態(tài)分布模型:
i代表五個(gè)功能區(qū)(i=1,2,……,5分別代表生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)、公園綠地區(qū));j代表八種重金屬元素(j=1,2……,8 分別代表 As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn元素);k第k個(gè)樣本的濃度;所有樣本的總量;ni第i個(gè)功能區(qū)的樣本總量;xjk第j種金屬元素第k個(gè)樣本點(diǎn)的濃度;μij第i個(gè)功能區(qū)的第j個(gè)元素含量平均值;σij第i個(gè)功能區(qū)的第j個(gè)元素含量的標(biāo)準(zhǔn)差;xijk第i個(gè)功能區(qū)第j種金屬元素第k個(gè)樣本點(diǎn)的濃度 ;cνj第j種金屬元素的變異系數(shù);ρij第i個(gè)功能區(qū)第j種金屬元素的污染指標(biāo)。
模型的優(yōu)點(diǎn):針對(duì)于其重金屬元素成正態(tài)分布模型,采用單因素法對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià),提高了模型的精確性。模型的缺點(diǎn):模型較為單一,缺少對(duì)照模型。而且擬合的數(shù)據(jù)亦缺少精確性比較。
若采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可根據(jù)土壤金屬污染評(píng)價(jià)的需要以及模糊機(jī)理和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn),構(gòu)建了如下圖所示的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及兩個(gè)主要的功能模塊:模糊化模塊和人工神經(jīng)學(xué)習(xí)推理模塊。
這個(gè)數(shù)學(xué)模型亦很好解決不同地區(qū)重金屬污染程度的情況??傊?,數(shù)學(xué)建模與最優(yōu)化理論之間是相輔相成的,數(shù)學(xué)模型來(lái)源于生活和實(shí)踐,而實(shí)踐中的問(wèn)題總是層出不窮的,建立的模型也可能會(huì)越來(lái)越龐大復(fù)雜,任何一個(gè)模型的建立,都會(huì)使最優(yōu)化模型的求解越來(lái)越優(yōu),會(huì)給實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)突破性的進(jìn)展。故有了解問(wèn)題的起源和實(shí)際背景,了解這一理論發(fā)展的迂回曲折、螺旋式的前進(jìn),才會(huì)更深刻地領(lǐng)悟到一種理論的思想本質(zhì),領(lǐng)悟到它的精髓,慨嘆它的美妙!
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2011-06-20