關(guān)于Φ-壓縮條件下六個(gè)映象的公共不動點(diǎn)定理

陸 競

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

關(guān)于Φ-壓縮條件下六個(gè)映象的公共不動點(diǎn)定理

陸 競

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

利用度量空間中自映象對相容和次相容的條件，討論了完備度量空間中一類Φ-壓縮映象的公共不動點(diǎn)的存在性與唯一性，得到了幾個(gè)新的公共不動點(diǎn)定理.

相容映象對；次相容映象對；Φ-壓縮映象；公共不動點(diǎn)

1 引言和預(yù)備知識

眾所周知，不動點(diǎn)理論在數(shù)學(xué)和工程數(shù)學(xué)中有著極其廣泛的應(yīng)用.關(guān)于公共不動點(diǎn)方面，張石生[1]和谷峰[2]在度量空間中利用映象對可交換和相容的條件，分別研究了兩類映象的公共不動點(diǎn)定理問題.此后，很多公共不動點(diǎn)方面的理論成果不斷涌現(xiàn)，參見文獻(xiàn)[3-8].該文利用映象對相容[9]和次相容[10]的條件，討論了完備度量空間中6個(gè)映象的一類新的Φ-壓縮映象的公共不動點(diǎn)問題，獲得了一個(gè)新的公共不動點(diǎn)定理.

定義1 集合X上的自映象對(f,g)稱為是可交換的，如果?x∈X，有fgx=gfx.

定義2[9]度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為相容的，如果?{xn}?X，當(dāng)fxn→x，gxn→x，x∈X時(shí)，有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定義3[10]集合X上的自映象對(f,g)稱為是次相容的，如果{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注1 由定義易知，可交換映象對必是相容映象對，而相容映象對也必是次相容映象對, 但反之不真.

定義4 稱函數(shù)Φ滿足條件(Φ)，如果函數(shù)Φ滿足條件(Φ)：Φ:[0,∞)→[0,∞)是對t不減的和右連續(xù)的，且Φ(t)0.

引理1[1]設(shè)函數(shù)Φ滿足條件(Φ)，則有

(i) 對任一實(shí)數(shù)t∈[0,∞)，如果t≤Φ(t)，則t=0；

(i)mi>ni+1，ni→∞(i→∞);

(ii)d(ymi,yni)≥ε0；d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)S,T,A,B,U和V是完備度量空間X上的6個(gè)自映象，且滿足以下條件:

(i)S(X)?BV(X),T(X)?AU(X);

(ii)AU=UA,SU=US,BV=VB,TV=VT;

(iii) ?x,y∈X,

其中Φ滿足條件(Φ).如果以下條件之一被滿足，則S,T,A,B,U和V有唯一的公共不動點(diǎn):

1)S,AU之一連續(xù)，且(S,AU)相容,(T,BV)次相容；

2)T,BV之一連續(xù)，且(S,AU)次相容,(T,BV)相容；

3)AU,BV之一為滿射，且(S,AU)和(T,BV)都次相容.

證明任取x0∈X,因S(X)?BV(X),T(X)?AU(X),故存在X中的序列{xn},{yn},使得

y2n=Sx2n=BVx2n+1,y2n+1=Tx2n+1=AUx2n+2,n=0,1,2,3,….

令dn=d(yn,yn+1)，下證

(1)

事實(shí)上，由條件(iii)可知

d(y2n-1,y2n)=d(Tx2n-1,Sx2n)=d(Sx2n,Tx2n-1)≤

(2)

若d(y2n-1,y2n-2)

下面證明{yn}是X中的Cauchy列.若不然，由引理2知，必存在某一ε0>0和正整數(shù)列{mi}，{ni}，使得

(a)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；

(b)d(ymi,yni)≥ε0；d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

令ei=d(ymi,yni)，則有

ε0≤ei≤d(ymi,ymi-1)+d(ymi-1,yni)<ε0+d(ymi-1,ymi).

注意到式(1)，于上式兩端讓i→∞得

(3)

另一方面，因?yàn)?/p>

ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi+1)+d(ymi+1,yni+1)+d(yni+1,yni),

(4)

對式(4)右端第2項(xiàng)分4種情形進(jìn)行討論.

10當(dāng)mi為偶，ni為奇的情形.此時(shí)由條件(iii)有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Sxni+1)=d(Sxni+1,Txmi+1)≤

(5)

應(yīng)用式(1)和式(3)，并注意到Φ(t)的右連續(xù)性假設(shè)，于式(5)中讓i→∞取極限得

(6)

利用式(1)和式(6)，在式(4)中讓i→∞取極限得ε0≤ei≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0)，從而ε0≤Φ(ε0)<ε0，此為矛盾.

20當(dāng)mi為偶，ni為偶的情形.此時(shí)由條件(iii)有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Txni+1)≤d(Sxni,Txmi+1)+d(Sxni,Txni+1),

(7)

d(Sxni,Txmi+1)≤

(8)

應(yīng)用式(1)和(3)，并注意到Φ(t)的右連續(xù)性假設(shè)，于式(8)中讓i→∞取極限得

(9)

另由式(1)可得

(10)

利用式(9)和(10)，于式(7)中讓i→∞取極限得

(11)

應(yīng)用式(1)和(11)，于式(4)中讓i→∞取極限得ε0≤ei≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0)，從而ε0≤Φ(ε0)<ε0，這就得出矛盾.

同理可證mi，ni同為奇；mi為奇，ni為偶的情形也產(chǎn)生同樣的矛盾.這些矛盾說明{yn}是X中的Cauchy列.因X完備，設(shè)yn→y*∈X，則{y2n-1}和{y2n}也都收斂于y*，即

AUx2n=y2n-1→y*,Sx2n=y2n→y*(n→∞).

(12)

1)設(shè)S,AU之一連續(xù)且(S,AU)相容，(T,BV)次相容.

如果AU連續(xù)，則{(AU)2x2n}和{(AU)Sx2n}都收斂于AUy*，又由式(12)以及(S,AU)相容得d(S(AU)x2n,(AU)Sx2n)→0(n→∞)，從而S(AU)x2n=AUy*(n→∞).由條件(iii)有

d(S(AU)x2n,Tx2n+1)≤

令n→∞得

d(AUy*,y*)≤

Φ(d(AUy*,y*)).

由此及引理1(i)可知d(AUy*,y*)=0，進(jìn)而有AUy*=y*.

再由條件(ii)得

d(Sy*,Tx2n+1)≤

令n→∞，并注意到AUy*=y*可得

Φ(0)≤Φ(d(Sy*,y*))(因?yàn)棣?t)對t不減).

由此及引理1(i)可知d(Sy*,y*)=0，進(jìn)而可得Sy*=y*.

由Sy*=y*及S(X)?BV(X)知，?u∈X，使y*=AUy*=Sy*=BVu.利用條件(iii)得

d(BVu,Tu)=d(Sy*,Tu)≤

Φ(0)≤Φ(d(BVu,Tu))(因?yàn)棣?t)對t不減).

由此及引理1(i)可知d(BVu,Tu)=0，進(jìn)而可得BVu=Tu.因(T,BV)次相容，故Ty*=T(BV)u=(BV)Tu=BVy*.

下證Ty*=y*.事實(shí)上，由條件(iii)可得

d(y*,Ty*)=d(Sy*,Ty*)≤

Φ(d(y*,Ty*)).

從而由引理1(i)可知d(y*,Ty*)=0，即Ty*=y*.于是y*=BVy*=Ty*=Sy*=AUy*，即y*是S,T,AU,BV的公共不動點(diǎn).

如果S連續(xù)，則{S2x2n}和{S(AU)x2n}都收斂于Sy*，由式(12)以及(S,AU)的相容性得d(S(AU)x2n,(AU)Sx2n)→0(n→∞)，從而 (AU)Sx2n→Sy*(n→∞).由條件(iii)有

d(S2x2n,Tx2n+1)≤

令n→∞得

由此及引理1(i)可知，有d(Sy*,y*)=0，進(jìn)而可得Sy*=y*.由于y*=Sy*∈S(X)?BV(X)，故?v∈X，使y*=Sy*=BVv.再由條件(iii)可得

d(S2x2n,Tv)≤

令n→∞，并注意到Sy*=BVv得

d(Sy*,Tv)≤

Φ(0)≤Φ(d(Sy*,Tv)).

由此及引理1(i)可知，有d(Sy*,Tv)=0，進(jìn)而可得Sy*=Tv，于是y*=Sy*=BVv=Tv.考慮到(T,BV)的次相容性，有Ty*=T(BV)v=(BV)Tv=BVy*.再次利用條件(iii)，有

d(Sx2n,Ty*)≤

令n→∞，并注意到BVy*=Ty*得

d(y*,Ty*)≤

Φ(d(y*,Ty*)).

由此及引理1(i)可知d(y*,Ty*)=0，進(jìn)而可得y*=Ty*.由于y*=Ty*∈T(X)?AU(X)，故?w∈X，使y*=Ty*=AUw.利用條件(iii)，并注意到BVy*=Ty*=AUw可得

d(Sw,y*)=d(Sw,Ty*)≤

Φ(0)≤Φ(d(Sw,y*)),

由此及引理1(i)可知d(Sw,y*)=0，進(jìn)而可得y*=Sw，于是y*=AUw=Sw.又由(S,AU)的相容性易得Sy*=S(AU)w=(AU)Sw=AUy*，因此就有y*=Sy*=AUy*=Ty*=BVy*.

下面證明Uy*=y*，Ay*=y*.事實(shí)上，利用條件(iii)得

d(SUy*,Tx2n+1)≤

因?yàn)閁S=SU，AU=UA，所以USy*=SUy*=Uy*，(AU)Uy*=U(AU)y*=Uy*.于上式中令n→∞，并注意到AUy*=y*可得

d(Uy*,y*)≤

Φ(d(Uy*,y*)).

從而由引理1(i)可知，d(Uy*,y*)=0，即Uy*=y*.進(jìn)而由AUy*=y*可得Ay*=y*.

下面證明Vy*=y*，By*=y*.事實(shí)上，利用條件(iii)得

d(Sx2n,TVy*)≤

因?yàn)锽V=VB,TV=VT，BVy*=y*，所以TVy*=VTy*=Vy*，(BV)Vy*=V(BV)y*=Vy*.于上式中令n→∞，并注意到Ty*=y*，BVy*=Ty*以及Φ(t)的不減性可得

d(y*,Vy*)≤

Φ(d(y*,Vy*)).

從而由引理1(i)可知，d(y*,Vy*)=0，即Vy*=y*.進(jìn)而由BVy*=y*可得By*=y*.

綜上，有y*=Sy*=Ty*=Ay*=By*=Uy*=Vy*，即y*是S,T,A,B,U和V的公共不動點(diǎn).

下證公共不動點(diǎn)的唯一性.設(shè)z也是S,T,A,B,U和V的一個(gè)公共不動點(diǎn)，則由條件(iii)有

d(y*,z)=d(Sy*,Tz)≤

Φ(d(y*,z)).

由此及引理1(i)可知d(y*,z)=0，即y*=z，因此y*是S,T,A,B,U和V的唯一公共不動點(diǎn).

2) 當(dāng)T,BV之一連續(xù)，且(S,AU)次相容,(T,BV) 相容時(shí)，類似1)可證.

3) 設(shè)AU,BV之一為滿射，且(S,AU)和(T,BV)都次相容.

如果AU是滿射，則對y*∈X,?u∈X,使AUu=y*.由條件(iii)得

d(Su,Tx2n+1)≤

(13)

令n→∞得d2(Su,y*)≤Φ(0)≤Φ(d(Su,y*))，由此及引理1(i)可知，d(Su,y*)=0，即Su=y*，因而Su=AUu=y*.又(S,AU)是次相容的，故有AUy*=(AU)Su=S(AU)u=Sy*.以y*代替式(13)中的u可得Sy*=y*，于是AUy*=Sy*=y*.類似1)可證y*是S,T,A,B,U和V的唯一公共不動點(diǎn).

當(dāng)B是滿射時(shí)同理可證y*是S,T,A,B,U和V的唯一公共不動點(diǎn).至此定理1獲證.

注2 即使在定理1中分別取①S=T；②A=B；③U=V；④S=T,A=B且U=V；⑤S=T且A=B=I(I表恒等映象)；⑥S=T,A=B且U=V=I這幾種特殊情況，所對應(yīng)的結(jié)果也是全新的.

推論1 設(shè)(X,d)是完備度量空間，{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集，I的勢不小于2)是X上的自映象族，A,B,U,V是X上的自映象，若{Ti}i∈I，A,B,U,V滿足以下條件：

(i)Ti(X)?BV(X)，Ti(X)?AU(X)(?i∈I)；

(ii)TiV=VTi,AU=UA,BV=VB；

(iii) ?x,y∈X，i,j∈I(i≠j) ，有

其中函數(shù)Φ滿足條件(Φ).如果以下條件之一被滿足，則A,B,{Ti}i∈I在X中有唯一的公共不動點(diǎn):

1)Ti(?i∈I),A之一連續(xù)且(Ti,AU)相容，(Ti,BV)次相容；

2)Ti(?i∈I),B之一連續(xù)且(Ti,AU)次相容，(Ti,BV)相容；

3)A,B之一為滿射且(Ti,AU)和(Ti,BV)(?i∈I)都次相容.

證明對任意的i,j,m∈I，i≠j,i≠m，由定理1知A,B,U,V,Ti,Tj存在唯一的公共不動點(diǎn)xij，A,B,U,V,Ti,Tm存在唯一的公共不動點(diǎn)xim，但由條件(iii)可得

d(xij,xim)=d(Tixij,Tmxim)≤

Φ(d(xij,xim)),

因此由引理1(i)可知d(xij,xim)=0，進(jìn)而xij=xim.由i,j,m的任意性即得A,B,U,V,{Ti}i∈I在X中存在唯一的公共不動點(diǎn).

定理2 設(shè)(X,d)是完備度量空間，A,B,U,V,{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集，勢不小于2)分別是X上的自映象和自映象族，且滿足?i∈I，有Ti(X)?BV(X),Ti(X)?AU(X)，(Ti,AU)和(Ti,BV)均是可交換映象.若存在正整數(shù)n，使得A,B,U,V,{Ti}i∈I滿足以下條件：

(i)A,B,U,V,{Ti}i∈I之一連續(xù)；

(ii) ?x,y∈X，i,j∈I,i≠j，有

其中函數(shù)Φ滿足條件(Φ),則A,B,U,V,{Ti}i∈I在X中存在唯一的公共不動點(diǎn).

Φ(d(Tiz,z)).

由引理1(i)可知d(Tiz,z)=0，進(jìn)而Tiz=z.故z是A,B,U,V,{Ti}i∈I的公共不動點(diǎn)，其唯一性由條件(iii)易證.證畢.

注3 本文結(jié)果也是文獻(xiàn)[11-12]中相應(yīng)結(jié)果的進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展.

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TheCommonFixedPointTheoremsofSixMappingswithΦ-ContractionConditions

LU Jing

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Using the compatible and subcompatible conditions of self-mapping pair in metric spaces, the paper discussed the existence and uniqueness of common fixed point for a class ofΦ-contractive mappings in complete metric spaces, and obtained some new common fixed theorem.

compatible mapping pair; subcompatible mapping pair;Φ-contractive type mapping; common fixed point

2011-01-11

陸 競(1958—)，男，浙江杭州人，副教授，主要從事函數(shù)理論研究.E-mail: wllujing@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.04.002

O177MSC2010: 47H10；54H25；58C30

A

1674-232X(2011)04-0298-07