蔣業(yè)陽,陳宗煊

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

一類非齊次微分方程解的級(jí)與零點(diǎn)

蔣業(yè)陽,陳宗煊*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

在方程系數(shù)A0的型起控制作用的條件下,研究了高階非齊次線性微分方程f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z)解的增長性,得到了上述微分方程解的增長級(jí)和零點(diǎn)的一些精確估計(jì).

微分方程; 型; 超級(jí); 零點(diǎn)收斂指數(shù)

1 引言與結(jié)果

本文使用值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào),并用σ(f)和(f)分別表示亞純函數(shù)f(z)的增長級(jí)和型,定義[1-2]如下

如果f(z)是整函數(shù),那么

用σ2(f)表示亞純函數(shù)f(z)的超級(jí),定義[3]如下

若f(z)是整函數(shù),則還有

關(guān)于高階線性微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f=0,

(1)

當(dāng)方程的系數(shù)Aj(j=0,1,…,k-1)為整函數(shù)時(shí),方程(1)的每個(gè)解都是整函數(shù).如果方程(1)的系數(shù)A0的增長級(jí)起控制作用即滿足σ(A0)>max{σ(Aj),j=1,…,k-1},那么方程(1)的每個(gè)非零解f具有無窮級(jí),即

定理A[4]假設(shè)A0,A1,…,Ak-1是整函數(shù),滿足條件max{σ(Aj),j=1,…,k-1}<σ(A0)<∞,那么方程(1)的每個(gè)非零解f滿足σ2(f)=σ(A0).

當(dāng)方程(1)的系數(shù)A0的增長級(jí)不是唯一的最大,但是A0的型起控制作用時(shí),仍有相同的結(jié)論:

定理B[5]假設(shè)A0,A1,…,Ak-1為有限級(jí)整函數(shù),A0(z)為超越整函數(shù),滿足條件:

(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},

(2)當(dāng)σ(Aj)=σ(A0)時(shí),

(Aj)<(A0)<∞ (j=1,…,k-1),

那么方程(1)的每個(gè)非零解f滿足σ2(f)=σ(A0).

本文的主要目的是將定理B作推廣,由齊次推廣到非齊次,考慮非齊次線性微分方程

f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z),

(2)

得到了下面的定理:

定理1 假設(shè)A0,A1,…,Ak-1,F(z)?0為有限級(jí)整函數(shù),A0(z)為超越整函數(shù),滿足條件:

(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},

(2)如果σ(Aj)=σ(A0),有

(Aj)<(A0)≤∞ (j=1,…,k-1),

2 證明所需的引理

(3)

exp{-rα+ε}≤|f(z)|≤exp{rα+ε}.

(4)

引理3[8]假設(shè)Aj(j=0,1,…,k-1)是整函數(shù),且滿足max{σ(Aj),j=0,1,…,k-1}≤σ<+∞,那么方程(1)的所有解f滿足σ2(f)≤σ.

引理4 設(shè)f(z)是超越整函數(shù)滿足σ(f)=σ<∞,(f)=≤∞,那么對(duì)任意的β<,存在一個(gè)對(duì)數(shù)測度為無窮的集合H?[1,+∞),使得對(duì)所有的rH,有l(wèi)ogM(r,f)>βrσ.

證明當(dāng)(f)=<∞時(shí),就是文獻(xiàn)[5]中的引理5中迭代級(jí)p=1的情形.下面可用文獻(xiàn)[5]中的類似方法證明當(dāng)(f)==∞時(shí)引理也成立.

對(duì)任意給定的β

logM(r,f)>βrσ.

引理5 假設(shè)A0,A1,…,Ak-1為有限級(jí)整函數(shù),A0(z)為超越整函數(shù),滿足條件：

(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},

(2)如果σ(Aj)=σ(A0),有(Aj)<(A0)≤∞(j=1,…,k-1),

那么方程(1)的每個(gè)非零解f滿足σ2(f)=σ(A0).

證明當(dāng)(A0)=<∞時(shí),即為定理B.下面用文獻(xiàn)[5]中的類似方法證明當(dāng)(A0)==∞時(shí)引理也成立.

假設(shè)f(z)是方程(1)的非零解,由方程(1),有

(5)

由引理1可知,存在一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測度的集合E1?(1,+∞)和一個(gè)常數(shù)B>0,使得

(6)

|Aj|≤exp{rα1} (j≠0),

(7)

其中α1(<σ)為常數(shù).如果整函數(shù)Aj(j≠0)滿足σ(Aj)=σ,(Aj)<∞,我們可以選取實(shí)數(shù)β1和β2滿足max{(Aj),j=1,…,k-1}<β1<β2<∞,由引理4,存在一個(gè)具有無窮對(duì)數(shù)測度的集合H?(1,+∞),使得對(duì)充分大的rH,有

M(r,A0)>exp{β2rσ},

(8)

對(duì)于滿足σ(Aj)=σ,(Aj)<∞的整函數(shù)Aj,有

M(r,Aj)

(9)

exp{β2rσ}≤kexp{β1rσ}[T(2r,f)]2k.

(10)

另一方面，由引理3有σ2(f)≤σ.故σ2(f)=σ=σ(A0).

3 定理的證明

由引理5知,方程(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的所有解都滿足σ2(f)=σ(A0).現(xiàn)在假定f1,…,fk是非齊次線性方程(2)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的基礎(chǔ)解集,則σ2(fi)=σ=σ(A0) (i=1,…,k).由常數(shù)變易法,方程(2)的解f可表示成

f(z)=B1f1+B2f2+…+Bkfk,

(11)

其中B1,B2,…,Bk由下列方程組決定:

由Wronsky行列式W(f1,…,fk)為f1,…,fk及其導(dǎo)數(shù)的微分多項(xiàng)式,且其系數(shù)均為常數(shù),可得σ2(W)≤σ2(fi)=σ(A0).令

max{σ2(F),σ2(fi),i=1,…,k}=σ=σ(A0).

(12)

由式(11)和式(12),有σ2(f)≤max{σ2(Bj),σ2(fi),i=1,…,k}=σ=σ(A0).

下面斷言方程(2)至多有一個(gè)例外解f0滿足σ2(f0)<σ(A0).

事實(shí)上,若方程(2)有另一個(gè)解f*,使得σ2(f*)<σ(A0),則σ2(f0-f*)<σ(A0).但f0-f*是方程(2)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的解,這與齊次方程(1)的每個(gè)非零解f都滿足σ2(f)=σ(A0)矛盾.

因此,微分方程(2)的每個(gè)解f均滿足σ2(f)=σ(A0),至多有一個(gè)例外.

和

(13)

由方程(2)有

(14)

從而

(15)

由式(13)～(15),有

(16)

對(duì)于|z|=r至多除去一個(gè)具有有窮線性測度的集合E4外成立,其中M(>0)是一個(gè)合適的常數(shù).因?yàn)?/p>

(17)

(18)

由式(16)～(18),有

(19)

[1] HAYMAN W K.Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2] 楊樂.值分布論及其新研究[M].北京：科學(xué)出版社,1982.

[3] 儀洪勛,楊重駿.亞純函數(shù)的唯一性理論[M].北京：科學(xué)出版社,1995.

[4] CHEN Zongxuan,YANG Chungchun.Quantitative estimates on the zeros and growths of entire solutions of linear differential equations[J].Complex Variables,2000,42:119-133.

[5] 涂金,鄧冠鐵.系數(shù)A0起控制作用的高階線性微分方程解的增長性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2010,30(4):945-952.

TU Jin,DENG Guantie.Growth of solutions of higher order linear differential equations with the coefficientA0being dominant[J].Acta Mathematica Scientia,2010,30(4):945-952.

[6] GUNDERSEN G.Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function plus similar estimates[J].J London Math Soc,1988,37(2):88-104.

[7] CHEN Zongxuan.On the hyper order of solutions of some second order linear differential equations[J].Acta Mathematica Sinica,2002,18(B):79-88.

[8] CHEN Zongxuan.On the hyper order of solutions of higher order differential equations[J].Chin Ann Math,2003,24B(4):501-508.

Keywords： differential equation; type; hyper order; the exponents of the zero-sequence

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THEGROWTHANDZEROSOFSOLUTIONSFORACLASSOFNONHOMOGENEOUSDIFFERENTIALEQUATION

JIANG Yeyang，CHEN Zongxuan

(School of Mathematics,South China Normal University,Guangzhou 510631,China)

The growth of solutions of a class of higher order nonhomogeneous linear differential equationf(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z) is investigated, under the condition that the equation is controlled by the type of the coefficientA0,and some accurate estimates of the growth and zeros are obtained for the entire solutions of this differential equation.

2009-09-29

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871076)

*通訊作者,chzx@vip.sina.com

1000-5463(2011)02-0020-03

O174.52

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