2n+2階完美幻方的二進制構(gòu)造法及其計數(shù)

曹小琴

(金華教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,浙江金華 321000)

2n+2階完美幻方的二進制構(gòu)造法及其計數(shù)

曹小琴

(金華教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,浙江金華 321000)

利用二進制構(gòu)造出2n+2階和諧方,由此給出一類“0～22n+4-1”域上的2n+2階完美幻方,這類幻方共有26n+4×(2n+4)!個.

完美幻方;構(gòu)造法;和諧方

完美幻方,也叫泛對角線幻方,或叫純幻方,是指n階數(shù)字方陣,它的各行(列)和、各泛對角線和均相等.

二進制是非常奇妙的,它在幻方中的應(yīng)用更是獨特.文[1]利用二進制構(gòu)造了4階泛對角線幻方的統(tǒng)一公式,文[2],[3]分別給出了4n階幻方的一種構(gòu)造法.本文利用二進制的特點構(gòu)造一類2n+2階(n為非負整數(shù))完美幻方,數(shù)量極其豐富,共有26n+4×(2n+4)!個.如這類8階完美幻方共有210×6! =737280個.當(dāng)n=0時此構(gòu)造法(定理1)得到所有4階完美幻方.

為討論方便,定義幾個概念.記

i=1,2,3,4,ei每位元素加1(mod 2)的方陣(稱為模2加1方陣)記為.記

ei和Bi,B′i,B″i均具有相同的特點.

定義1 若由“0,1”兩元素組成的2n+2階方陣滿足：各行(列)、各泛對角線的4×2n+2組數(shù)中,每一組均有相同個數(shù)的0和1,把這類(0,1)方陣,簡稱2n+2階和諧方.

顯然,若一方陣是和諧方,那么它的模2加1方陣也是和諧方.i=1,2,3,4,ei和Bi,B′i,B″i(及它們的模2加1方陣)分別為4階和8階和諧方.

定義2 若一完美幻方已轉(zhuǎn)化為二進制,則稱此完美幻方為二進制下的完美幻方.

任一0～22n+4-1的自然數(shù)均可表示成2n+4位二進制數(shù),此域上的任一2n+2階二進制下的完美幻方滿足：各行(列)、各泛對角線的4×2n+2組數(shù)中,每組中每位均有2n+1個0和2n+1個1(因為幻和等于2n+1(22n+4-1)=2n+1(1+21+22+…+22n+3)).反之亦然.如各元素按順序B3,B4,,,B″3, B′3結(jié)合成的8階方陣為二進制下的完美幻方.

定義3 n×n方陣,我們把左上(右上)右下(左下)的主(次)對角線稱為主(次)0對角線,往下的各折對角線依次稱為主(次)1,主(次)2,…,主(次)n-1對角線.

1 2n+2階和諧方的構(gòu)造

大括號內(nèi)共有2j大組,2n行,A的轉(zhuǎn)置方陣記為B(j=1,2,…,n;i=1,2,3,4).

引理1,(j=1,2,…,n;i=1,2,3,4)及它們的模2加1方陣均為和諧方.

證先證A(j=1,2,…,n)為2n+2階和諧方.

(i)主4k[主4k+1;主4k+2;主4k+3](k=0,1,2,…,2n-1)對角線上有2n-1組(1,0,0,1) [(0,1,1;0);(1,0;0,1);(0;1,1,0)]和2n-1組(0,1,1,0)[(1,0,0;1);(0,1;1,0);(1;0,0,1)],從而有2n+1個0和2n+1個1.

(ii)各次對角線從右上至左下的數(shù)與各主對角線從左上至右下的數(shù)的排列分別完全相同,從而也有相同個數(shù)的0和1.

2 2n+2階完美幻方的構(gòu)造

引理2 由e1,e2,e3,e4或任取其中i(0≤i≤4)個,其余4-i個方陣取模2加1,把它們按任意順序結(jié)合成的4階方陣D,16個元素互不相同,且為0000～1111.

證(i)e1,e2,e3,e4及它們的模2加1方陣均為4階和諧方.

(ii)D的各行(列)、各泛對角線的4個數(shù),每位均有兩個0和兩個1.

(iii)D的16個元素一定互不相同.若不然,假設(shè)有兩元素相同,(共有6種可能：1100;1010;1001; 0110;0101;0011.)不妨設(shè)1010,1010(其余5種情況同理可證),它們一定出現(xiàn)在16組數(shù)的某一組中,不妨設(shè)第1行,由(ii)可知,其余兩數(shù)必為0101和0101,分解后的4個和諧方第1行為(1,1,0,0), (0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1),顯然它們不是由“e1,e2,e3,e4或任取其中i個,其余4-i個方陣取模2加1”得到的,因而這16個數(shù)兩兩不同.顯然最小和最大數(shù)分別為0000和1111.

引理3 i=1,2,3,4,,,…,中各任取一個;,,…,中各任取一個.在這2n個和諧方中任取t(0≤t≤2n)個,其余2n-t個方陣取模2加1,按任意順序結(jié)合得到的2n階方陣各元素均不同.

證由(j=1,2,…,n;i=1,2,3,4)的構(gòu)造可知,2n階方陣A及它的模2加1方陣左右兩半元素不同;及它的模2加1方陣把左右兩半各等分為不同的兩半,…,因而(i)(AA),(A), (A),()(i,u=1,2,3,4)均分為不同的4個大列;…;(AA…A)2n列的元素各不相同(考慮順序).(ii)同理,它們的轉(zhuǎn)置方陣2n行的元素各不相同.則(AA…ABB…B)(或其中若干個方陣取模2加1,或按其它順序排列)(i,u,l,i′,u′,l′=1,2,3,4)組成的2n階方陣中的各元素(考慮順序)一定不同.因為：某行任取一元素,某列任取一元素,若這兩元素在同一行(列),由(i)((ii))可知,這兩元素的2n位上B(A)對應(yīng)位的元全同,A(B)對應(yīng)位的元不全同,因而這兩元素不同;若這兩元素既不在同一行又不在同一列,A,B對應(yīng)位的元都不全同,因而這兩元素也不同.

定理1 A,A,…,A中各任取一個;B,B,…,B中各任取一個.在這2n個和諧方及C1～ C4中任取s(0≤s≤2n+4)個,其余2n+4-s個方陣取模2加1,把它們按任意順序結(jié)合成的2n+2階方陣F(把ei數(shù)值代入)為二進制下的2n+2階完美幻方,對應(yīng)于十進制為“0～22n+4-1”域上的完美幻方,此類幻方共有26n+4×(2n+4)!個.

證(i)A,,…,(i=1,2,3,4)中各任取一個,B,B,…,B中各任取一個;在這2n個和諧方及C1～C4中任取s(0≤s≤2n+4)個,其余2n+4-s個方陣取模2加1;把它們按任意順序結(jié)合成的2n+2階方陣為F.

(ii)由引理2,3可知組成的2n+2階方陣F中各元素均不同,最小數(shù)為00…0,最大為11…1(2n+4位數(shù)),對應(yīng)于十進制為0～22n+4-1.

F為2n+2階完美幻方.因為F中各行(列)、各泛對角線的2n+2個數(shù)(每一數(shù)均為2n+4位二進制數(shù))中,每位均有2n+1個0和2n+1個1,因而F中各行(列)和、各泛對角線和均等于2n+1(1+2+22+…+22n+3)=2n+1×(22n+4-1).

(iii)相同和諧方任意兩種不同排法得到的兩個完美幻方一定不同;不同和諧方的任意兩排列得到的兩完美幻方也不同.若得到兩個相同的完美幻方,則二進制下的兩個完美幻方也相同,因而分解后的和諧方為同一組的相同排列,矛盾.

注 當(dāng)n=0此構(gòu)造法得到所有4階完美幻方(16×4!=384個).

3 n=2的一個實例

分別把e1,ˉe1,e2,ˉe2,e3,ˉe3,e4的4階和諧方代入上式,得到二進制下的16階完美幻方,轉(zhuǎn)化為十進制即得“0～255”上的16階完美幻方G：

[1] 潘鳳雛.構(gòu)造所有4階泛對角線幻方的統(tǒng)一公式[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005,21(3)：74-76.

[2] 曹小琴.4n階完美幻方的新構(gòu)造法[J].寧夏大學(xué)學(xué)報,2001,22(1)：11-14.

[3] 俞萬禧.一種4n階幻方構(gòu)造方法的論證[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2004,34(2)：85-89.

Binary Constructing Method of Perfect Magic Square of 2n+2Orders&Its Counting

Cao Xiao-qin
(Mathamatic Department of Jinhua Institute of Education,Jinhua,Zhejiang 321000,China)

In this article the author constructs abalance square of 2n+2orders by using binary cell and from this a kind of perfect magic squares of 2n+2orders are created on the field of“0～22n+4-1”.The total number of the magic square is 26n+4×(2n+4)!.

perfect magic square;constructing method;balance square

O157

A

1672-1454(2011)03-0098-04

2008-08-11;[修改日期]2008-12-04