假設(shè)檢驗(yàn)中p值的靈活運(yùn)用

職桂珍, 徐雅靜, 曲雙紅, 盧金梅, 汪遠(yuǎn)征

(鄭州輕工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河南鄭州 450002)

假設(shè)檢驗(yàn)中p值的靈活運(yùn)用

職桂珍, 徐雅靜, 曲雙紅, 盧金梅, 汪遠(yuǎn)征

(鄭州輕工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河南鄭州 450002)

給出假設(shè)檢驗(yàn)中p值的定義以及雙邊檢驗(yàn)p值與單邊檢驗(yàn)p值的關(guān)系,介紹了利用p值將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行的方法及意義,最后給出應(yīng)用實(shí)例.

假設(shè)檢驗(yàn);p值;拒絕域

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容,在很多經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)中,甚至是現(xiàn)在流行的概率統(tǒng)計(jì)教材中,大多采用計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值,并根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值是否落入拒絕域的方法做出能否拒絕原假設(shè)的推斷.而現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)軟件中,假設(shè)檢驗(yàn)多是采用計(jì)算p值的方法進(jìn)行推斷的.檢驗(yàn)時(shí)需要由樣本觀測(cè)值計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值和衡量觀測(cè)結(jié)果極端性的p值,然后通過(guò)比較p值和顯著水平的大小作判斷:當(dāng)p＜,拒絕原假設(shè)H0;當(dāng)p＞,不能拒絕原假設(shè)H0.借助于統(tǒng)計(jì)軟件,采用p值法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)方便、明了且便于了解檢驗(yàn)結(jié)果顯著性的程度.

然而,由于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法和現(xiàn)代軟件使用的脫節(jié),使很多人對(duì)p值的概念不清楚,不能靈活使用,或根本看不懂軟件結(jié)果而無(wú)法解決應(yīng)用問(wèn)題.另一方面,有些統(tǒng)計(jì)軟件可以方便地利用p值進(jìn)行雙邊檢驗(yàn),卻沒(méi)有直接給出單邊檢驗(yàn)的過(guò)程和結(jié)果.如果對(duì)p值的計(jì)算沒(méi)有深入探究,遇到單邊檢驗(yàn)問(wèn)題,就會(huì)覺(jué)得軟件不好使用.事實(shí)上,可以通過(guò)雙邊檢驗(yàn)的p值計(jì)算出單邊檢驗(yàn)的p值,單雙邊檢驗(yàn)可以同時(shí)進(jìn)行,事半而功倍.本文深入介紹p值的計(jì)算公式并推出單雙邊檢驗(yàn)中p值的關(guān)系,最后給出應(yīng)用實(shí)例.

1 p值的定義與計(jì)算公式

p值就是當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)得到樣本觀測(cè)值和更極端結(jié)果的概率.若W為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,W0為W的觀察值,通常p值由下面公式計(jì)算而得到.

1.雙邊檢驗(yàn)的p值.

假設(shè)H0：θ=θ0;H1：θ≠θ0.

(i)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱(chēng)分布的雙邊檢驗(yàn)

(ii)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱(chēng)分布的雙邊檢驗(yàn)

2.單邊檢驗(yàn)的p值

(i)拒絕域?yàn)橛疫厖^(qū)域的右邊檢驗(yàn)

假設(shè)H0：θ≤θ0;H1：θ＞θ0.

(ii)拒絕域?yàn)樽筮厖^(qū)域的左邊檢驗(yàn)

假設(shè)H0：θ≥θ0;H1：θ＜θ0.

2 雙邊檢驗(yàn)p值與單邊檢驗(yàn)p值的關(guān)系

根據(jù)上面p值的計(jì)算公式不難推出如下命題:

命題 設(shè)W為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,W0為W的觀察值,W中為W的中位數(shù),p雙,p右和p左分別為雙邊檢驗(yàn)H0：θ=θ0;H1：θ≠θ0,右邊檢驗(yàn)H0：θ≤θ0;H1：θ＞θ0和左邊檢驗(yàn)H0：θ≥θ0;H1：θ＜θ0的p值,則它們有下面關(guān)系：

1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱(chēng)連續(xù)分布時(shí),

2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱(chēng)分布時(shí),

證1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱(chēng)連續(xù)分布時(shí),由于

所以

(i)拒絕域?yàn)橛疫厖^(qū)域的右邊檢驗(yàn),

若W0≥0,則p右=P{W≥W0}=p雙/2;

若W0＜0,則p右=P{W≥W0}=1-P{W＜W0}=1-p雙/2.

(ii)拒絕域?yàn)樽筮厖^(qū)域的左邊檢驗(yàn),

若W0≥0,則p左=P{W≤W0}=1-P{W＞W(wǎng)0}=1-p雙/2;

若W0＜0,則p左=P{W≤W0}=p雙/2.

2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱(chēng)分布時(shí),由于

所以

(i)拒絕域?yàn)橛疫厖^(qū)域的右邊檢驗(yàn),

若W0≥W中,則p右=P{W≥W0}=p雙/2;

若W0＜W中,則p右=P{W≥W0}=1-p雙/2.

(ii)拒絕域?yàn)樽筮厖^(qū)域的左邊檢驗(yàn)

若W0≥W中,則p左=P{W≤W0}=1-p雙/2;

若W0＜W中,則p左=P{W≤W0}=p雙/2.

知道雙邊檢驗(yàn)的p值和單邊檢驗(yàn)的p值關(guān)系后,三種檢驗(yàn)就可以一次完成.事實(shí)上,實(shí)際應(yīng)用中只作一次雙邊檢驗(yàn)或單邊檢驗(yàn)有時(shí)是不夠的.比如在均值檢驗(yàn)時(shí),得到拒絕原假設(shè)μ=μ0的結(jié)論下,有時(shí)我們還需要進(jìn)一步檢驗(yàn)是否可以認(rèn)為μ＞μ0或μ＜μ0才能得到較為準(zhǔn)確的結(jié)論.即使是在得到不能拒絕原假設(shè)μ=μ0的結(jié)論下,如果雙邊檢驗(yàn)的p值不夠大(0.05＜p＜0.1),即拒絕備擇假設(shè)μ≠μ0的證據(jù)較弱,往往也應(yīng)該進(jìn)一步作單邊檢驗(yàn),以得到較為合理的μ≥μ0或μ≤μ0的結(jié)論.針對(duì)這兩種情況,利用上述雙邊檢驗(yàn)的p值和單邊檢驗(yàn)的p值關(guān)系,將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行就很有必要.

在考慮雙邊檢驗(yàn)的p值和單邊檢驗(yàn)的p值關(guān)系時(shí),當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱(chēng)分布時(shí)要用到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布的中位數(shù),可查閱有關(guān)分位數(shù)表,或用統(tǒng)計(jì)軟件調(diào)用相應(yīng)分位數(shù)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

3 應(yīng)用實(shí)例

1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱(chēng)分布時(shí).

例1 一家食品廠以生產(chǎn)袋裝食品為主,每天的產(chǎn)量大約為8000袋,每袋重量規(guī)定為100克.為了分析每袋重量是否符合要求,質(zhì)檢部門(mén)經(jīng)常進(jìn)行抽檢.現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋,測(cè)得每袋重量如表1所示.試從抽檢的樣本數(shù)據(jù)出發(fā),檢驗(yàn)袋裝食品的平均重量與100克是否有顯著差異.

表1 25袋食品的重量(單位:克)

分析與解答 設(shè)重量變量名為weight,本題是要求做原假設(shè)為μ=100的雙邊檢驗(yàn).但是根據(jù)檢驗(yàn)p值與單邊檢驗(yàn)p值的關(guān)系,我們可以將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行.

(i)雙邊檢驗(yàn)(H0:μ=μ0=100; H1:μ≠μ0,α=0.05).

在SAS中作t檢驗(yàn)結(jié)果如圖1.

圖1 t檢驗(yàn)結(jié)果

從圖中看到原假設(shè)μ=100的p雙值為0.0355,在0.05的顯著水平下,應(yīng)該拒絕原假設(shè).

(ii)右邊檢驗(yàn)(H0:μ≤100; H1:μ＞100,α=0.05).

由于

拒絕右邊檢驗(yàn)的原假設(shè)μ≤100.

(3)左邊檢驗(yàn)(H0:μ≥100; H1:μ＜100,α=0.05).

由于

不能拒絕左邊檢驗(yàn)的原假設(shè)μ≥100.

綜上,我們可以認(rèn)為袋裝食品的平均重量與100有顯著差異,袋裝食品的平均重量大于100克.

2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱(chēng)分布時(shí).

例2 某藥材生產(chǎn)商要檢查包裝機(jī)械的狀態(tài).根據(jù)規(guī)定,包裝機(jī)正常工作時(shí),每袋重量為50克,方差為4.隨機(jī)抽取當(dāng)天生產(chǎn)的16袋樣本稱(chēng)重后結(jié)果如表2所示,試考查藥材包裝機(jī)的狀態(tài)是否正常.

表2 16袋藥材重量(單位:克)

分析與解答 設(shè)重量變量名為weight,本題首先做原假設(shè)為σ2=4的雙邊檢驗(yàn),再根據(jù)雙邊檢驗(yàn)p值與單邊檢驗(yàn)p值的關(guān)系,將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行,并綜合分析三種情況作出判斷.

(i)雙邊檢驗(yàn)(H0:σ2=σ20=4; H1:σ2≠σ20,α=0.05).

在SAS中做方差的卡方檢驗(yàn)結(jié)果如圖2.

圖2 χ2檢驗(yàn)結(jié)果

從圖中看到原假設(shè)σ2=4的p雙值為0.0662,在0.05的顯著水平下,不能拒絕原假設(shè).

(ii)右邊檢驗(yàn)(H0:σ2≤4; H1:σ2＞4,α=0.05).

由于自由度為15的χ2分布中位數(shù)為14.339,χ2=26.500＞χ,p右=p雙/2=0.0331＜0.05,應(yīng)拒絕右邊檢驗(yàn)的原假設(shè)σ2≤4.

(iii)左邊檢驗(yàn)(H0:σ2≥4; H1:σ2＜4,α=0.05).

由于χ2=26.500＞χ,p左=P{W≤W0}=1-p雙/2=0.9669,不能拒絕左邊檢驗(yàn)的原假設(shè)σ2≥4.

綜上,我們可以認(rèn)為包裝重量的方差不小于4,即認(rèn)為現(xiàn)在包裝機(jī)情況不夠穩(wěn)定,需維修.

例3 從機(jī)械廠的兩臺(tái)機(jī)器所加工的同一種零件中,分別抽出8個(gè)和9個(gè)樣品,測(cè)量其尺寸如表3,試檢驗(yàn)兩臺(tái)機(jī)器所加工零件的穩(wěn)定性哪個(gè)較好?(α=0.05)

表3 兩臺(tái)機(jī)器所加工同一種零件的尺寸(單位:厘米)

分析與解答 設(shè)尺寸變量名為y,A機(jī)床加工該零件尺寸的方差為σ12,B機(jī)床加工該零件尺寸的方差為σ22.本題首先做原假設(shè)為σ12=σ22的雙邊檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)p值與單邊檢驗(yàn)p值的關(guān)系,將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行,并進(jìn)行綜合分析作出判斷.

(i)雙邊檢驗(yàn)(H0:σ=σ; H1:σ≠σ,α=0.05).

在SAS中做兩總體方差比的F檢驗(yàn)結(jié)果如圖3.

(ii)右邊檢驗(yàn)(H0:σ≤σ; H1:σ＞σ,α=0.05).

由于自由度為(7,8)的F分布中位數(shù)為0.988,F=3.53＞F中,p右=p雙/2=0.0491＜0.05,拒絕右邊檢驗(yàn)的原假設(shè)σ≤σ.

(iii)左邊檢驗(yàn)(H0:σ≥σ; H1:σ＜σ,α=0.05).

由于F=3.53＞F中,p左=P{W≤W0}=1-p雙/2=0.9509,不能拒絕左邊檢驗(yàn)的原假設(shè)σ≥σ.

綜上,我們可以認(rèn)為A機(jī)床加工的零件尺寸的方差不比B機(jī)床加工的零件尺寸的方差小,即B機(jī)床加工的零件比A機(jī)床加工的零件尺寸更加穩(wěn)定.

圖3 F檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

在統(tǒng)計(jì)推斷中掌握雙邊檢驗(yàn)p值與單邊檢驗(yàn)p值的關(guān)系,不僅可以更加靈活地使用統(tǒng)計(jì)軟件解決實(shí)際問(wèn)題,而且可以三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行使推斷結(jié)果更加客觀、符合實(shí)際.

[1] 峁詩(shī)松,程依明,濮曉龍,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2004.

[2] 汪遠(yuǎn)征,徐雅靜.SAS軟件與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用教程[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2007.

[3] 薛薇,SPSS統(tǒng)計(jì)分析方法及應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社,2004.

[4] Gerald Keller,Brian Warrack.Statistics for managenment and economics[M].王琪延,郝志敏,廉曉紅,等譯.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社,2006.

[5] 謝明文.關(guān)于單側(cè)檢驗(yàn)拒絕的證明及假設(shè)檢驗(yàn)的概率實(shí)質(zhì)[J].北京：數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2004(10)：99-103.

The Flexible Application of Valuepin Hypothesis Tests

Z HI Gui-zhen, XU Ya-jing, QU S huang-hong, L U J in-mei, WA N G Yuan-zheng
(Dept.ofMath.and Infor.Sci.,Zhengzhou Inst.of Light Ind.,Zhengzhou 450002,China)

Supplying with the definition of Valuepin the hypothesis tests and the relationship of Valuepin unilateral test and bilateral test,this paper introduced the method and significance of using Valuepto carry on the three kinds of tests synchronously,some applied exaples will be given in the end.

hypothesis tests;valuep;rejection region

O212.1

C

1672-1454(2011)05-0152-05

2009-01-11

鄭州輕工業(yè)學(xué)院第八批教學(xué)改革與研究資助項(xiàng)目;鄭州輕工業(yè)學(xué)院研究生教育教學(xué)第一批教改項(xiàng)目;鄭州輕工業(yè)學(xué)院青年教師教學(xué)改革與研究項(xiàng)目