幻方
- 從洛書到幻方
張影什么是幻方幻方是把從1到n2的自然數(shù)排成的行列的正方形數(shù)表，其每行、每列、每條對角線上的數(shù)之和都相等，這個(gè)“和”稱為幻常數(shù)，幻常數(shù)等于n（n2+1）／2?。圖1 是一個(gè)三階幻方，即n等于3，n2等于9，幻常數(shù)n（n2+1）／2等于15。已知三階幻方有8 組，四階幻方有880組（1693年數(shù)據(jù)），五階幻方有275305224 組（1973 年數(shù)據(jù)），更高階幻方的組數(shù)至今還無法確定。圖2：洛書示意圖洛書的傳說與縱橫圖世界上最早的幻方出現(xiàn)在中國。相傳，上古時(shí)
知識就是力量 2022年12期2023-01-02
- 用程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)四階全對稱幻方的構(gòu)造
方陣為四階全對稱幻方[2]。定義3設(shè)有四階方陣，將字母a,b,c,d和數(shù)字0,1,2,3這八個(gè)元素對應(yīng)起來，使a,b,c,d四個(gè)字母在每一行、每一列及主、副對角線上只出現(xiàn)一次，且每個(gè)數(shù)字和每個(gè)字母不會(huì)相遇兩次。此時(shí)的幻和值是a+b+c+d+6=34。稱這種幻方為字母和數(shù)字組合幻方，簡稱組合幻方[1]。定理1自然方陣A=(aij)n×n(1≤i,j≤n)，(其中n=4)經(jīng)過以下幾種方法構(gòu)造而成的方陣，若滿足幻和值都相等，則該方陣為四階全對稱幻方[2]。四階幻
- 基于分治法搜索幻方所有解
0）0 引言n階幻方，就是把數(shù)字1到n2但放在n×n的正方形格子中，并且要滿足每行、每列及兩個(gè)對角線數(shù)字之和相等。圖1 三階幻方幻方不但是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)游戲，還被應(yīng)用到哲學(xué)、美術(shù)、教育及前沿科學(xué)技術(shù)中。對于幻方的構(gòu)造方法有很多，包括針對奇階幻方的Merzirac法與Loubere法，針對偶階幻方有Hire法、Strachey法以及YinMagic法。幻方構(gòu)造方法的研究目前已非常成熟且成體系［2，3，4，5，6，7，8］，然而對于搜索幻方所有解的研究目前尚是空白
現(xiàn)代計(jì)算機(jī) 2021年34期2022-01-26
- 構(gòu)造奇數(shù)平方階最完美幻方的方法
造雙偶數(shù)階最完美幻方的棘手難題，給出了理論證明。文獻(xiàn)[2]將其推廣到雙偶數(shù)階空間最完美幻立方。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)而給出構(gòu)造n2(n= 2m+ 1，m是自然數(shù))階最完美幻方的三步法及其證明，我們還可給出構(gòu)造奇數(shù)平方階空間最完美幻立方的方法(見注)，這就比較全面解決了構(gòu)造最完美幻方及幻立方的難題。分三部分討論奇數(shù)平方階最完美幻方的構(gòu)造方法如下：1 奇數(shù)平方階最完美幻方的定義[1-3]類比雙偶數(shù)階最完美幻方的定義[1]，給出奇數(shù)平方階最完美幻方的定義如下：設(shè)任一
- 用綜合法構(gòu)造6m+3階完美幻方
012000)幻方是組合數(shù)學(xué)區(qū)組設(shè)計(jì)的一個(gè)新領(lǐng)域，與正交拉丁方存在天然聯(lián)系[1-7]。完美幻方，又稱全對稱幻方，性質(zhì)不平凡，約束條件諸多，獲取不易。1985年，李立曾經(jīng)將全對稱幻方分為五類：4m階、4m+2階、6m-1階、6m+1階和6m+3階全對稱幻方，探索其構(gòu)造方法[1]。對于6m±1階全對稱幻方，按連續(xù)擺數(shù)法，采用中國象棋馬步和士步排序法構(gòu)成，并通過幾種變換得到若干構(gòu)造方法[1]；對于4m階全對稱幻方，李立給出十種構(gòu)造方法[2]。對于構(gòu)造6m+3階
- 完美積幻方的定義及其構(gòu)造
000)近年來，幻方研究者立足于和幻方的研究，使其研究成果[1-16]頗為豐富。而積幻方在幻方中同樣占有重要地位，尤其是完美積幻方具備更強(qiáng)的幻性，因此，其應(yīng)用更為廣泛，但還沒有展開廣泛研究。本文給出一系列完美積幻方的定義，得到一種利用完美和幻方構(gòu)造完美積幻方的方法，并給出證明和舉例。1 預(yù)備知識定義1[1]設(shè)F是數(shù)域，矩陣A+(aij)m×m∈Fm×m，如果矩陣A滿足：則稱矩陣A為數(shù)域F上的m階積幻方，并稱P(A)為m階積幻方A的幻積。定義2[2]若矩陣A
- 完美和幻方的定義及其構(gòu)造方法
716000)幻方最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮》；南宋時(shí)期，楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中編出3～10階幻方.針對幻方問題的研究,業(yè)界學(xué)者進(jìn)行了諸多探討研究.幻方是一類特殊的矩陣，因此，可以用研究矩陣的方法研究幻方.劉興祥等[1]給出幻方的矩陣化等價(jià)定義，在文獻(xiàn)[2-3]中將幻方與拉丁方結(jié)合，分別將幻方分解為拉丁方，并給出了構(gòu)造偶數(shù)階同心拉丁方的方法，使幻方的定義規(guī)范化，拓展了拉丁方與幻方的聯(lián)系，但是并未考慮到具有更強(qiáng)幻性的完美和幻方.何敏梅等[4-6]研究了
- 11階幻方與等冪和
的11階完美對稱幻方(圖1、圖2)以及依托這兩個(gè)幻方而得到的等冪和數(shù)組和代數(shù)恒等式. 圖1 11階完美·對稱 幻方(1) 圖2 11階完美·對稱 幻方(2) 首先說明圖中的幻方都是完美幻方.顯然可以直接計(jì)算出其行、列、左、右泛角線的數(shù)字和均為671.不過下面再介紹一種通用的方法，即自然數(shù)陣的數(shù)字結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以此建立自然數(shù)陣與幻方的內(nèi)在聯(lián)系，為節(jié)省篇幅而又不失一般性，不妨以7階為例.先看7階自然數(shù)陣(圖3)，其中心位置的數(shù)字為25，左對角線上的數(shù)字依序?yàn)椋?、
玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年3期2020-12-03
- 奇妙的三階幻方
了大家熟悉的三階幻方?，F(xiàn)在另有一個(gè)3×3的陣列，請選擇九個(gè)不同的自然數(shù)填入九個(gè)方格中，使其中最大者為20，最小者大于5，且每行、每列及每條對角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。【思路點(diǎn)睛】最基本的三階幻方中，填入的是1～9 這九個(gè)不同的自然數(shù)，其中最大的為9，最小的為1。要使新編制的幻方中最大數(shù)為20，而9+11=20，因此，如果在所給幻方中各數(shù)都增加11，就能構(gòu)成一個(gè)新幻方，并且滿足最大數(shù)為20，最小數(shù)大于5。如下圖：【例2】在3×3 的陣列中，第一行第三列的位置
小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(中年級) 2020年11期2020-11-27
- 利用4n階和幻方構(gòu)造8n階和幻方
科的基礎(chǔ)工具，而幻方這類特殊的矩陣近年來研究的人層出不窮[1-10]。幻方首次是在十三世紀(jì)南宋數(shù)學(xué)家楊輝開始系統(tǒng)研究，歐洲十四世紀(jì)也開始了這方面的研究，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過幻方研究。如今，幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一，經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示，它已在組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論、群、對策論、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計(jì)、人工智能等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。而本文在研究幻方的過程中，根
- 雙偶數(shù)階完美和幻方的定義及其構(gòu)造方法
有一類特殊矩陣-幻方. 近年來，許多學(xué)者關(guān)注幻方研究的問題，其研究成果［1-16］也層出不窮. 本文在充分掌握了幻方定義及性質(zhì)之后，研究一種新的幻方即完美和幻方，又稱純幻方和泛對角線幻方，并總結(jié)出雙偶數(shù)階完美始元和幻方的一種構(gòu)造方法.令C=4k?A+B，則C 是始元完美和完美幻方.證明 1）先證明矩陣A 的行和、列和、主副對角線和及其與主副對角線平行的線上和相等：3）證明矩陣C 為始元完美和幻方：根據(jù)矩陣A 和矩陣B 都是完美幻方，則矩陣C=4k?A+B，
河南科學(xué) 2020年7期2020-09-10
- 利用n階完美和幻方構(gòu)造n2階完美和幻方
16000)關(guān)于幻方的研究成果[1-10]已頗為豐富，而一種特殊幻方——完美幻方，又稱純幻方或泛對角線幻方剛剛興起。本文在充分掌握幻方定義及性質(zhì)之后，給出完美和幻方的定義，并根據(jù)完美和幻方的定義，給出了利用整數(shù)階完美和幻方構(gòu)造整數(shù)的平方階完美和幻方的一種新的構(gòu)造方法。1 預(yù)備知識定義1[1]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m，n∈N*，若矩陣A滿足以下條件:①m=n；③(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；⑥Sc=Sl=Smd=
- 烏拉拉大戰(zhàn)“幻方”
，咱們先來聊聊“幻方”。要說幻方，就不得不講一個(gè)故事：遠(yuǎn)古時(shí)期，伏羲（xī）取得天下，把國家治理得井井有條，感動(dòng)了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。伏羲憑借著“河圖”演繹出了八卦。后來大禹治洪水時(shí)，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，被稱為“洛書”。仔細(xì)觀察，“洛書”中共有黑、白圓圈45個(gè)。把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來，就能得到由九個(gè)數(shù)組成的圖形：你發(fā)現(xiàn)了嗎？在上面3×3的九格圖中，每行
科普童話·學(xué)霸日記 2020年4期2020-05-06
- 三階幻方中的數(shù)字計(jì)算
宮格內(nèi)，就是三階幻方，幻方是一種智力填數(shù)游戲，它是根據(jù)事先提供的數(shù)，運(yùn)用邏輯推理的思維方法和排除法，把數(shù)填入空白的方格中.中國不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對幻方進(jìn)行深入研究的國家，三階幻方是最簡單的幻方，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個(gè)數(shù)組成的九宮格（如圖1所示），其對角線、橫行、縱列上三個(gè)數(shù)的和都為15，我們稱這個(gè)最簡單的幻方的幻和為15.中心數(shù)為5.三階幻方在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都有所體現(xiàn).那么，這里的“其對角線、橫行、縱列上三個(gè)數(shù)的和都為15
- 最小八階雙重幻方揭秘一
止最小的八階雙重幻方，各對角線和各行和各列和都是600，各對角線積，各行積各列積都是27×34×53×72×11×13×17×19×23，后續(xù)文章有揭秘二（構(gòu)造公式），揭秘三（必要證明）。【關(guān)鍵詞】幻方和 ?幻方積最小5，7，10，11，13，14，15，17，19，20，21，22，23，25，26，28，30，33，34，35，38，39，40，42，44，45，46，49，50，51，52，56，57，63，66，68，69，75，76，77，78，
商情 2019年40期2019-10-30
- 奇妙的幻方
，果然帶上了一張幻方圖。這個(gè)四階幻方是11世紀(jì)時(shí)刻在一個(gè)碑上的。它不只對角上的4個(gè)數(shù)相加等于34，而且任何一條折斷的對角線上4個(gè)數(shù)之和也等于34。也就是說，幻方的上邊第一行移到最下一行，或左邊第一行移到最后一行，仍然是幻方，而且每相鄰的4個(gè)數(shù)之和等于34?，F(xiàn)在已經(jīng)填上了8個(gè)數(shù)，剩下的大家一起來補(bǔ)上吧！
小讀者之友 2019年4期2019-09-10
- 雙偶數(shù)階始元幻方的同余構(gòu)造法
來，許多學(xué)者關(guān)注幻方研究的問題，其研究成果[1-10]也相當(dāng)豐富。關(guān)于幻方的構(gòu)造已有很多種方法，本文在充分掌握了幻方定義之后，給出雙偶數(shù)階(4k階)始元幻方的一種構(gòu)造方法。1 預(yù)備知識定義1[1]若矩陣A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}n×n滿足①?i∈{1，2，…，n}有②?j∈{1，2，…，n}有(1 1 … 1)1×n·③Sr=Sc=(1 1 … 1)1×n·④當(dāng)i≠k或j≠l時(shí)，?i,j,k,l∈{1，2，…n)均有aij≠akl。則矩陣A
- 2n+1階幻方的先縱后橫錯(cuò)位構(gòu)造法
對象，近年來關(guān)于幻方研究層出不窮[1-6]。目前，關(guān)于幻方構(gòu)造的方法已相當(dāng)豐富。本文根據(jù)幻方的定義及其性質(zhì)，研究了利用先縱后橫錯(cuò)位構(gòu)造的方法對2n+1階幻方的構(gòu)造，給予了證明并舉例說明。1 預(yù)備知識定義2[1，2]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n，則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的m×n階列和幻陣，其中Cr稱為m×n階列和幻陣A的列幻和。定義3[2，3]設(shè)矩陣A=(aij)m
- 5階完美幻方一覽表
老先生編著《五階幻方追蹤》書內(nèi)第二章七十二對孿生姐妹(也就是5階完美幻方總表——筆者注)的基礎(chǔ)上制作的.本表分成兩大類：I為周期5×5，共120個(gè)完美幻方，又分成各自獨(dú)立的20個(gè)為一組，共20×6=120，II為周期5，也有6組，每組含4個(gè)完美幻方，共4×6=24，所以總共為20×6+4×6=144，恰好為5階完美幻方的全部.本表所用的方法為兩種置換(substitution):其一為數(shù)字置換在表中記為+5，由上而下標(biāo)示出;其二為康威置換(Conway s
玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2019年6期2019-05-18
- 富蘭克林與幻方郵票
知道，他還是一位幻方迷。富蘭克林年輕的時(shí)候，擔(dān)任過美國賓夕法尼亞州立法機(jī)關(guān)的一個(gè)辦事員，每天做的事情就是寫文件，發(fā)報(bào)紙。因?yàn)闆]有太多工作，終日無所事事。后來，他發(fā)現(xiàn)：幻方能夠幫他消除這種無聊，于是只要他一有空閑，就不斷地去編造各式各樣新奇的幻方，從中獲得樂趣。右圖這張郵票上的8階幻方就是富蘭克林最有名的作品。這個(gè)幻方有著很多的奇特性質(zhì)：1.每一橫行或縱列各數(shù)之和等于260。2.相同顏色（如下圖）方格中8個(gè)數(shù)之和等于260。3.與幻方中心等距離（下圖中相同顏
數(shù)學(xué)小靈通·3-4年級 2018年11期2018-11-16
- 大禹治水與三階幻方
圖，現(xiàn)代數(shù)學(xué)界叫幻方。按照幻方中數(shù)的個(gè)數(shù)，幻方可以分為：三階幻方、四階幻方、五階幻方、六階幻方……洛水中“烏龜”背上的圖案就是一個(gè)三階幻方。龜背上的三階幻方是怎樣生成的呢？南宋時(shí)期，我國有一位著名的數(shù)學(xué)家叫楊輝，他從數(shù)學(xué)角度對幻方進(jìn)行了詳盡的研究。楊輝將三階幻方的生成法歸結(jié)為4句話：九子斜排 上下對易 左右相更 四維挺出根據(jù)楊輝的方法，洛書的幻方是這樣生成的：（1）先將1—9這九個(gè)數(shù)字按序斜排；（2）上下對調(diào)，即把1和9對調(diào)；（3）左右交換，即把3和7互換
數(shù)學(xué)小靈通·3-4年級 2018年5期2018-06-28
- 4k階連元幻方的函數(shù)構(gòu)造法
00)4k階連元幻方的函數(shù)構(gòu)造法何敏梅，劉興祥，郭 萍(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)利用幻陣和函數(shù)的基本概念,將函數(shù)和幻方結(jié)合起來,采用函數(shù)方法構(gòu)造出4k階連元幻方及其特殊形式始元幻方,并給出證明。幻方;連元幻方;函數(shù);構(gòu)造方法method函數(shù)作為代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支吸引了較多的研究者,并且產(chǎn)生了相當(dāng)豐富的研究成果。關(guān)于幻方的研究成果目前較多,尤其是幻方的構(gòu)造,現(xiàn)已有多種方法[1-8]。本文主要針對4k階連元幻方,在充分
- 好玩的速成的“亞幻方”
好玩的速成的“亞幻方”哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方本文推出了好玩的速成的“亞幻方”，比傳統(tǒng)幻方容易推廣普及，從而成為素質(zhì)教育的好教材，彰顯數(shù)學(xué)文化的正能量。亞幻方；平分；斜線；泛對角線；素質(zhì)教育幻方屬于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，古典《易經(jīng)》就有記載。然而，由于編制幻方的程序比較復(fù)雜，很不利于推廣普及。簡單是真理的標(biāo)志。因此，筆者采取變通的措施，創(chuàng)造出一種“亞幻方”，好玩速成，有利于推廣普及?！皝?span id="j5i0abt0b" class="hl">幻方”不完全符合傳統(tǒng)幻方的定義，而是其中一部分符合幻方的定義。以往編制
數(shù)學(xué)大世界 2017年28期2017-11-01
- 拉丁幻方
之一。人們對拉丁幻方的興趣又被點(diǎn)燃了。拉丁幻方是指在一個(gè)正方網(wǎng)格里，有多個(gè)符號，每個(gè)符號只能在一行或是一列出現(xiàn)一次。如右圖所示的就是一個(gè)完整的3階拉丁幻方網(wǎng)格。在右圖里，你可以看到一個(gè)部分格子里填著數(shù)字的幻方。幻方內(nèi)每一行、每一列與每條對角線上的數(shù)字的總和都是相等的。你能完成這個(gè)神奇的幻方嗎？
讀者 2017年20期2017-09-26
- 三角幻方的研究
中學(xué) 周小文三角幻方的研究陜西省漢中市漢中中學(xué) 周小文三角幻方是從三階幻方當(dāng)中脫衍出來的，大家耳熟能詳?shù)木艑m格就是三階幻方。三階幻方其實(shí)是正方形的，而三角幻方則不然，其本體是三角形的。最簡單的三角幻方是1～6構(gòu)成的三角幻方，實(shí)質(zhì)就是由1～6六個(gè)數(shù)字構(gòu)成的等邊三角形。筆者主要研究的是1～9這九個(gè)數(shù)字構(gòu)成的等邊三角形。一、三角幻方的相關(guān)定義三角幻方的定義與三階幻方的定義類似：將X個(gè)數(shù)字（X必須為3的倍數(shù)且最小為6）均勻填到三角形三邊中，使得三條邊上的數(shù)字之和剛
數(shù)學(xué)大世界 2017年24期2017-09-16
- 奇妙的“惡魔幻方”
一個(gè)很有名的四階幻方，作為他的著名畫作——《憂郁》的背景。這個(gè)4×4的幻方不但行、列、對角線上的各個(gè)數(shù)字之和都是34（歐洲人稱“34”為神秘的常數(shù)），而且把這個(gè)幻方四等分后，得到的每一部分的四個(gè)小方塊中的數(shù)字之和也等于34。因?yàn)檫@個(gè)幻方圖非常“魔幻”，所以它經(jīng)常被人叫作“惡魔幻方”。這幅畫創(chuàng)作的年份是1514年，這個(gè)數(shù)字也顯示在幻方底行中心的兩個(gè)方塊中。由于四階幻方數(shù)實(shí)在太多（共計(jì)有880種），起先，人們也不過是把杜勒的四階幻方看作一個(gè)普普通通的幻方而擱在
第二課堂(小學(xué)版) 2017年7期2017-07-26
- 準(zhǔn)幻方矩陣的幾個(gè)性質(zhì)
521041）幻方矩陣已有很多研究和應(yīng)用[1-4]，文獻(xiàn)[5]和[6]給出了準(zhǔn)幻方矩陣的定義并討論了這類矩陣的若干性質(zhì)，得出了一些很好的結(jié)論，本文在此基礎(chǔ)上研究了準(zhǔn)幻方矩陣的幾個(gè)性質(zhì)，得出了一些新的結(jié)果.1 預(yù)備知識本文用AT表示n 階矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣；用I 表示單位矩陣；用e 表示所有元素都是1 的列向量，即e=(1 ，1，…,1)T；用J 表示n 階全1矩陣，即所有的元素都是1的n 階矩陣；用Rn×n表示實(shí)數(shù)域上n階矩陣的全體；如無特別說明，本文所
韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年3期2015-10-30
- 神秘而奇妙的幻方（上）
元朝文物——鐵板幻方在國內(nèi)電視娛樂節(jié)目《最強(qiáng)大腦》某一期里，就挑戰(zhàn)成功與否，選手與專家展開了激烈爭執(zhí)，甚至引發(fā)了場下的微博大戰(zhàn)。他們所爭執(zhí)的內(nèi)容即是神秘而奇妙的幻方。什么是幻方？幻方有哪些獨(dú)特的魅力？就讓我們通過下面的文章了解一下。幻方是一種起源于我國的傳統(tǒng)數(shù)字益智游戲。即把從1到n2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和兩條對角線上的n個(gè)數(shù)的和都相等，這樣排成的數(shù)表稱為n階幻方，這個(gè)相等的和叫幻和。我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝稱之為“縱橫圖
百科知識 2015年22期2015-09-10
- 神秘而奇妙的幻方（下）
林革莫斯納幻方根據(jù)前文所述，我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝是世界上第一個(gè)對幻方進(jìn)行詳盡數(shù)學(xué)研究并取得豐碩成果的學(xué)者。在楊輝所著的《續(xù)古摘奇算法》兩卷中，除了呈現(xiàn)3階幻方的研究成果之外，還構(gòu)造出4階至10階幻方。書中，楊輝稱4階幻方為“花十六圖”或“四四圖”，并給出了兩個(gè)實(shí)例（陰、陽兩圖）及陰圖（圖1）的具體構(gòu)造法，令人嘆為觀止。后人經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，楊輝構(gòu)作的4階幻方中，數(shù)字分布的對稱性和均勻性不僅表現(xiàn)在數(shù)字之和，甚至還體現(xiàn)在數(shù)字的平方和以及立方和方面。1947年，德
百科知識 2015年23期2015-09-10
- 揭秘“畫家幻方”
便如此，這位酷愛幻方的畫家為其1514年的名作《憂郁》添加的一個(gè)特別的背景——四階幻方（如下圖），足以顯示自己業(yè)余愛好的非凡水準(zhǔn)。用數(shù)學(xué)眼光來判斷，這個(gè)畫家苦心經(jīng)營的四階幻方看似非常普通。唯一比較鮮明的是，幻方最后一行中間兩個(gè)數(shù)是15，14，恰好隱含了作畫的年代，似乎也僅此而已。由于已經(jīng)構(gòu)成的四階幻方已達(dá)880種，為數(shù)眾多，各有秋千，精彩紛呈，所以人們當(dāng)初并沒有對畫中幻方高看一等。而到了本世紀(jì)，當(dāng)幻方專家重新瀏覽這則幻方時(shí)，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來“有眼不識泰山”
初中生之友·中旬刊 2015年6期2015-06-10
- 等值幻方砌塊型完美幻方的構(gòu)造
00007）等值幻方砌塊型完美幻方的構(gòu)造王正元（中國石油天然氣股份有限公司，北京 100007）證明了當(dāng)使用等值幻方砌塊時(shí)，若砌塊編號構(gòu)成等泛對角線和的方陣，則所構(gòu)成的幻方為完美幻方，并給出了構(gòu)造等值幻方砌塊模板的簡便方法.等值幻方;完美幻方等值幻方砌塊型完美幻方是一類特殊的完美幻方，其中每一個(gè)砌塊都是一個(gè)低階的完美幻方，而且它們的幻和也全都相同.文[1-5]報(bào)道了這類完美幻方的構(gòu)造方法：砌塊的階數(shù)為4階，具有統(tǒng)一的計(jì)算公式；依次取j=1，2，…，k2(k
- 四階幻方的一個(gè)構(gòu)造方法①
70)0 引 言幻方，又稱縱橫圖，在n×n 的方格里既不重復(fù)又無遺漏地添上1，2，3，…，n2這n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)，每數(shù)占一格，使每行、每列、每條對角線上的n 個(gè)數(shù)的和都相等，這樣的數(shù)表稱為n 階幻方.著名的九宮圖即三階幻方.幻方因其趣味性和益智性，引起了古往今來許多人的迷戀.我國對幻方的研究可以追溯到公元前四世紀(jì)，而宋代楊輝、明朝程大位、清朝張潮、保其壽等都做了深入的研究，幻方是我國豐富的文化遺產(chǎn)之一.國外著名科學(xué)家歐拉、富蘭克林等也都喜歡研究幻方.近代的
- 幻方形式美五則
653100)幻方，顧名思義，就是幻化，奇幻、魔幻的方陣的意思.從洛書(三階幻方)算起，歷經(jīng)公元前后兩千多年，即至今長達(dá)四千年之久.人們對幻方的興趣和研究長盛不衰.而且，正如我國著名科普作家兼娛樂數(shù)學(xué)專家談祥柏老先生所言：幻方研究中，新發(fā)現(xiàn)層出不窮[1].本文中,筆者從形式美的角度著眼，介紹五則具有形式美的幻方.1 反序數(shù)對稱幻方所謂反序數(shù)，即有這樣成對的數(shù)，其特點(diǎn)是其中的一個(gè)數(shù)字的排列順序完全顛倒過來，就變成一個(gè)數(shù).如102和201，36和63等即是.
玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年4期2015-03-27
- 奇數(shù)階幻方的構(gòu)造與特征值分析
問題的提出關(guān)于幻方的研究由來已久，中國古書《易經(jīng)》中記載的洛書是世界上最早的幻方.隨后，幻方傳入世界各地，引起了廣泛關(guān)注，取得了許多成果.幻方不僅具備美感，還蘊(yùn)含著許多奇特的奧秘，具體可參看文獻(xiàn)［1－3］.隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，幻方廣泛應(yīng)用于人工智能、圖像處理、圖論及對策論等方面.定義1 對任意的正整數(shù)n≥3，將1，2，…，n2填入n×n的矩陣中，使得矩陣的每行、每列及對角線之和均為同一個(gè)數(shù)s，這樣的矩陣稱為幻方矩陣（或魔方矩陣），簡稱為幻方，s為幻方值
上海理工大學(xué)學(xué)報(bào) 2014年1期2014-11-22
- 構(gòu)造3 n階完美幻方的五步法
]已討論了奇數(shù)階幻方和完美幻方的構(gòu)造方法，其中文[1～5]討論了奇數(shù)階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方.文[1]首先定義了余函數(shù)，并運(yùn)用余函數(shù)法構(gòu)造奇數(shù)階對稱完美幻方；文[2]用余函數(shù)法構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方.在此基礎(chǔ)上，本文將運(yùn)用[2]的余函數(shù)（預(yù)備定理）討論3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方（包括對稱完美幻方）的構(gòu)造方法，文[2]知，以n為周期的余函數(shù)（n、t是自然數(shù)，t|n 表示t被n整除，q（t）表示t除以n的余數(shù)）具有
- 美麗的變形幻方
小五幻方是一種將數(shù)字安排在正方形格子中，使每行、列和對角線上的數(shù)字和都相等的方法。在傳統(tǒng)幻方里，用來組合的元素是數(shù)字。是不是還有別的形式的三階幻方呢？來見識一下吧！這是一個(gè)三階幾何幻方，由中間的9個(gè)不規(guī)則方塊組成。這些不規(guī)則方塊所含的小方格數(shù)分別是2、6、8、10、12、14、16、18、22，每行、每列和兩條對角線上的方格總數(shù)都是36。更特別的是，每行、每列和兩條對角線上的3個(gè)不規(guī)則方塊組合起來，都能拼出一個(gè)6×6的正方形。如果有人開發(fā)出這樣的幻方積木玩
數(shù)學(xué)大王·中高年級 2014年8期2014-08-06
- 構(gòu)造奇數(shù)3（2 m+1）階完美幻方的方法
m+1）階完美幻方的方法詹森1，王輝豐2（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東廣州510665；2.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158）根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)和兩個(gè)幻方的加法，完整地解決了構(gòu)造奇數(shù)n=3（2m+1）（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方（包括對稱完美幻方）的方法及其證明.并完整地解決了構(gòu)造奇數(shù)n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方（包括對稱完美幻方）的問題.奇數(shù)階；完美幻方；對稱完美幻方；余函數(shù)；基方陣；轉(zhuǎn)置方陣；六步法文[
- 用代數(shù)方法探討四階幻方的解
34）0 引 言幻方為中國人所發(fā)明，早在漢朝就開始了三階幻方的研究［1－3］。而我國南宋時(shí)期著名數(shù)學(xué)家楊輝則是對四階幻方開展較為系統(tǒng)研究的第一人。他在所著的《續(xù)古摘奇算法》中給出了極為巧妙的四階幻方構(gòu)造方法：先將1～16這16個(gè)數(shù)排列成圖1a，然后將四角位置的四個(gè)數(shù)按對角線方向兩兩對換，即1?16，4?13。再將位于中心位置2×2方陣的4個(gè)數(shù)按對角線方向兩兩對換，即10?7，11?6。對換后即得圖1b，則圖1b稱為楊輝四階幻方的陰圖。對陰圖1、2兩行互換，
- N階幻方的構(gòu)造算法及其代數(shù)性質(zhì)
023）1 N階幻方的定義定義1 將自然數(shù)1到N2，排列N行N列的方陣，使每行、每列及2條主對角線上的N個(gè)數(shù)的和都等，這樣的方陣稱為N階幻方。2 N階幻方的構(gòu)造算法對N階幻方幻方的構(gòu)造，分為3種情況：N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其他偶數(shù)（4n＋2的形式）。對文獻(xiàn) ［1］中的算法進(jìn)行整理，得到下面的算法：2.1 N為奇數(shù)N為奇數(shù)時(shí)，N階幻方A構(gòu)造如下：2.2 N為4的倍數(shù)N＝4k時(shí)，N階幻方A構(gòu)造如下：2.3 N為其他偶數(shù)N＝4k＋2時(shí)，N階幻方A構(gòu)造如下：
長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版) 2013年19期2013-12-01
- 構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方和對稱完美幻方的兩步法
）構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方和對稱完美幻方的兩步法王輝豐（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）分別給出構(gòu)造奇數(shù)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方和對稱完美幻方的余函數(shù)·兩步法和對稱·兩步法及其證明.這些方法可分別得到(( n-1)!)2和2m(2m-1(( m-1)!))2個(gè)不同的n階完美幻方和對稱完美幻方.完美幻方；對稱完美幻方；余函數(shù)；兩步法文[1]、[2]討論了奇數(shù)階完美幻方和對稱完美幻方；文[3]首次
- 數(shù)學(xué)娛樂(十一)—幻方與線性代數(shù)
線性代數(shù)方法探討幻方.1 洛書與線性方程組中國古書《易經(jīng)》中的洛書是世界上最古老的幻方，現(xiàn)在用矩陣表示其中，1，3，5，7，9原來用小白點(diǎn)的數(shù)目表示，把奇數(shù)代表陽;2，4，6，8 原來用小黑點(diǎn)的數(shù)目表示，把偶數(shù)代表陰，這與陰陽學(xué)說有關(guān).考古學(xué)上發(fā)現(xiàn)的“奇字”是6位數(shù)字，正是《易經(jīng)》卦象的起源［8］.由此可見，洛書在《易經(jīng)》中具有特殊和重要的地位.洛書在數(shù)學(xué)上具有2個(gè)基本性質(zhì).加法性質(zhì) 每行、每列、左右對角線上3個(gè)數(shù)字和等于15.乘法性質(zhì) 每行3個(gè)數(shù)字相乘，
- 構(gòu)造高階f次幻方的加法
5）構(gòu)造高階f次幻方的加法詹森（廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣 州 510665）給出構(gòu)造高階f（=1，2，…為自然數(shù)）次幻方的加法，并證明兩個(gè)f次幻方的和仍是一個(gè)f次幻方；兩個(gè)f次完美幻方的和仍是一個(gè)f次完美幻方.幻方；加法；f次幻方；f次完美幻方將一個(gè)幻方中的每個(gè)數(shù)都取2，3，…次冪，一般來說，所得相應(yīng)的方陣不是幻方.如果一個(gè)幻方中的每個(gè)數(shù)都取遍f（f=1，2，…為自然數(shù)）次冪，所得相應(yīng)的方陣仍然是幻方，則稱這個(gè)幻方為f次幻方[1].若相應(yīng)的
- 一種4m階幻方的構(gòu)造方法
09）一種4m階幻方的構(gòu)造方法聶春笑（合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）給出一個(gè)雙偶數(shù)階幻方的構(gòu)造方法，并證明按照這種方法構(gòu)造出的幻方具有四階幻方類似的性質(zhì)，同時(shí)這類幻方具有特別的對稱性.雙偶數(shù)階幻方；構(gòu)造；四階幻方楊輝在其1275年成書的《續(xù)古摘奇算法》上卷里面給出了兩個(gè)四階幻方并指明其中的陰圖的構(gòu)造方法（這里只給出其中的陰圖，如矩陣（1）所示，本文的幻方均用矩陣形式表達(dá)）為“以十六子依次第作四行排列.先以外四角對換一換十六，四換十三，復(fù)
- 構(gòu)造奇數(shù)階幻方完美幻方和對稱完美幻方的新方法
58）構(gòu)造奇數(shù)階幻方完美幻方和對稱完美幻方的新方法詹 森1，王輝豐2（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣東 廣州 510665；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）給出構(gòu)造奇數(shù)階幻方、完美幻方和對稱完美幻方的新方法及其證明.這些方法可分別得到個(gè)不同的奇數(shù)n階幻方、完美幻方和對稱完美幻方.幻方；完美幻方；對稱完美幻方我們在文[1-5]討論了構(gòu)造幻方的各種方法，如加法、六字法和代碼法等.在此基礎(chǔ)上，我們利用文[1]的余函數(shù)進(jìn)一步研究
- 2n+2階完美幻方的二進(jìn)制構(gòu)造法及其計(jì)數(shù)
)2n+2階完美幻方的二進(jìn)制構(gòu)造法及其計(jì)數(shù)曹小琴(金華教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,浙江金華 321000)利用二進(jìn)制構(gòu)造出2n+2階和諧方,由此給出一類“0～22n+4-1”域上的2n+2階完美幻方,這類幻方共有26n+4×(2n+4)!個(gè).完美幻方;構(gòu)造法;和諧方完美幻方,也叫泛對角線幻方,或叫純幻方,是指n階數(shù)字方陣,它的各行(列)和、各泛對角線和均相等.二進(jìn)制是非常奇妙的,它在幻方中的應(yīng)用更是獨(dú)特.文[1]利用二進(jìn)制構(gòu)造了4階泛對角線幻方的統(tǒng)一公式,文[2],[
大學(xué)數(shù)學(xué) 2011年3期2011-11-22
- 怪味幻方
吳長順喜歡幻方的朋友,對于它的基本要求一定是熟悉的,也就是要在n×n的正方形格內(nèi),填入連續(xù)的數(shù),使每行、列、對角線上的數(shù)之和或積相等。(求和的幻方稱為求“幻和”,求積的幻方稱為求“幻積”)幻方里的數(shù)一般都是不同的數(shù)字,下面這個(gè)沒有完成的幻方,要求卻比較特殊:請你在有“?”的格內(nèi)填入8個(gè)相同的兩位數(shù),使格內(nèi)的數(shù)也具有幻方的特征,即每行和每列的數(shù)之和都相等。你能很快填上來嗎?
讀寫算·高年級 2009年10期2009-10-27
- 研究幻方第一人——楊輝
丁學(xué)明幻方，在我國也稱縱橫圖，它的神奇特點(diǎn)吸引了無數(shù)人.從我國古代的“河出圖，洛出書，圣人則之”的傳說起，系統(tǒng)地對幻方進(jìn)行研究的第一人，當(dāng)數(shù)我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝.楊輝，字謙光，錢塘（今杭州）人，我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，與秦九韶、李冶、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家.楊輝在我國古代數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育史上占有十分重要的地位.楊輝一生的數(shù)學(xué)著作很多，共有五種二十一卷，《詳解九章算法》（1261年）十二卷，《日用算法》（1262年）二卷，《乘除通變本末》（1274年）三卷
- 巧哉，質(zhì)數(shù)幻方
肖樂農(nóng)幻方的研究由來已久，古老的洛書是研究幻方的最早神話.由于幻方妙趣橫生，吸引著眾多的愛好者，研究成果層出不窮.幻方的種類形形色色：回文幻方、積幻方、雙重幻方、六角幻方、馬步幻方……每一款都構(gòu)思奇巧，但最巧的是質(zhì)數(shù)幻方.質(zhì)數(shù)是一種很難駕馭的數(shù).它分布混亂，無窮無盡.可是，數(shù)學(xué)家們竟然使質(zhì)數(shù)與具有均衡對稱美的幻方聯(lián)起手來，巧妙地構(gòu)造出了一個(gè)個(gè)質(zhì)數(shù)幻方.你看，圖１就是一個(gè)三階質(zhì)數(shù)幻方.它不但９個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而且每行、每列及兩條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于２６７
初中生·作文 2004年3期2004-04-08