多項(xiàng)式曲線擬合在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

王浩宇，唐詩(shī)華

(桂林理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院 ，廣西 桂林 541004)

1 多項(xiàng)式曲線擬合原理

(1)

最小二乘的原則定出參數(shù)ak(k=0，1，2，…，n)，從而得到所求的擬合曲線方程y=S*(x).假定擬合曲線為多項(xiàng)式，即S(x)=a0+a1x+…+anxn，n

(2)

(3)

這是關(guān)于a0，a1，…，an的線性方程組，寫成向量與矩陣形式為

(5)

上述法方程當(dāng)較大時(shí)呈現(xiàn)病態(tài)，因此,n≥3時(shí)可以用正交多項(xiàng)式做基，即令S(x)=a0p0(x)+a1p1(x)+…+anpn(x)，pk(x)(k=0，1，2，…，n)是關(guān)于數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=0，1，2，…，m)的正交多項(xiàng)式，進(jìn)行Schmit正交化后在進(jìn)行擬合，這里不做具體介紹[1].

(6)

2 在變形監(jiān)測(cè)中的實(shí)驗(yàn)分析

2．1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表1 變形觀測(cè)數(shù)據(jù)Tab.1 Deformation observation data

對(duì)某建筑物進(jìn)行載荷變形監(jiān)測(cè)，由觀測(cè)給出數(shù)據(jù)表1.

2．2 用Matlab實(shí)現(xiàn)擬合

主程序[2]

function p=nihe(x,y,n)

% 多項(xiàng)式擬合

% x,y為數(shù)據(jù)向量，n為擬合多項(xiàng)式次數(shù)，p為返回多項(xiàng)式

A=zeros(n+1,n+1);

for i=0:n

for j=0:n

A(i+1,j+1)=sum(x.^(i+j));

end

b(i+1)=sum(x.^i.*y);

end

a=A′;

p=fliplr(a′);

說(shuō)明：多項(xiàng)式擬合過(guò)程中由于涉及高階多項(xiàng)式求值，往往會(huì)產(chǎn)生病態(tài)問(wèn)題或者計(jì)算溢出等問(wèn)題，可以采用自變量和自變量均值之差替代自變量進(jìn)行運(yùn)算，或者作不同的分段低次擬合以及將節(jié)點(diǎn)分布區(qū)間作平移變換以降低方程組條件數(shù)等[3]，這里不做進(jìn)一步的探討.

在編輯窗口輸入：

x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.0];

y=[0.1 0.41 0.50 0.61 0.81 1.35 2.02 2.34 2.87];

p3= nihe (x,y,3)

p5= nihe (x,y,5)

p8= nihe (x,y,8)

可得到該數(shù)據(jù)的某次多項(xiàng)式擬合的各項(xiàng)系數(shù)例如：

p3= 1.619 9 -0.319 7 1.415 9 0.173 6

p5= 32.901 9 -91.297 9 90.860 6 -36.029 9 6.336 8 0.087 7

p8= 1.0e+004 *

Columns 1 through 8

-0.320 5 1.260 4 -2.000 2 1.641 6 -0.743 7 0.185 0 -0.023 7 0.001 4

圖1 3次多項(xiàng)式擬合Fig.1 Cubic polynomial fitting

Column 9

0.000 0

繼續(xù)在編輯窗口輸入：

x1=0:0.01:1.0;

y3=polyval(p3,x1);

y5=polyval(p5,x1);

y8=polyval(p8,x1);

plot(x,y,′m*′,x1,y3,′r-.′,x1,y5,′c:′,x1,y8,′k-′ );

title(′ 不同次數(shù)多項(xiàng)式擬合對(duì)比′ );

legend(′數(shù)據(jù)點(diǎn)′,′3次擬合′, ′5次擬合′, ′8次擬合′ )

圖2 5次多項(xiàng)式擬合Fig.2 5 times polynomial fitting

xlabel(′x-載荷′),ylabel(′y-變形量′ )

grid

axis square

得到曲線擬合的圖像如圖1、圖2、圖3與圖4所示.

根據(jù)擬合曲線即可對(duì)大橋的載荷和變形量進(jìn)行分析和對(duì)比，從而分析最大的載荷通行量，對(duì)橋梁安全起到積極的作用.

2.3 精度評(píng)定

圖3 8次多項(xiàng)式擬合Fig.3 8 times polynomial fitting

圖4 不同次數(shù)多項(xiàng)式擬合對(duì)比Fig.4 Different number of polynomial fitting contrast

表2 精度分析Tab.2 Precision analysis

后期通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式擬合精度以及誤差多次解算分析，取其平均值，數(shù)據(jù)見表2.

3 結(jié) 論

本文通過(guò)Matlab進(jìn)行多項(xiàng)式擬合的實(shí)現(xiàn)，Matlab和其他匯編語(yǔ)言相比，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較方便，在變形監(jiān)測(cè)分析中有著很廣泛的應(yīng)用.但是, 不同建筑物的荷載情況存在差異,

文中曲線擬合

的運(yùn)用可能有一定的局限性,仍需要大量的實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.本文的方法只是一個(gè)初步的探討,如能將更多影響變形的因素納入模型并獲得大范圍的應(yīng)用,定期重復(fù)觀測(cè)次數(shù)也足夠多，可能會(huì)獲得較好的擬合度,從而得到最佳的預(yù)測(cè)結(jié)果.

參考文獻(xiàn):

[1] 李慶揚(yáng).科學(xué)計(jì)算方法基礎(chǔ)[M] .北京：清華大學(xué)出版社，2004：115-118.

[2] 姜健飛，胡良劍，唐儉.數(shù)值分析及其Matlab實(shí)驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社，2004：91-98.

[3] 曾長(zhǎng)雄.離散數(shù)據(jù)的最小二乘曲線擬合及應(yīng)用分析[J].岳陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，2(3):96-99.